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数字信号处理习题集附答案
第一章数字信号处理概述
简答题:
1.在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器,它们分别起什么作用?
答:
在A/D变化之前为了限制信号的最高频率,使其满足当采样频率一定时,采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。
此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。
在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱,以便把抽样保持的阶梯形输出
波平滑化,故又称之为“平滑”滤波器。
判断说明题:
2.模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理,
自己要增加一道采样的工序就可以了。
()
答:
错。
需要增加采样和量化两道工序。
3.一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统,然后
基于数字信号处理理论,对信号进行等效的数字处理。
()
答:
受采样频率、有限字长效应的约束,与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。
因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析,再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
第二章离散时间信号与系统分析基础
一、连续时间信号取样与取样定理
计算题:
1.过滤限带的模拟数据时,常采用数字滤波器,如图所示,图中T
表示采样周期(假设T足够小,足以防止混叠效应),把从x(t)到y(t)的整个系统等效为一个模拟滤波器。
(a)如果h(n)截止于8rad,1T10kHz,求整个系统的截止频率。
(b)对于1T20kHz,重复(a)的计算。
解(a)因为当||/8rad时H(ej)0,在数一模变换中
11j
Y(eJ)〒Xa(j)〒Xa(:
)
所以h(n)得截止频率c:
8对应于模拟信号的角频率c为
8
1
因此fch面625Hz
由于最后一级的低通滤波器的截止频率为-,因此对一没有影响,
T8T
故整个系统的截止频率由H(eJ)决定,是625Hz。
(b)采用同样的方法求得1T20kHz,整个系统的截止频率为
16T
1250Hz
二、离散时间信号与系统频域分析
计算题:
1.设序列x(n)的傅氏变换为X(ej),试求下列序列的傅里叶变换。
(1)x(2n)
(2)x*(n)(共轭)
解:
(1)x(2n)
由序列傅氏变换公式
DTFT[x(n)]
X(ej)
x(n)ejn
可以得到
DTFTx(2n)]
x(2n)e
jn
x(n)e
n为偶数
1[x(n)
(1)
j
x(n)]e
jn
x(n)e2
1
1X(e2)
1j—
?
X(e2)
j-
1
2n
j(-
2
^X(e
2
j-
X(e2)
j()n
x(n)e2
(2)x*(n)(共轭)
解:
DTFTx*(n)
x*(n)ejn
[x(n)ejn]*
n
X*(ej)
2.计算下列各信号的傅里叶变换。
n
(a)2u[n]
(C)[4
2n]
(d)
吩)
解:
(a)
X(
2nu[
n]ejn
(2ej)
(b)
X(
(1)nu[n
4
2]e
(1)ne
24
(c)
X(
(d)
m0(^2
x[n]e
ej
(m
2)
16
ej2
4
[4
2n]ej
ej2
利用频率微分特性,可得
X()
■dX()
d
1
(1昇)2
2
1
r~
1e
2
1
r~
1e
2
1]
3.序列x(n)的傅里叶变换为
X(ejw)
求下列各序列的傅里叶变换。
(1)x(n)
(2)
Re[x(n)]
(3)nx(n)
解:
(1)x*(n)ejwn
n
[x(n)ejw(n)]*
X*(ejw)
(2)Re[x(n)]ejwn
n
1
2[x(n)x(n)]
jwn1jwjw
e2[X(e)X(e)]
(3)nx(n)ejwn
nn
j±x(n)ejwn
jdwdwn
.dX(ejw)
'dw
4.序列x(n)的傅里叶变换为
X(ejw),求下列各序列的傅里叶变换。
(1)x(n)
(2)
jlm[x(n)]
x2(n)
解:
(1)
jwn
x(n)e
n
[x(n)ej(w)(n)]
x(n)ej(w)n]X(ejw)
(2)
1
严)
n)]e
jwn
x(n)e
jwn
jwni
(n)e]
(3)
X(ejw)
x(n)e
j(
w)n
2X(旳
(e
jw)
2jwn
x(n)e
n
丄X(ej
2
1.
