浅谈Euler定理在初等数论中的应用数学.docx
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浅谈Euler定理在初等数论中的应用数学
2012届本科毕业论文
浅谈“Euler定理”在初等数论
中的应用
学院:
数学科学学院
专业班级:
数学与应用数学08-4班
学生姓名:
指导教师:
答辩日期:
2012年5月7日
新疆师范大学教务处
2.4欧拉函数....................................................3
浅谈“Euler定理”在初等数论中的应用
摘要此文章中主要谈的是“Euler定理”及其应用.我把论文分为四大部分,分别前言,预备内容,欧拉定理的实际应用和总结。
在前言部分介绍了“Euler定理”的来源,被谁在哪里发表的,还有研究了那些有关内容。
在预备段又介绍了一些与“Euler定理”有关的内容.同余的概念及其有关性质,剩余类和完全剩余系的定义和定理,还有简化剩余系与欧拉函数的定义和定理,利用有关的内容证明了“Euler定理”.然后又附加了欧拉定理的推论及其证明过程,在欧拉定理的实际应用阶段举了一些有关上内容的例题给出了“Euler定理”在初等数论中的一个的应用.
关键词模;同余;剩余类;完全剩余类;简化剩余系;欧拉函数;欧拉定理;费马定理.
浅谈“Euler定理”在初等数论中的应用
一、前言
欧拉(Euler,1707.4.15-1783.9.18)瑞士数学家及自然科学家在1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔,1783年9月18日于俄国的彼得堡去逝欧拉出生于牧师家庭,自幼已受到父亲的教育13岁时入读巴塞尔大学,15岁大学毕业,16岁获得硕士学位。
欧拉的父亲希望他学习神学,但他最感兴趣的是数学在上大学时,他已受到约翰第一.伯努利的特别指导,专心研究数学,直至18岁,他彻底的放弃当牧师的想法而专攻数学,于19岁时(1726年)开始创作文章,并获得巴黎科学院奖金。
1727年,在丹尼尔.伯努利的推荐下,到俄国的彼得堡科学院从事研究工作并在1731年接替丹尼尔第一.伯努利,成为物理学教授。
在俄国的14年中,他努力不懈地投入研究,在分析学、数论及力学方面均有出色的表现此外,欧拉还应俄国政府的要求,解决了不少如地图学、造船业等的实际问题1735年,他因工作过度以致右眼失明在1741年,他受到普鲁士腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职他在柏林期间,大大的扩展了研究的内容,如行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等,这些工作与他的数学研究互相推动着与此同时,他在微分方程、曲面微分几何及其它数学领域均有开创性的发现。
1766年,他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡在1771年,一场重病使他的左眼亦完全失明但他以其惊人的记忆力和心算技巧继续从事科学创作他通过与助手们的讨论以及直接口授等方式完成了大量的科学著作,直至生命的最后一刻。
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一,他不但为数学界作出贡献,更把数学推至几乎整个物理的领域此外,他是数学史上最多产的数学家,写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本,《无穷小分析引论》(1748),《微分学原理》(1755),以及《积分学原理》(1768-1770)都成为数学中的经典著作。
二、预备内容
1
2.1同余的定义及其性质
定义给定一个正整数
,把它叫做模.如果用m除任意两个整数
与
所得的余数相同,我们就说
对模
同余,记作
如果余数不同,我们就说
对模
不同余,记作
.
由定义立刻得到下列性质:
甲
乙若
,则
.
丙若
,
,则
.
丁⑴若
,
,则
.
⑵若
,则
.
戊若
,
,则
.
特别的,若
,则
.
己
,且
,
,
,则
.
庚⑴若
,
,则
.
⑵
,
是
及
的任一正公因数,则
.
辛
,则
.
壬若
,
,
,则
.
若
,则
,因而若
能整除
,则
必能整除
.
定理2.1.1整数
对模
同余的充分且必要条件是
即
,
是整数.
2.2剩余类及完全剩余系
定理2.2.1若
是给定的正整数,则全部整数可分成
个集合,记作
其中
是由一切形如
的整数所组成的,这些集合具有下列性质:
⑴每个整数比包含在而且仅在上述的一个集合里面.
2
⑵两个整数同在一个集合的充分且必要条件是这两个整数对模
同余。
推论
个整数作成模
的一个完全剩余系的充分且必要条件是两两对模
不同余。
定理2.2.2设
是正整数,
是任一整数,若
通过模
的一个完全剩余系,则
也通过模
的完全剩余系,也就是说,若
是模
的完全剩余系,则
也是模
的完全剩余系.
定理2.2.3若
是互质的两个正整数,而
分别通过模
的完全剩余系,则
通过模
的完全剩余系.
