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高中微积分基本知识
第一章、极限与连续
一、数列的极限
1.数列
定义:
按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数
x1,K,xn,L叫数列,记作xn,并吧每个数叫做数列的项,第n个数叫做数列
的第n项或通项
界的概念:
一个数列
xn
,若
M
0,st..
对
n
N*
,都有
xn
M
,则称
xn
是有界的:
若不论
M
有多大,总
mN*
,st..
xm
M
,则称
xn
是无界的
若axnb,则a称为xn的下界,b称为xn的上界
xn有界的充要条件:
xn既有上界,又有下界
2.数列极限的概念
定义:
设
xn
为一个数列,a为一个常数,若对
0,总
N,st..当nN
时,有
xn
a
则称a是数列xn
的极限,记作limxn
a或xn
a(n
)
n
数列有极限时,称该数列为
收敛的,否则为发散的
几何意义:
从第N
1项开始,xn的所有项全部落在点a的
邻域(a,a
)
3.数列极限的性质
①唯一性
②收敛必有界
③保号性:
极限大小关系
数列大小关系(n
N时)
二、
函数的极限
1.定义:
两种情形
①
x
x0:
设f(x)在点x0处的某去心邻域内有定义,
A为常数,若对
0,
0
,st..当0xx0
时,恒有f(x)
A
成立,则称f(x)在x
x0时有
极限A
记作lim
f(x)A或f(x)
A(x
x0)
x
x0
几何意义:
对
0,
0,st..当0
x
x0
时,f(x)介于两直线y
A
单侧极限:
设f(x)在点x0处的右侧某邻域内有定义,
A为常数,若对
0,
0,st..当0
x
x0
时,恒有f(x)
A
成立,称f(x)在x0处有右极限A,
记作lim
f(x)
A或f(x0)
A
xx0
lim
f(x)
A的充要条件为:
f(x0)
f(x0)=A
xx0
垂直渐近线:
当lim
f(x)
时,x
x0为f(x)在x0处的渐近线
xx0
②x
:
设函数f(x)在x
b
0
上有定义,A为常数,若对
0,X
b,s..t
当x
X时,有f(x)
A
成立,则称f(x)在x
时有极限A,记作
lim
f(x)
A或f(x)
A(x
)
x
lim
f(x)
A的充要条件为:
lim
f(x)lim
f(x)
A
x
x
x
水平渐进线:
若lim
f
()
A
或
limf(x)
A
,则
y
A
是
f(x)
的水平渐近线
x
x
x
2.函数极限的性质:
①唯一性②局部有界性③局部保号性(②③在当0xx0时成立)
三、极限的运算法则
1.四则运算法则
设f(x)、g(x)的极限存在,limf(x)
A,limg(x)B则
①limf(x)
g(x)
A
B
②lim[f(x)g(x)]
AB
③limf(x)
A
(当B
0时)
g(x)
B
④limcf(x)
cA
(c为常数)
⑤lim[f(x)]k
Ak
(k为正整数)
2.复合运算法则
设yf[(x)],若lim
(x)
a,则lim
f[(x)]f(a)
xx0
xx0
可以写成lim
f[(x)]
f[lim
(x)]
(换元法基础)
xx0xx0
四、极限存在准则及两个重要极限
1.极限存在准则
①夹逼准则
设有三个数列xn,yn,zn,满足
ynxnzn,limynlimzna则limxna
nnn
②单调有界准则
有界数列必有极限
3.重要极限
①limsinx
②lim11
x
1
1
e或lim1xxe
x0
x
x
x
x0
五、无穷大与无穷小
1.无穷小:
在自变量某个变化过程中limf(x)0,则称f(x)为x在该变化过程中的无穷小
※若f(x)
0,则f(x)为x在所有变化过程中的无穷小
若f(x)
,则f(x)不是无穷小
性质:
1.有限个无穷小的代数和为无穷小
2.常量与无穷小的乘积为无穷小
3.有限个无穷小的乘积为无穷小
4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小
5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小
定理:
limf(x)A的充要条件是f(x)A(x),其中(x)为x在该变化中过程
中的无穷小
无穷小的比较:
(趋于0的速度的大小比较)
(x),(x),为同一变化过程中的无穷小
若limc(c0常数)则是的同阶无穷小(当c1时为等价无穷小)
若limkc(c0常数)则是的k阶无穷小
若lim0则是的高阶无穷小
常用等价无穷小:
(x0)x:
sinx:
tanx:
arcsinx:
arctanx:
ln(1x):
ex1;
1cosx:
x2
;(1
x)1:
x;ax
1:
xlna
2
2.无穷大:
设函数f(x)在x
的某去心邻域内有定义。
若对于M
0,
0
s..t
当
0
0x
x0
时,恒有f(x)M
称f(x)当x
x0时为无穷大,记作lim
f(x)
xx0
1
无穷大为无穷小
limf(x)
定理:
limf(x)(下:
趋于某点,去心邻域不为0)
1
无穷小为无穷大
limf(x)
※无穷大的乘积为无穷大,
六、连续函数
1.定义
其和、差、商不确定
设函数
y
f(x)
在
x0某邻域有定义,若对
0,
0st..