厂X(ej)
X(ej
)d
x(n)e
j(w
)n
)X(ej(w))d
X(ejw)
jw
5.令x(n)和X(e)表示
个序列及其傅立叶变换,
jw
利用X(e)表示下
面各序列的傅立叶变换。
(1)
g(n)
x(2n)
(2)
g(n)
xn2n为偶数
0n为奇数
解:
(1)
G(ejw)
g(n)ejnwx(2n)ejnw
x(k)e
n
n
k
k为偶数
kj-w
(1)
x(nno)
no为任意实整数
(2)
x
n2
n为偶数
g(n)
0
n为奇数
(3)
x(2n)
jwno
e
X(ejw)
1
2x(k)
k
kjw
1)x(k)e2
k
1
2k
'(J2)
2
x(k)e
1
2k
1
-x(k)(e2k
jkd)
2
x(k)e
)e
w
2x(/)
w
ej(「
w
2xd2)
X(
(2)G(ejw)g(n)ejnw
n
g(2r)ej2rw
x(r)e
r
jr2wX(ej2w)
6.设序列x(n)傅立叶变换为
jw、
X(e),求下列序列的傅立叶变换。
解:
(1)
(2)
x(n2)n为偶数
g(n)
X(ej2w)
为奇数
(3)
x(2n)
jw
X(e2)
7.计算下列各信号的傅立叶变换。
1
(1)
(2)nu(n3)u(n2)
⑵cos(18
sin(2n)
(2)
假定cos(18\)和sin(2n)的变换分别为
X,k)和X2(k),则
2
18218
X,k)
k
(Nk
2k)(k
7N7
2k)
X2(k)
Jk
(—k
N
22k)(2k22k
N
)
所以
X(k)
XNk)
X2(k)
(3)x(n)
cos(n3)
0
—1n4
其它
【解】
(1)X(k)
1
(-)nu(n3)
u(n2)
ej>
j\nj'
3
(2)e
j3—k
8eN__
j2Nk
2■N
kn
1le
2
j3^k
8eN
/1、5
(2)e
1j—k1丄eN
2
」、n
2
(2)e
j2—k
eN
1j三k
N
2
j5仝k
N
18
2k)
(2
2k
22k)j(k22k)
N
(3)
X(k)
jn2
cos—ne
43
Pk
jn
3)e
2
jnk
N
41J-n
尹3
n42
‘2
1J4(k-)
N3
e
2
2
J(k)n
3N
e
n0
2
J4(k
N_e2
9
9J
e
n0
2
(?
2N)n
2jq轨)9lej4W1e3N
D
2
2
1e%^k)
j4《k
3)
8求下列序列的时域离散傅里叶变换
X(n)
Rex(n)
xo(n)
X(n)
x(n)ej
(n)X(ej)
Rex(n)
1
2x(n)
1
X(n)ejnX(eJ)X(eJ)Xe(eJ)
2
Xo(n)ej
丄x(n)
x(n)ejnjImX(ej)
解:
三、离散时间系统系统函数
填空题:
1.设H(z)是线性相位FIR系统,已知H⑺中的3个零点分别为1,0.8,
1+j,该系统阶数至少为()。
解:
由线性相位系统零点的特性可知,z1的零点可单独出现,z0.8的零点需成对出现,z1j的零点需4个1组,所以系统至少为7阶。
简答题:
2.何谓最小相位系统?
最小相位系统的系统函数Hmin(Z)有何特点?
