微积分习题集带参考答案5.docx

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微积分习题集带参考答案5

微积分习题集带参考答案

综合练习题1（函数、极限与连续部分）

1.填空题

（1）函数/（x）=一!

一的定义域是・答案：

x>2且XH3・

ln（x-2）

（2）函数/（x）=+V4-X2的定义域是•答案：

（-2-l）o（-l2]

In（x+2）

（3）函数/（x+2）=x2+4x+7,则f（x）=・答案：

f（x）=x2+3

（4）若函数/（x）=hvsm7+1,x<0在兀=0处连续，则£=.答案：

k=\

k、x>0

（5）函数f（x-\）=x2-2x,则f（x）=.答案：

f（x）=x2-\

，一2工一3

（6）函数y=—的间断点是・答案：

x=-l

x+1

（7）limxsin—=・答案：

1

cin4>r

（8）若Um竺丄=2,则£=・答案：

k=2

gosinkx

2.单项选择题

-XX

（1）设函数y=—:

则该函数是（）.

A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数

答案：

B

（2）下列函数中为奇函数是（）.

e1+eA/=

A.xsinxB・C・ln（x+71+x~）D・x+x^

答案：

c

x

（3）函数y=^+ln（x+5）的泄义域为（）・

x+4

A・x>-5B・xH-4C・x>—5且xHOD・x>—5且xH-4

答案：

D

（4）设/（x+l）=x2-l,则f（x）=（）

A.x（x+l）

B.

C.x（x-2）

答案：

C

D.（x+2）（x—l）

（5）当上=

（）时，

函数/（X）=<

ev+2,

k、

xH0在x=0处连续.

x=0

A・0

B・1

C.2

D.

3

答案：

D

x2+1,

X亠

（6）当上=

（）时，

函数/（X）=<

在x=0处连续.

、k，

x=0

A.0

B・1

c.2

D・-

-1

答案：

B

（7）函数/（x）=—的间断点是（）

—3x+2

A.x=\,x=2B・x=3

答案：

A

3.计算题

（1）

..—3x+2

lini；

-4

解：

lim匚？

汪=lim（_2）（x-1）=恤口=丄

XT2兀・_4xt2（x_2）（X+2）yt2x+24

（2）lim

_2x_3

解：

limJ_9=lim（V_§）（'_§）=恤4=§=』

yt3x--2兀一3tt3（x_3）（x+l）XT3牙+]42

解:

lim<~6¥+S=lim=lim—=-

iT4f-5x+42（x_4）（x_l）tt4x_i3

综合练习题2（导数与微分部分）

1.填空题

（1）曲线/（%）=V7+1在（1,2）点的切斜率是

答案：

-

2

（2）曲线/（x）=e1在（0,1）点的切线方程是.

答案：

y=x+l

（3）已知/（x）=x3+3r,则广（3）二.

答案：

f\x）=3x2+3x\n3

广（3）=27（1+In3）

（4）已知/（A-）=hiA-,则/*（x）=.

答案：

f\x）=-,r（x）=—L

Xx~

（5）若f（x）=xe~x,则/*（0）=.

答案：

/7x）=-2e-x+xe'r

八0）=-2

2.单项选择题

⑴若f（x）=e~xcosx,则广（0）二（）.

A.2B・1C.一1D.一2

因fM=（e~Tcosx）r=（e~v）fcosx+e"v（cosx）f

=-e'vcosx-e~，sinx=-e'r（cosx+sinx）

所以广（0）=_e-°（cos0+sin0）=-1

答案：

C

（2）设，则（）.

A.B・C・D・

答案：

B

（3）设y=/（x）是可微函数，则df（cos2x）=（）.

A.2/'（cos2x）cLv

B・/r（cos2x）sin2xd2x

C・2广（cos2x）sin2xdx

D.一广（cos2x）sin2xd2x

答案：

D

（4）若f（x）=smx+a\其中a是常数,则八x）=（）.

°

COSA-

A.cosx+3crB・sinx+6aC・一sinxD.

答案：

c

3.计算题

I

（1）设y=x2er,求y‘・

1.111

解：

yf=2xer+x"er（-—）=er（2x-l）

（2）设y=sin4x+cos'兀，求）（・

解：

yf=4cos4x+3cos2x（-sinx）

=4cos4.v-3siiixcos2x

（3）设y=c^+-9求

x

解：

y=J--4

2j（x+l2

（4）设y=xJ7+lncosx,求y'・

3113；

解：

y9=-x2h（-sinx）=—x2一tanx

2cosx2

综合练习题3（导数应用部分）

1.填空题

（1）函数的单调增加区间是.