定义定理2.2.1中的
叫做模
的剩余类,一个剩余类中任一数叫做它同类的数的剩余.若
是
个整数,并且其中任何两数都不同在一个剩余类里,则
叫做模
的一个完全剩余系.
2.3简化剩余系
定理2.3.1模
的剩余类与模
互质的充分必要条件是此类中有一数与
互质.因此与模
互质的剩余类的个数是
,模
的每一简化剩余系是由与模
互质的
个对模
不同余的整数组成的.
定理2.3.2若
是
个与
互质的整数,并且两两对模
不同于,则
是模
的一个简化剩余系.
定理2.3.3若
,
通过模
的简化剩余系,则
通过模
的简化剩余系.
定理2.3.4若
是两个互质的正整数,
分别通过模
的简化剩余系,则
通过模
的简化剩余系.
推论若
是两个互质的正整数,则
=
.
定理2.3.5设
则
.
2.4欧拉函数
定义1欧拉函数
是定义在正整数上的函数,它在正数
上的值等于序列
互质的数的个数.
定义2如果一个模
的剩余类里面的数与
互质,就把它叫做一个与模
互质的剩余类.
在与模
互质的全部剩余类中,从每一类各任取一个数所作成的书的集合,叫做模
的一个简化剩余系.
3
定理2.4.1如果
是任意两个整数,而
是两个正整数,则当
时,有
.
三、欧拉定理的实际应用
3.1欧拉定理的内容及其证明
定理3.1.1(Euler定理)设
是大于1的整数,
,则
.
证明设
是模
的简化剩余系,则由定理2.3.3,
也是模
的简化剩余系,故
即
但
=1,因此
由同余性质,得
.
推论3.1.1(费马定理)若
是素数,则
证明①若
,则由欧拉定理可知
因为
是素数,所以
所以
故
.
②若
,则
所以
.
注若
,未必有
.
3.2欧拉定理在实际生活中的应用
欧拉定理在实际生活中的应用比较广泛,现在下面的两个例题来体会一下其应用.
例3.2.1
求余数
.
解因为41是素数,
且1841=46
40+1,所以有
4
,由定理2.4.1有
,
所以
,则
,得
=14
故
例3.2.2证明
能被24010000整除。
证由
和定理2.3.5,我们有
.
由定理3.1.1我们有
则有
由
和上述的式子可得
所以
能被24010000整除
例3.2.3
(1)
能否被21整除
解由于
,而
,且(11,21)=1.
由定理3.1.1,
,
所以21︱(
).
故
被21整除.
(2)求
除以13后的余数.
解因为
,而4965=413
12+9.
由推论3.1.1,
,有
,由定理2.4.1有
,则
所以
.且
由定理2.4.1有
5
所以
.因而
故余数为8
例3.2.4求
被111除的余数。
解由
,得到
由定理2.4.1,我们有
(1)
我们又有
,
有定理2.4.1,得到
(2)
又由
,
,
,得到
(3)
由定理2.4.1,我们有
,我们又有
,由
(1)式得到
。
由定理2.4.1,我们有
。
由(3)式得到
.
故得到
被111除的余数是70.
例3.2.5今天是星期三,经过
天之后应该是星期几?
解因为一个星期有7天,且
,而由定理3.1.1有
,由定理2.4.1有
,则
又因为
,则由定理2.4.1有
,且
所以
所以
故,过了
天之后是星期天。
例3.2.6今天是2号,经过
天之后几号?
因为
且
,
由定理3.1.1有
6
,由定理2.4.1有
又因为
,且
,
则
故经过
天之后是21号。
四、总结
在此论文中提出“Euler定理”在初等数论中起很大的作用,“Euler定理”不仅应用在数论方面,还有应用在经济,科学等很多方面.计算量较大的问题来说我们用“Euler定理”和它的有关性质来计算的话比较方便,这些性质和定理在生活中的作用也很大.Euler定理是用简化剩余系来获得证明,本文探讨了欧拉定理的证明和及其在生活中的应用.用起来会体会到数学问题的有趣性.反正欧拉留给我们如此珍贵的定理和性质,双目失明了以后为了数学研究还有工作了17年,他那顽强的毅力真的很惊人,他的名字值得我们永远提起。
7
参考文献
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高等教育出版社,
.
[2]番承洞编.初等数论(第二版)[M].北京大学出版社,
.
[3]华罗庚.数论导引[M].北京:
科学出版社,
.
[4]陈肇曾.数论初步[M].高等教育出版社,
.
[5]夏鸿刚翻译.初等数论及其应用(原书第三版)[M].机械工业出版社,
[6]陈景润著.初等数论[M].科学出版社,
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