解:
一个稳定的因果线性时不变系统,其系统函数可表示成有理方程式
brZ
H(Z)竺斗,他的所有极点都应在单位圆内,即
Q(Z)1"
k1
k1。
但零点可以位于Z平面的任何地方。
有些应用中,需要约束一个系统,使它的逆系统G(Z)1H(Z)也是稳定因果的。
这就需要H(Z)的零点也位于单位圆内,即r1。
一个稳定因果的滤波器,女口果它的逆系统也是稳定因果的,则称这个系统是最小相位。
等价的,我们有如下定义。
【定义】一个有理系统函数,如果它的零点和极点都位于单位圆内,则有最小相位。
一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值|H(ejw)唯一确定。
2
从ejw求H(Z)的过程如下:
给定|ejw,先求ejw|,它是cos(kw)的函数。
然后,用1(ZkZk)替代cos(kw),我们得到G(Z)H(Z)H(Z1)。
最后,最小相位系统由单位圆内的G(Z)的极、零点形成。
一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通
系统的乘积,即
H(Z)Hmin(Z)Hap(Z)
完成这个因式分解的过程如下:
首先,把H(Z)的所有单位圆外的零
点映射到它在单位圆内的共轭倒数点,这样形成的系统函数Hmin⑵是最小相位的。
然后,选择全通滤波器Hap(Z),把与之对应的Hmin(Z)中的零点映射回单位圆外。
3.何谓全通系统?
全通系统的系统函数Hap(Z)有何特点?
解:
一个稳定的因果全通系统,其系统函数Hap(Z)对应的傅里叶变换
幅值
H(ejw)
1,该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式
的零极点必须呈共轭倒数对出现,即
Hap(Z)
P(Z)
Q(Z)
brZ
r0
N
1akZ
k1
N1
-冷。
因而,如果在Zk11kZ
k处有一个
极点,则在其共轭倒数点Z
处必须有一个零点
4.有一线性时不变系统,如下图所示,试写出该系统的频率响应、
系统(转移)函数、差分方程和卷积关系表达式。
xnyn
►hn►
解:
频率响应:
H(eJ)h(n)ejn
系统函数:
H(Z)
h(n)Z
差分方程:
Z1YI
卷积关系:
y(n)h(n)x(n)
第三章离散傅立叶变换
一、离散傅立叶级数
计算题:
1.如果x(n)是一个周期为N的周期序列,那么它也是周期为2N的周期序列。
把~(n)看作周期为N的周期序列有~(n)Xi(k)(周期为N);把~(n)看作周期为2N勺周期序列有~(n)文2(k)(周期为2N);试用&(k)
表示X2(k)。
解:
X^k)
N1
〜(n)W,n
n0
N1~(n)eF1"
n0
X2(k)
2N1
〜kn
x(n)W2N
n0
N1jUn
〜(n)eN2
n0
2N1jUn
〜(n)eN2
nN
对后一项令n
nN,则
N1.2k
jn
X2(k)〜(n)eN2
n0
N1
〜(n
n0
N)e
(1
(1
所以X2(k)
N1
jk)〜(n)e
n0
jk~k
jk)xq)
k
2X1(;)
2
0
k为偶数
k为奇数
离散傅立叶变换定义
填空题
2.某DFT的表达式是X(l)
x(k)W^1,则变换后数字频域上相邻两
k0
个频率样点之间的间隔是()。
解:
2.M
N1
3.某序列DF啲表达式是X(l)x(k)wM,由此可看出,该序列的时
k0
域长度是(),变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是
()。
解:
N2M
4.如果希望某信号序列的离散谱是实偶的,那么该时域序列应满足
条件(纯实数、偶对称)。
解:
纯实数、偶对称
5.采样频率为FsHz的数字系统中,系统函数表达式中z1代表的物理意义是(延时一个采样周期T=1/F),其中时域数字序列x(n)的序号n代表的样值实际位置是(nT=n/F);x(n)的N点DFTX(k)中,序号k代表的样值实际位置又是(k—k)。
N
解:
延时一个采样周期T1F,nTnF,k—k
N
6.用8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样,为进行频谱分析,计算了
512点的DFT则频域抽样点之间的频率间隔f为8000/512,数字角频
率间隔w为2pi/512和模拟角频率间隔8000*0.0123。
解:
15.625,0.0123rad,98.4rad/s
判断说明题:
7.—个信号序列,如果能做序列傅氏变换对它进行分析,也就能做
DFT对它进行分析解:
错。
如果序列是有限长的,就能做DFT对它进行分析。
否则,频域采样将造成时域信号的混叠,产生失真。
计算题8令X(k)表示N点的序列x(n)的N点离散傅里叶变换,X(k)本身也是一个N点的序列。
如果计算X(k)的离散傅里叶变换DFT得到一序列
Xi(n),试用x(n)求Xi(n)
N1N1
x(n)W『WN;k
1N
x(n)
0k
0
n)
N1
解:
Xi(n)X(k)WN;k
k0
因为
N
n)
nnNl
其他
所以
N1
X1(n)Nx(nNl)Nx((n))nRn(n)
n
9.序列x(n)HQO,其4点DFTx(k)如下图所示。
现将x(n)按下列
(1),
(2),(3)的方法扩展成8点,求它们8点的DFT?
