北师大版九年级第一章 特殊平行四边形单元检测题含答案.docx

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北师大版九年级第一章特殊平行四边形单元检测题含答案

第一章 特殊平行四边形检测题

一、 选择题

1.下列四边形中，对角线一定不相等的是（）

A.正方形B.矩形C.等腰梯形D.直角梯形

2.从菱形的钝角顶点向对角的两条边作垂线，垂足恰好是该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是

（）

A.150°B.135°C.120°D.100°

3.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（）

①平行四边形；②菱形；③等腰梯形；④对角线互相垂直的四边形

A.①③B.②③C.③④D.②④

4.已知一矩形的两边长分别为 10 cm 和 15 cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为

（）

A.6 cm 和 9 cmB.5 cm 和 10 cmC.4 cm 和 11 cmD.7 cm 和 8 cm

5.如图，在矩形 ABCD 中，E、F、G、H 分别为边 AB、DA、CD、BC 的中点.若 AB＝2， DA＝4，则图中

阴影部分的面积为（）

A.3B.4C.6D.8

5 题6 题

6.如图，在菱形 ABCD 中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线 AC 等于（）

A.20B.15C.10D.5

7.若正方形的对角线长为 2 cm，则这个正方形的面积为（）

A.4 cm2

B.2 cm2

C.

2 cm2           D. 2 2 cm2

8.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）

A.每一条对角线平分一组对角

C.对角线互相平分

B.对角线相等

D.对角线互相垂直

9.如图，将一个长为 10 cm ，宽为 8 cm 的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折两次

后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图

（1）），再打开，得到如图

（2）所示的小菱形

的面积为（）

A. 10 cm2B. 20 cm2C. 40 cm2D. 80 cm2

1

（1）

（2）

第 9 题图第 10 题图

10.如图是一张矩形纸片 ABCD，AD＝10 cm ，若将纸片沿 DE 折叠，使 DC 落在 AD 上，点 C 的对应点为

点 F，若 BE＝6 cm ，则 CD＝（）

A. 4 cmB. 6 cmC. 8 cmD. 10 cm

一、 填空题

11.已知菱形的边长为 6，一个内角为 60°，则菱形的较短对角线的长是_________.

12.如图，在菱形 ABCD 中，∠B＝60°，点 E，F 分别从点 B，D 同时以同样的速度沿边 BC，DC 向点 C 运

动.给出以下四个结论：

①AE＝AF；②∠CEF＝∠CFE；③ 当点 E，F 分别为边 BC，DC 的中点时，△ AEF 是等边三角形；

④ 当点 E，F 分别为边 BC，DC 的中点时，△ AEF 的面积最大.上述正确结论的序号有.

A

D

DC

F

B

E       C

第12题图

A        B

第13题图

E

13.如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 AB 到点 E，使 AE＝AC，则∠BCE 的度数是.

14.如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连接CE，

已知△ CDE的周长为24 cm，则矩形ABCD的周长是cm. .

15.已知，在四边形 ABCD 中， ∠A = ∠B = ∠C = 90︒ ，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那

么这个条件可以是____________.

16.已知菱形的周长为 40，一条对角线长为 12，则这个菱形的面积为_________.

17.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC＝10，BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为_______.

AD

A

D

O

B

第 17 题图         C

B

第 18 题图     C

18.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AB＝OA＝2 cm，则 BD 的长为________ cm，

BC 的长为_______cm.

2

三、解答题

19.如图，在△ ABC 中，AB=AC，AD 

ABC 外角的平分线，已知∠BAC=∠ACD.

（1）求证：

△ ABC≌△CDA；

（2）若∠B=60°，求证：

四边形 ABCD 是菱形.

20.如图，在□ABCD 中，E 为 BC 边上的一点，连接 AE、 BD 且 AE=AB.

（1）求证：

∠ABE=∠EAD；

（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：

四边形 ABCD 是菱形.

3

21.辨析纠错.

已知：

如图，在△ ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：

四边形 AEDF 是菱形.

对于这道题，小明是这样证明的.

证明：

∵AD 平分∠BAC，∴ ∠1＝∠2（角平分线的定义）.

∵DE∥AC，∴ ∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）.∴ ∠1＝∠3（等量代换）.

∴AE=DE（等角对等边）.同理可证：

AF=DF.∴ 四边形 AEDF 是菱形（菱形定义）.

老师说小明的证明过程有错误，你能看出来吗？

（1）请你帮小明指出他错在哪里.

（2）请你帮小明做出正确的解答.