当0
xx0
时,
恒有:
f(x)
f(x0)
也可记作
limf(x)
xx0
f(x0)
或limx0
y
0
f(x0)
f(x0)
(或
f(x0
)
f(x0)
)为左(或右)连续
2.函数的间断点
左右极限相等,该处无定义可去间断点
第一类间断点:
左右极限存在
左右极限不等跳跃间断点
第二类间断点:
无穷间断点,震荡间断点等
3.连续函数的运算
若函数f(x)与g(x)都在x处连续,则函数
f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)
(g(x)0)
g(x)
定理:
y
f[g(x)],g(x0)u0
,若g(x)在x0处连续,
f(g)在u0处连续,则
y
f[g(x)]在x0处连续
4.闭区间连续
①最值定理:
函数的性质
f(x)在[a,b]
上连续,则
x1,x2,对一切
x
[a,b]有
f(x1)
f(x)
f(x2)
②介值定理:
f
(x)
在
[a,b]
上连续,对于
f(a)与
f(b)之间的任何数
u,至少
一点
,
st..f()u
第二章、导数
一、导数的概念
定义:
设函数yf(x)在点x0的某邻域有定义,如果极限
lim
f(x0x)
f(x0)
存在,则称函数y
f(x)在点
x0
x
x0可导,极限值为函数y
f(x)在点x0处的导数,记为f'(x0)
单侧导数:
设函数y
f(x)在点
x0处的左侧(x0
x0]有定义,若极限
f(x0
x)
f(x0)
存在,则称此极限为函数
lim
x
x
0
yf(x)在点x0处的左导数,记为f'(x0),类似有右导数f'(x0)
导函数:
函数yf(x)在某区间上可导,则
f'
(x)
lim
f(x
x)
f(x)
x0
x
性质:
①函数y
f(x)在点x0处可导的充要条件f'(x0)
f'(x0)
②可导
连续
导数的几何意义:
函数点处的切线斜率
二、求导法则
1.函数的和、差、积、商的求导法则
定理:
若u
u(x),v
v(x)都在x处可导,则函数u(x)
v(x)在x处也可导,且
[u(x)
v(x)]'
u'(x)v'(x)
定理:
若u
u(x),v
v(x)都在x处可导,则函数u(x)v(x)在x处也可导,且
[u(x)v(x)]'
u'vuv'
推论:
若u1,K,un都在x处可导,则函数u1u2Lun在x
处也可导,且
[u1u2Lun]'
u1'u2Lun
u1u2'Lun
Lu1u2Lun'
定理:
若u
u(x),vv(x)都在x处可导,则函数u(x)在x处也可导,且
v(x)
u(x)
'
uv'
u'v
v(x)
v2
2.反函数的求导法则
定理:
设函数x
g(y)在Iy上单调可导,它的值域为Ix,而g'(y)0,则其反函数
y
g1(x)
f(x)在区间Ix上可导,并且有
f'(x)
'1
g(x)
4.复合函数的求导法则
定理:
若函数u
(x)在x0
可导,函数y
f(u)在点u0
(x0)可导,则复合函数
y
f((x))在x0处可导
[f(
(x))]'
f'((x))
'(x)
或
dy
dygdu
(连锁规则)
dx
dudx
三、高阶导数
定义:
若函数y
f(x)的导数y'
f'(x)仍可导,则y'
f'
(x)导数为yf(x)的二
阶导数,记作y",f"(x),d2y,类似的,有n阶导数y(n),f(n)(x),dny
dx2
dxn
四、隐函数求导
对于F[x,y(x)]0,或F[x,y(x)]
G[x,y(x)],若求dy
dx
求导法:
方程两侧对x求导
微分法:
方程两侧求微分
公式法:
dy
Fx'
,将方程化成
F[x,y]=0,将F看成关于x,y的二元函数,分
dx
Fy'
别对x,y求偏导Fx',Fy'
五、参数方程所确定的函数求导
x
(t)
dy
dydt
dy
dx
'(t)
yt'
y
,
dx
g
dt
/
'(t)
xt'
(t)
dtdx
dt
导数公式
基本函数:
C'
0
(x)'
x1
(ax)'
axlna
(logax)'
1
(sinx)'
xlna
cosx
(cosx)'
sinx
(cotx)'
csc2x
(secx)'
secxtanx
导数运算法则:
(uv)'u'v'
(uv)'u'vuv'
(uv)(n)u(n)v(n)
高阶导数
[Cf(axb)](n)Canf(n)(axb)
(xn)(m)Anmxnm,(nN*)若mn,则0
(ax)(n)axlnna
(sinx)(n)
sin(x
n
)
2
※1.o(xn1)o(x)xn
2.lim
0
f(x)
f(x0)
f'(x0),需补充条件
x
x
x0
(cscx)'
cscxcotx
(arcsinx)'
1
x2
1
(arccosx)'
1
1
x2
(arctanx)'
1
1x2
(arccotx)'
1
1
x2
(Cu)'
Cu'
(u)'
u'v
uv'
v
v2
(uv)(n)
n
Cnku(nk)v(k)
k
0
(n)
1
(
1)n
n!