(尽量利用DFT
的特性)
Xk
y1(n)
x(n)
x(n4)
y2(n)
x(n)
n0~3
(2)
0
n4~7
ya(n)
x(*
n偶数
(3)
0
n奇数
解:
Y12k2Xk,
0k3
Y12k1
0
(2)丫2
k1
X$
2
Xk,k12k,0k17,0k3
(3)丫3
k1
Xk1
4Xk
0
k1
7,0k
3,kk1mod4
10.设x(n)是一个2N点的序列,具有如下性质:
x(nN)x(n)
另设xi(n)x(n)Rn(n),它的N点DFT为x“(k),求x(n)的2N点DFTX(k)和X1(k)的关系。
解:
Xk2Xik推导过程略
2
11.试求以下有限长序列的N点DFT(闭合形式表达式)
(1)x(n)aR(n)
(2)x(n)nRn(n)
解:
(1)因为x(n)a
Rn5),所以
X(k)
1aN
ae⑺
(2)由x(n)nRn(n),得
N1
X(k)nW,kRN(k)
n0
N1
W,X(k)nwNn1)kRN(k)
n0
X(k)(1
knk
Wn)(nW”
n0
nWN(n1)k)RN(k)
wN
2k
2^Vn
((N
1)
3k
1
nk
Wn)RN(k)
1
(N
1)wNN1)k
2k
(Wn
3k
2^Vn
(N
2)wNN1)k
1)RN(k)
(N
1)
k
Wn1
RN(k)
NRz(k)
所以
X(k)
1WNkRN(k)
12.计算下列序列的
N点DFT:
R16
(1)
x(n)
an,0n
(2)
x(n)
cos
2
nm,
N
解:
(1)X(k)
1
nnkaWn
0
NNK
1aWN
1aWNk
1aWNk
(2)X(k)
12
cosmn0N
nk
Wn
.2jmn
N
.2jmn
N
jLnkeN
j2(km)e
j(km)
1eN
1ej2(km)
ej(5ej
(km)j-NJ(k
——eN
j(km)j(km)
NN
ee
m)
ej
(k
m)
ej(k
m)
e
j(km)j(km)
NN
ee
j»(km)
N
N1
sin((km))j〒(km)
esin(km)N
N1
sin(km)j〒(km)
esin(km)N
N,k=m或k=-m
2
0,
其它
13.已知一个有限长序列x(n)(n)2(n5)
(1)求它的10点离散傅里叶变换X(k)
(2)已知序列y(n)的10点离散傅立叶变换为Y(k)whx(k),求序
列y(n)
(3)已知序列m(n)的10点离散傅立叶变换为M(k)X(k)Y(k),求
序列m(n)
9
(n)2(n5)WF
N1
解;
(1)X(k)x(n)W0
n0
=1+2W15k=1+2e=1+2
(1)k,k0,1,...,9
(2)由Y(k)W"2kX(k)可以知道,y(n)是x(n)向右循环移位2的结果,
y(n)x(n2)(n2)2(n7)
(3)由M(k)X(k)Y(k)可以知道,m(n)是x(n)与y(n)的10点循环卷积。
一种方法是先计算x(n)与y(n)的线性卷积
u(n)x(n)y(n)x(l)y(nl)
l
=001,0,0,0,0,4,0,0,0,0,4
然后由下式得到10点循环卷积
m(n)u(n10l)R10(n)0,0,5,0,0,0,0,4,0,05(n2)4(n7)
l
另一种方法是先计算y(n)的10点离散傅立叶变换
(2)已知序列:
x(n)
o,其它'’,则x(n)的9点DFT是
X(k)e
sin—k
,k
sin—k
9
0,1,2,...8
正确否?