22.如图，正方形 ABCD 的边长为 3，E，F 分别是 AB，BC 边上的点，且∠EDF=45°.

DAE 绕点 D 逆

时针旋转 90°，得到△ DCM.

（1）求证：

EF=FM；

（2）当 AE=1 时，求 EF 的长.

4

23.如图，在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，AE 平分∠BAC，交 AE 于点 E.若∠CAE=15°，求∠CAE

的度数.

24.如图所示，在矩形 ABCD 中，E，F 分别是边 AB，CD 上的点，AE＝CF，连接 EF，BF，EF 与对角线

AC 交于点 O，且 BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC.

（1）求证：

OE＝OF；

（2）若 BC＝ 2 3 ，求 AB 的长.

5

25.已知：

如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，CA 平分∠DCE，AB⊥AC，E 为 BC 的中点.试说明：

DE 、

AC 互相垂直平分.

26.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE上，且AF＝

CE＝AE.

（1）求证：

四边形ACEF是平行四边形.

（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？

并说明理由.

6

参考答案

一、选择题

1.D解析：

正方形、矩形、等腰梯形的对角线一定相等，直角梯形的对角线一定不相等

2.C解析：

如图，连接 AC.在菱形 ABCD 中，AD=DC,AE⊥CD， AF⊥BC，因为

，所以 AE 是

CD 的中垂线，所以，所以△ ADC 是等边三角形，所以∠

D

E

C

A

F

60°，从而∠

120°.

B

第2题答图第4题答图

3.D解析:

因为顺次连接任意一个四边形的各边中点，得到的是平行四边形，而要得到矩形，根据矩形的

判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形），所以该四边形的对角线应互相垂直，只有②④符合

4.B解析:

如图，在矩形 ABCD 中，

10 cm，    15 cm，  是∠

的平分线，则∠

∠  C.

由 AE∥BC 得∠∠AEB，所以∠

∠AEB，即

，所以

10 cm，

ED=AD-AE=15-10=5（cm），故选 B.

A

D

5.B解析：

因为矩形 ABCD 的面积为

，

B

C

所以阴影部分的面积为

，故选 B．

第 7 题答图

6. D解析：

在菱形

中，由∠

=

，得 ∠       .又∵         ，

∴ △

是等边三角形，∴

.

7.B解析：

如图，在正方形

中，      ，则

，

即

8.C

，所以       ，所以正方形的面积为 2

，故选 B.

9. A解析：

由题意知 AC⊥BD,且

4   ，     5   ，所以 S

1

2        2

7

10.A 解析：

由折叠知，四边形为正方形，∴.

二、填空题

11.6解析:

较短的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形，所以较短对角线的长为 6.

12.①②③解析 ：

 因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AB

△≌△，所以 AE AF，①正确.

由 CB=CD，BE=DF,得 CE=CF，所以∠CEF=∠ CFE，②正确.

CD ，∠B=∠D ，BE=DF ，所以

当 E，F 分别为 BC，CD 的中点时，BE=DF=

1    1

BC=  DC.连接 AC，BD

2    2

为等边三角形，所以

⊥

.因为 AC⊥BD,所以∠ACE=60°，∠CEF=30°.                    .由①知 AE AF，故△

为等边三角形，③正确.

设菱形的边长为 1，当点 E，F 分别为边 BC，DC 的中点时，的面积为，而当点 E，F 分别与点

B，D 重合时，= ，故④错.

13.22.5°解析 :

 由四边形是正方形，得∠∠又，所以

.5°，所以∠

14.48解析:

由矩形

可知       ，又  ⊥  ，所以  垂直平分  ，所以       .已知△    的

周长为 24 cm，即

所以矩形 ABCD 的周长为

15.

16.96解析：

因为菱形的周长是 40，所以边长是 10．

如图，

所以，

，       ．根据菱形的性质，有

．

⊥  ，      ，

所以．

17. 28解析：

由勾股定理,得

周长之和为

第16题答图

.又       ，      ，所以       所以五个小矩形的

8

18.4解析：

因为cm，所以cm.又，所以.

因为∠ABC=90°，所以在 

ABC 中，由勾股定理，得

，所以

（cm）.

三、解答题

19.证明：

（1）∵ AB=AC，∴ ∠B=∠ACB，∴ ∠FAC=∠B+∠ACB=2∠BCA.

∵ AD 平分∠FAC，∴ ∠FAC=2∠CAD，∴ ∠CAD=∠ACB.

在△ ABC 

CDA 中，∠BAC＝∠DCA ，AC＝AC，∠DAC＝∠ACB，∴ △ ABC≌△CDA.