答案：

（1,+s）

（2）函数/（x）=ar2+1在区间（0,+oo）内单调增加，则"应满足_

答案：

">0

2.单项选择题

（1）函数y=（x+l）2在区间（一2,2）是（）

A.单调增加B.单调减少

C.先增后减D.先减后增

答案：

D

（2）满足方程广（x）=0的点一定是函数=f（x）的（）•

A.极值点B.最值点C.驻点D.间断点

答案：

C

（3）下列结论中（）不正确.

A./（兀）在x=x0处连续，则一定在"处可微.

B./（X）在x=处不连续，则一泄在勺处不可导.

C.可导函数的极值点一泄发生在其驻点上.

D.函数的极值点一定发生在不可导点上.

答案：

B

（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（）.

A.sinxB.e'C.x2D.3—x

答案：

B

3.应用题（以几何应用为主）

（1）欲做一个底为正方形，容积为的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

解：

设底边的边长为xm,高为/?

m,容器的表面积为ym?

。

怎样做法所用材料最省即容器如何设计可使表面积最小。

由已知

x2h=10&h=哮

牙-

r；r-pi2AlA108*>432

所以y=x^+4xh=f+4x・一-=jc+

432

令y=2x-—二=0,解得唯一驻点x=6o

因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x=6是函数的极小值点也是最小值点。

故"1x=6m,h=辱=3m时用料最省.

6_

（2）用钢板焊接一个容积为底为正方形的开口水箱，已知钢板的费用为10元/m=,焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费用最低？

最低总费用是多少？

解：

设水箱的底边长为xm,高为m,表面积为Sm:

且有//=4

x

（5）j（sinx）rcLv=・

答案：

sinx+c

（6）若Jy（;r）d¥=F（x）+c,则J/（2a-3）（1¥=

答案：

丄F（2x—3）+c

2

（7）若Jf（x）dx=F（x）+c>则Jxf（\—x2）dx=

1,

一牙F（1-jr）+c

J：

（sinxcos2x-x2+x）dx=・

_2

_3

答案:

（8）

答案:

（9）—+l）cLv=.

0

2*•

£

2

答案:

（10）

答案:

2.单项选择题

（1）下列等式成立的是（）.

A.djf（x）dx=f（x）

C.^J/（x）dx=/（x）

答案：

c

（2）以下等式成立的是（

A.Inxdx=d（-）

X

C.

dx

石

B.Jff（x）dx=/（a）

D・Jd/（A）=/（x）

）

B・sinxdx=d（cosx）

D.3xdx=—

In3

答案：

D

（3）J#"（x）dx=（）

A.4f（x）-f（x）+c

C.卜2广（x）+c

B.xf\x）+c

D.（x+l）/V）+c

答案：

A

flc

A-L-

V

2

rie”+「,

B.d.\

J-i2

C.「（

+cosx）dv

D・+sin.v）dx

J-/T

答案：

A

（4）下列泄积分中积分值为0的是（

）.

（5）设/（x）是连续的奇函数，则泄积分£/（x）dx=（）

A.0B・「/（x）dtC・「/（x）dx

J-flJo

D.2£/（x）dx

答案:

A

（6）下列无穷积分收敛的是（）.

A.Isinxdr

B.

C.r丄dr

答案：

D

D.

3.计算题

（1）j（2x-l）,och-

解：

j（2x-l）,0dr=|j（lx-l）10d（2x-1）=-L（2x-l）u+c

1

sin—

（2）f—Ak

Jf

ev）2^

・1sin—

COS—+c

JXXX

=2je^/V^=2e^+c

In2q

（4+er）2d（4+ev）

ev（4+ev）'dx=£

1vxiln211

乜（4+e）L=-（216-125）=30-

⑹Ji）xe'cU

⑺凤sin心

解:

xsinxdx=一xcosx|2+cosxdx=sin=1

综合练习题5（积分应用部分）

1.

填空题

方程是・答案：

y=2仮+1

⑶微分方程=”y（0）=1的特解为・答案：

y=ev

⑷微分方程y‘+3y=0的通解为・答案：

y=ce®

⑸微分方程（W+4卩“）=）人血兀的阶数为・答案：

4

2.单项选择题

（1）在切线斜率为2w的积分曲线族中，通过点（1,4）的曲线为（）.

A.y二f+3

B・y=-y+4

C.y=x~+2

D.y=x2+1

答案：

A

（2）下列微分方程中，（

）是线性微分方程.

A・yx2+\ny=yf

B・y'y+xy2=ev

C.）』+砂=ev

D・sinx-yfex=ylnx

答案：

D

（3）微分方程y'=0的通解为（）.