x
xn
1
(logax)(n)
(
1)n
1(n
1)!
xnlna
(cosx)(n)
cos(x
n
)
2
f(x)在x0处可导或该极限存在
第三章、微分
一、微分的概念
定义:
设函数yf(x)在某区间I上有定义,x0,x0xI,若
yf(x0x)f(x0)可表示为
yAxo(x)(其中A与x无关),则称Ax为y在x0处
的微分,记作dyAx
※dy与y的区别:
当y为自变量时,dy
y
当y为因变量时,dy
y,ydyo(
x),dy为y的线性主部
定理:
对于一元函数y
f(x),可导
可微
性质:
一阶微分形式不变性,对于高阶微分
dnyf(n)(x)(dx)n
二、微分的几何意义
“以直代曲”
三、微分中值定理
中值定理
条件
结论
①[a,b]上连续,②(a,b)上可
Rolle
导,③f(a)
f(b)
f'()0
①[a,b]上连续,②(a,b)上
Lagrange
可导
①[a,b]上连续,②(a,b)上
Cauchy可导,③g'(x)0
至
少
存
在
f(b)
f(a)
一
f'()
点
b
a
,
使
得
f(b)f(a)f'()
g(b)g(a)g'()
①有限增量定理:
yf'(xx)x(01)
②L,Hospital法则:
1型未定式定值法:
f(x),g(x)在x0的某去心邻域有定义,且
1
lim
f(x)
limg(x)
0,f(x),g(x)在x0的某去心邻域可导,且g'(x)0
xx0
xx0
lim
f'(x)
A,则有limf(x)
limf'(x)
xx0
g'(x)
xx0g(x)
xx0g'(x)
,0g
,1,
,00,
0类似
四、函数的单调性与极值
1.单调性:
定理:
设函数yf(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,则
导数符号原函数单调性
f
'
(x)
0
Z
f
'
(x)
0
]
2.极值
定义:
设函数yf(x)在点x0某邻域有定义,若对该邻域内一切x都有
f(x0)f(x)
则f(x0)是函数f(x)的一个极大值,点x0为函数f(x)的一个极大值点。
(极小值类似)
函数取得极值的一阶充分条件
函数y
f(x)在点x0去心邻域可导,且在x0处可导或导数不存在,则:
①当x
x0
时,f'(x)
0,x
x0时,f'(x)
0,则f(x0)是极大值
②当x
x0
时,f'(x)
0,x
x0时,f'(x)
0,则f(x0)是极小值
③无论x
x0还是x
x0,总有f'(x)0(或f'(x)
0),则f(x0)不是极值
函数取得极值的二阶充分条件
函数y
f(x)在点x0
处具有二阶导数,且f'(x0)
0,f"(x0)0,则
①若f"(x0)
0
,则f
(x0)是极小值
②若f"(x0)0
,则f
(x0)是极大值
第四章、不定积分
一、不定积分的概念和性质
1.原函数与不定积分
原函数:
设f(x)在I上有定义,若对xI,都有
F'(x)f(x)或dF(x)f(x)dx
则称F(x)为f(x)在I上的一个原函数
原函数存在定理:
若函数f(x)在
I
上连续,则在
I
上
可导函数F(x),
对
x
I
,
st..
都有F'(x)f(x)。
即连续函数一定有原函数
不定积分:
设F(x)使f(x)的一个原函数,C为任意常数,称F(x)C为f(x)的不
定积分,记作
f(x)dxF(x)C
几何意义:
积分曲线族
2.不定积分的性质:
①积分运算与微分运算为互逆运算
②[f(x)
g(x)]dxf(x)dx
g(x)dx
③kf(x)dx
kf(x)dx
k0
二、换元积分法
1.第一类换元积分法
定理:
设f(u)有原函数,且u
(x)具有连续导数,则f[(x)]
'(x)有原函数
f[
(x)]'(x)dx
f(u)du
2.第二类换元积分法
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