（2）∵ ∠FAC=2∠ACB，∠FAC=2∠DAC，∴ ∠DAC=∠ACB，∴ AD∥BC.

∵ ∠BAC=∠ACD，∴ AB∥CD，∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.

∵ ∠B=60°，AB=AC，∴ △ ABC 是等边三角形，∴ AB=BC，∴ 平行四边形 ABCD 是菱形.

20.证明：

（1

ABCD中，AD∥BC，∴ ∠AEB=∠EAD.

∵ AE=AB，∴ ∠ABE=∠AEB，∴ ∠ABE=∠EAD.

（2）∵ AD∥BC，∴ ∠ADB=∠DBE.∵ ∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，∴ ∠ABE=2∠ADB，

∴ ∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB-∠ADB=∠ADB，∴ AB=AD.

又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ 四边形 ABCD 是菱形.

21.解：

能.⑴小明错用了菱形的定义.

⑵改正：

∵

∥  ，  ∥  ，∴ 四边形

是平行四边形.

∵

平分∠

，∴ ∠

∠2.   ∵

∥

，∴ ∠   ∠2，∴ ∠ ＝∠3.

∴

，∴ 平行四边形

是菱形.

22.

（1）证明：

∵ △ DAE 逆时针旋转 90°

DCM，∴ ∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，

∴ F，C，M 三点共线，DE=DM，∠EDM=90°，∴ ∠EDF+∠FDM=90°.

∵ ∠EDF=45°，∴ ∠FDM=∠EDF=45°.

在△ DEF 

DMF 中，DE=DM，∠EDF=∠MDF，DF=DF，∴ △ DEF≌△DMF（SAS），∴ EF=MF.

（2）解：

设 EF=MF=x，∵ AE=CM=1，且 BC=3，∴ BM=BC+CM=3+1=4，

∴ BF=BM－MF=BM－EF=4－x. ∵ EB=AB－AE=3－1=2，在 

EBF 中，

由勾股定理得 EB2+BF2=EF2，即 22+（4－x）2=x2，解得：

x= ，即 EF= .

23.解：

因为

平分

，所以

.

又知

，所以

因为

，所以△    为等边三角形，所以

因为

，所以△

为等腰直角三角形，所以

．

9

所以，，所以=75°.

24.

（1）证明:

∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ AB∥CD.∴ ∠OAE=∠OCF.

又∵ OA=OC, ∠AOE=∠COF.∴ △ AEO≌△ CFO（ASA）.∴ OE=OF.

（2）解:

连接 BO.∵ BE=BF，∴ △ BEF 是等腰三角形.

又∵ OE=OF,∴ BO⊥EF,且∠EBO=∠FBO.∴ ∠BOF=90°.

∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠BCF=90°.又∵ ∠BEF=2∠BAC,∠BEF=∠BAC+∠EOA,

∴ ∠BAC=∠EOA.∴ AE=OE.∵ AE=CF,OE=OF,∴ OF=CF.

又∵ BF=BF,∴ 

BOF≌

BCF（HL）.∴ ∠OBF=∠CBF.∴ ∠CBF=∠FBO=∠OBE.

∵ ∠ABC=90°,∴ ∠OBE=30°.∴ ∠BEO=60°.∴ ∠BAC=30°.

在 

BAC 中，∵ BC=23 ,∴ AC=2BC=4.AB=

点拨:

证明线段相等的常用方法有以下几种：

①等腰三角形中的等角对等边；②全等三角形中的对应边相

等；③线段垂直平分线的性质；④角平分线的性质；⑤勾股定理；⑥借助第三条线段进行等量代换．

25.解：

如图，连接∵ AB⊥AC，∴ ∠BAC=90°.

第25题答图

因为在 

所以

因为平分

中， 是

，所以

，所以

的中点，所以  是 

．

，所以

的斜边 BC 上的中线，

所以  ∥  .

又 AD∥BC，所以四边形

又，所以平行四边形

是平行四边形．

是菱形，所以

互相垂直平分．

26.

（1）证明：

由题意知∠

∠

，

∴

又∵

∥  ，∴ ∠

，∴ △

∠

≌△

. ∵

，∴

，∴ ∠

，∴ 四边形

∠AEF =∠EAC =∠ECA .

是平行四边形 ．

（2）解：

当∠

时，四边形    是菱形 ．理由如下：

10

∵∠

∵

，∠

垂直平分  ，∴

，∴

.

1

2

AB .

又∵

，∴      1 AB ，∴

2

，

∴ 平行四边形

是菱形．

11