A.y=Cx

B.y=x+C

C.y=C

D.y=0

答案：

c

（4）下列微分方程中为可分离变量方程的是（）

小•一山小一dA乞

ddy

B.—=xy+y；dr

D・—=x（y+x）d.v

微积分试题及答案

第二章导数与微分

1.填空题

1、已知厂（3）=2,则lim"3一"）一"引二。

z2/1

2、广（0）存在，有/（0）=0,则limZiD二

3、y=丹+x"+arctan丄，则ylx=I=。

4、/（x）二阶可导，y=/（1+sinx）,则）/二；/=-

5、曲线y=e‘在点处切线与连接曲线上两点（0,1）,（IQ的弦平行。

6、y=ln[arctan（l一x）],则dy-

7>y=sin2x4,贝ij—=,。

dxdx1

8、若/（r）=Umr（l+l）2a,则广⑴二

.—XX・

9、曲线y=x2+\于点处的切线斜率为2。

10、设y=则y\O）=o

11、设函数y=y（x）由方程£w+cos（xy）=0确泄，则©=°

dx

5x=1+厂…e/2y

12、设<则r=o

y=costdx^

二、单项选择

1>设曲线y=丄和y=x2在它们交点处两切线的夹角为0则tan^=（）。

X

（A）-1；（B）1：

（C）-2:

（D）3。

3、函数f（x）=e^x,且广（f）=e,则&=（）。

（A）1：

（B）-1：

（C）-：

（D）2o

2

4.已知/（x）为可导的偶函数，且lim"1+工）-、/

（1）=—2,则曲线）,=/（朗在（-1.2）处•i）2x

切线的方程是。

（A）y=4x+6；（B）y=-Ax-2:

（C）y=x+3；（D）y=-x+l。

（A）0；（B）2/（a）；（C）2广（x）：

（D）2/（x）-/z（x）o

6、函数/（x）有任意阶导数，且广（x）=[/（x）]2,则/（n）（x）=。

（A）n[f（x）rl:

（B）”!

[/（x）严：

（C）（〃+1）[/（劝严：

（D）（n+l）!

[/（x）]2»

7、若/（x）=x2,则lim但+3-但）二（）

（A）2x0:

（B）x0；（C）4x0：

（D）4xo

8、设函数/（x）在点儿处存在以心）和f；M,则广（冷）=岸（心）是导数广（兀）存在的

（）

（A）必要非充分条件：

（B）充分非必要条件：

（C）充分必要条件；（D）既非充分又非必要条件。

9、设/（x）=x（x-l）（x-2）-（X-99）则f（0）=（）

（A）99：

（B）-99:

（C）99!

：

（D）一99儿

10、若/（“）可导，且y=/（-疋），则有心=（）

（A）xff（-x2）dx:

（B）一2灯'（一疋）〃八（C）2/z（-x2）Jx：

（D）2xff（-x2）dx.

11、设函数/（x）连续，且广（0）>0,则存在5>0,使得（）

（A）/（x）在（0,》）内单调增加；（B）/（兀）在（—60）内单调减少：

（C）对任意的xe（0,J）^/（x）>/（0）；（D）对任意的"（_戈0）有/（x）>/（0）o

7・2

12、设/（x）=Asm"ax+h

（6）/（x）=x（x+l）（x+2）•-（x+2005）,求广（0）：

（7）f（x）=（x-a）（p（x）,0（x）在x=a处有连续的一阶导数,求广（a）、:

（8）设/（兀）在x=l处有连续的一阶导数，且广

（1）=2,求lim—/（cosVT^T）ojdx

.、込“一亠3方（l+sinx）+a+2x>0

2、试确定常数之值，使函数f（x）=

八严一1x<0

3、证明曲线x2-y2=d与小=方（a.b为常数）在交点处切线相互垂直。

4、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升，英速率为140米/分.当此气球上升到500米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少。

5、若函数/（兀）对任意实数心花有f（xi+x2）=f（x}）f（x2）,且广（0）=1,证明rw=/（%）«

6、求曲线y=x3+3x2-5上过点（-1-3）处的切线方程和法线方程。

第二章导数与微分习题解答

IhnMH⑶=Inn心T⑶.1=_1f.=

2hu-h22

恤竺訥卩3"o），（o）

3XDX-0

yf=7：

xInk+衣」・•.yfIv-1=7r\nx+7r

4、广（l+sinx）・cosx,厂（l+sinx）・cos，x-广（1+sinx）-sinx

yf=ff（l+sinx）•cosx,y"=/"（l+sinx）・cos2x一/\1+sinx）・sinx

5、（ln@-1）疋一1）弦的斜率k=——=£一1

1—0

yf=（ex）=ex=e-\=>x=ln（w-l）,当x=ln（^-l）时，y=£-l°dx

'arctan（l-x）・[1+（1-x）2]

dy=

arctanO-x）伽呦叩"）1=扁匸云°TV廿〃-“）

dx

arctan（l-x）・[1+（1-]

2亠=2代心

dx^2xdx

8、

e2t+2te21

9、

（12）

10、

11.