用演算来证明你的结论。
P345
解:
(1)
X(k)
1
sin
0
jJkn
eN
1N1
2jn0
.2jn
N
jLkn
N
1N1
2jn0
k)n
2
j—(1k)nN
jNkj2,k
.N.J,k
2
0,其它
nknk2k7k
Y(k)y(n)WNn22n7W10W102W10
n0
n0
再计算乘积
M(k)X(k)Y(k)12W15kW12k2W17k
W『
2W10k2W10k4W1102k
5W12k
4WF
由上式得到
m(n)5n24n7
14.
(1)已知序列:
2
x(n)sinn,0nN1,求x(n)的N点DFT
N
(2)X(k)
jLkn
9
1e®k
j_kjk
e3e3
j_k
j?
kSinEk
e9,K0,1,…8
sink
9
可见,题给答案是正确的。
15.—个8点序列x(n)的8点离散傅里叶变换X(k)如图5.29所示。
在x(n)的每两个取样值之间插入一个零值,得到一个16点序列y(n),
即
x-,n为偶数
r2
y(n)'
0,n为奇数
(1)求y(n)的16点离散傅里叶变换Y(k),并画出Y(k)的图形。
(2)N设X(k)的长度N为偶数,且有X(k)X(N1k),k0,1,...,N1,求x—。
2
2
Xk
解:
(1)因n为奇数时y(n)0,故
nknnk
Y(k)y(n)W〔6x—W16
n0n0,2,...2
7
mk
x(m)W8,
m0
0k15
7
另一方面
x(m)W8mk,0k7
X(k)m0
0,其它
7
因此X(k8)m0X(m)W8m(k8),8k15
0,其它
7
x(m)W8mk,0k15
m0
0,其它
所以
7
Y(k)x(m)W8mk
Y(k)m0
0,
0k15
其它
X(k),
0k7
X(k8),
8k15
0,
其它
按照上式可画出Y(k)的图形,如图5.34所示
16.计算下列有限长序列x(n)的DFT假设长度为N。
(1)x(n)an
(2)x(n)1,2,3,1
N1
aWN;
N1
解:
(1)X(k)anW0
n0
1aW,N1aN
1aWN;1aWN;
3
(2)X(k)x(n)W4nk
n0
W402W4k3W2kW43k
12W?
3WkW
(0k3)
12(j)k3
(1)kjk
17.长度为8的有限长序列x(n)的8点DFT为X(k),长度为16的一
个新序列定义为
n0,2,...14
y(n)
n1,3,...,15
0
试用X(k)来表示Y(k)DFTy(n)。
15
解:
Y(k)y(n)W*k
n0
77
2rk
y(2r)W16
y(2r
1W2r1)k
r0
r0
7
x(r)W8rk
r0
(k
0,1,...,15)
而
7nk
X(k)x(n)W8
n0
(k
0,1,...,7)
因此,当k0,1,...,7时,Y(k)X(k);当k8,9,...,15时,令
kl8(1
0,1,...,7),得到:
丫(1
8)x(r)W8r(l8)x(r)W8rlX(l)
r0r0
即Y(k)
X(k
8)
于是有
『X(k)
k0,1,...,7
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