/（/）=lim/（I+-）2a=te2t:

.f\t）=e2t+2te21

*.•yf=2x♦由2x0=2=>x0=1,y0=l2+1=2y=x2+\在点（1,2）处的切线斜率为2

・・•yf=ex+xex,y"=ex+ex+xex

:

.y"（0）=e°+e°=2

ys\n（xy）

方程两边对x求导得严V（1+/）-sin（A）0（y+a/）=0

解得

sinr-rcosr

4?

-

v=7=>交点为（1,1），/=（丄）'I.产一I,k2（x2y」严2y"*

k“_k

.•・tan（p=1tcm（0—©）1=1—=■1=3

1+k{k2

选（C）fr（x）=严A•klan*Tx.sec2x

由广（彳）=e得e-k-2=e^>k=^

选（A）由lim"+切一/⑴=lim/（-一X）一八T）

z2xg（）2x

=lim/—（j）.（-1）=/VD•（J）=-2=/VI）=4

•5-x22

・・•切线方程为：

y—2=4（x+l）即y=4x+6

选（D）lim门“+y⑴=[/2«r=2f（x）•f\x）A®Ax

选（B）f\x）={[/（x）]2f=2/（x）•f{x）=2/3（x）

rw=[2/5=2X3/2（x）•f\x）=2x3f\x）

设/

r+1（x）,则严匕）=（n+l）!

/rt（x）•f\x）={n+l）!

/n+2（x）••./%）=〃!

严（x）

选（C）lim/（"+2心）-/g）=亦2•/（"+2心）-/g）=2广仇）zkvA32Ax

又f\x）=（x2y=2x,:

.2fUo）=4x0

选（C）vf（x）在心处可导的充分必要条件是/（x）在兀点的左导数人（如）和右导数人（兀）都存在且相等。

选（D）

•••ff（x）=（x-l）（x-2）-（x-99）+x（x-2）-（x-99）+x（x-l）（x-3）-（x-99）

+・・•+x（x_l）（x_2）・・・（x_98）

.I/'（O）=（0_1）（0_2）・・（0_99）=（-1）"•99!

=-99!

另解：

由定义，/r（0）=lim（0）=lim（x-l）（x-2）•••（x-99）

zx-0z

=（-1）"・99!

=-99!

1、

3、

4、

5、

6、

7、

8、

9、

选（D）由＜

2Av

10.选（B）•・・[/（一疋）丫=广（—F）・（-X2/=—2广（―小

dy=-2x『（-f）dx

11、由导数定义知

广（0）=lim丿H⑴）>0,

Dx

再由极限的保号性知3J>0,当时"）-"（））>o,

x

从而当xe（-J,O）（xe（O,J））时，/（x）-/（0）<0（>0）,因此C成立,应选C。

12、由函数/（x）在x=0处可导，知函数在x=0处连续

limf（x）=limx2sin—=0,limf（x）=lim（ax+b）=b,所以Z?

=0°

2・£

又f（0）=lim=lim=0J（0）=lim"门-/⑴）=坐=^,

八》x-0»X»x-0X

所以a=0o应选Co

三.计算解答

1.计算下列各题

（1）

sin'=

dy=eY〃（sirr

■W

n2I

x・

2sin—cos

1112sin记

_・（——）dx=——sin—aXdx

X

X

x对工X

（2）

►r-

9r

-9r3,

5产9

dx1

t

dx2

1

t

dx2心

（3）

两边对X求导：

1

1+.=

r-y

=y'=>#

=）"2+1

i+r

2|

y"=-2>-3・=一2）门•（y'2+1）=-—（—+1）

y

（4）y=sinxcosx=—sin2x

2

/.yf=cos2x=sin（2xh——）y"=2cos（2x+—）=2sin（2x+2・—）

222

设y

-^）

则ygi）=2”cos（2x+n・-）=Tsiii（2x+（n+l）-）

22

.•.严>=249sin（2x+50•£）=-249sin2x

（5）两边取对数:

Iny=x[lnx-ln（l+x）]

1x

两边求导：

一・yf=lnx-ln（l+x）+1;—

y\+x

XY

・・・y=（—）v[lnX—ln（l+X）+1—lI

1+x1+x

（6）利用泄义：

广（0）=lim7（（））=Iima+i）（x+2）（夫・+3）・・.（％+2005）=2005!

.V—>0xxtO

（7）•••f\x）=（p（x）+（x—d）0（x）/.ff（a）=（p{a）

x-a

又r（a）=亦广（"—广⑺=mn於）+&一"）0（x）-恥）

.TTa牙_aXTd

=Iim[—+0（x）]=0（a）+0（a）=20（a）jx-a

[注：

因°（x）在x=d处是否二阶可导不知，故只能用泄义求。

]

（8）lim—/（cos7x-l）=lim[厂（cos厶一1）•（-sinJx-1）/]

dxz2y/x-\

=lim广（c