高中数学解析几何解答题有答案.docx

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高中数学解析几何解答题有答案

高中数学解析几何解答题（有答案）试卷分析

解析几何解答题

1、椭圆G：

的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知

F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为

（1）求此时椭圆G的方程；

（2）设斜率为k（k0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0，）、Q的直线对称？

若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．

解：

（1）根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心…………………1分

故该椭圆中即椭圆方程可为………3分

设H（_,y）为椭圆上一点，则

……………4分

若，则有最大值…………………5分

由（舍去）（或b2+3b+927,故无解）……………6分

若…………………7分

由所求椭圆方程为…………………8分

（1）设，则由两式相减得

……③又直线PQ直线m直线PQ方程为

将点Q（）代入上式得，……④…………………11分

由③④得Q（）…………………12分

而Q点必在椭圆内部，

由此得,故当

时，E、F两点关于点P、Q的直线对称14分

2、已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为.

（Ⅰ）求的取值范围，并求的最小值；

（Ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，那么，是定值吗？

证明你的结论.

解：

（Ⅰ）与圆相切,……①

由,得,

故的取值范围为.

由于，当时，取最小值.6分

（Ⅱ）由已知可得的坐标分别为，

，

，

由①，得，为定值.12分

3、已知抛物线的焦点为F，点为直线与抛物线准线的交点，直线与抛物线相交于、两点，点A关于轴的对称点为D．

（1）求抛物线的方程。

（2）证明：

点在直线上；

（3）设，求的面积。

．

解：

（1）

设，，，的方程为．

（2）将代人并整理得，

从而

直线的方程为，

即令

所以点在直线上

（3）由①知，

因为，

故，解得

所以的方程为

又由①知故

4、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，点（2，3）、在该椭圆上，线段的中点在直线上，且三点不共线．

（I）求椭圆的方程及直线的斜率；

（Ⅱ）求面积的最大值．

解：

（I）设椭圆的方程为，

则，得，.

所以椭圆的方程为.…………………3分

设直线AB的方程为（依题意可知直线的斜率存在），

设，则由，得

由，得，

，设

易知，

由OT与OP斜率相等可得，即，

所以椭圆的方程为，直线AB的斜率为.……………………6分

（II）设直线AB的方程为，即，

由

得，

，.………………8分

.．

点P到直线AB的距离为.

于是的面积为

……………………10分

设，，其中.

在区间内，，是减函数；在区间内，，是增函数.所以的最大值为.于是的最大值为18.…………………12分

5、设椭圆的焦点分别为、，直线：

交轴于点，且．

（Ⅰ）试求椭圆的方程；

（Ⅱ）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、、四点（如图所示），若四边形的面积为，求的直线方程．

解：

（Ⅰ）由题意，-------1分

为的中点------------2分

即：

椭圆方程为------------3分

（Ⅱ）当直线与轴垂直时，，此时，

四边形的面积不符合题意故舍掉；------------4分

同理当与轴垂直时，也有四边形的面积不符合题意故舍掉；------------5分

当直线，均与轴不垂直时，设:

，

代入消去得：

------------6分

设------------7分

所以，------------8分

所以，------------9分

同理------------11分

所以四边形的面积

由，------------12分

所以直线或

或或---------13分

6、已知抛物线P：

_2=2py（p0）．

（Ⅰ）若抛物线上点到焦点F的距离为．

（ⅰ）求抛物线的方程；

（ⅱ）设抛物线的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线的切线，求此切线方程；

（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：

以CD为直径的圆过焦点F．

解：

（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点到焦点F的距离与到准线距离相等，即到的距离为3；

，解得．

抛物线的方程为．4分

（ⅱ）抛物线焦点，抛物线准线与y轴交点为，

显然过点的抛物线的切线斜率存在，设为，切线方程为．

由，消y得，6分

，解得．7分

切线方程为．8分

（Ⅱ）直线的斜率显然存在，设：

，

设，，

由消y得．且．

，；

∵，直线：

，

与联立可得，同理得．10分

∵焦点，

，，12分

以为直径的圆过焦点．14分

7、在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过原点.

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论.

解：

（I）由题意可得，2分

所以，即4分

即，即动点的轨迹的方程为5分

（II）设直线的方程为,，则.

由消整理得，6分

则，即.7分

.9分

直线

12分

即

所以，直线恒过定点.13分

8、已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，

求面积的最大值．

解：

（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，

所以，1分

又椭圆的离心率为，即，所以，2分

所以，.4分

所以，椭圆的方程为.5分

（Ⅱ）方法一：

不妨设的方程，则的方程为.

由得，6分

设，，因为，所以，7分

同理可得，8分

所以，，10分

，12分

设，则，13分

当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.14分

方法二：

不妨设直线的方程.

由消去得，6分

设，，

则有，.①7分

因为以为直径的圆过点，所以.

由，

得.8分

将代入上式，

得.

将①代入上式，解得或（舍）.10分

所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），

所以

.12分

设，

则.

所以当时，取得最大值.14分

9、过抛物线C:

上一点作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A、B两点。

（1）求证：

直线AB的斜率为定值；

（2）已知两点均在抛物线：

上，若△的面积的最大值为6，求抛物线的方程。

解：

（1）不妨设

…………………………………5分

（2）AB的直线方程为：

点M到AB的距离。

………………………………………7分

………9分

又由且

………………………11分

设为偶函数，故只需考虑，

所以上递增，

当时，

。

故所求抛物线的方程为……………………13分

10、已知椭圆的左焦点是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为

（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线轴时，求的值；

（2）求的值。

（Ⅰ）解：

由题意椭圆的离心率，，所以，

故椭圆方程为，┄┄┄┄┄┄3分

则直线，，

故或，

当点在轴上方时，，

所以，

当点在轴下方时，同理可求得，

综上，为所求．┄┄┄┄┄┄6分

（Ⅱ）解：

因为，所以，，

椭圆方程为,,直线，

设，

由消得，，

所以┄┄┄┄┄┄8分

故①

由，及，┄┄9分

得，

将①代入上式得，┄┄10分

注意到，得，┄┄11分

所以为所求．┄┄┄┄┄┄12分

11、在平面直角坐标系_Oy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆_2+y2=1上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角，使

．

（i）求证：

直线OA与OB的斜率之积为定值；

（ii）求OA2+OB2．

解：

（1）依题意，得c=1．于是，a=，b=1．…………………2分

所以所求椭圆的方程为．………………………………4分

（2）（i）设A（_1，y1），B（_2，y2），则①，②．

又设M（_，y），因，故……7分

因M在椭圆上，故．

整理得．

将①②代入上式，并注意，得．

所以，为定值．………………………………10分

（ii），故．

又，故．

所以，OA2+OB2==3．………………………16分

12、已知圆的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切。

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；

（Ⅱ）（Ⅰ）中轨迹上是否存在一点，使得为钝角？

若存在，求出点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．

解:

（Ⅰ）设动圆P的半径为r,则

两式相加得|PM|+|PN|=4|MN|

由椭圆定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，焦距为，实轴长为4的椭圆

其方程为…………6分

（Ⅱ）假设存在，设（_,y）.则因为为钝角，所以

，，

又因为点在椭圆上，所以

联立两式得：

化简得：

，

解得：

，所以存在。

……13分

13、已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？

若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

解：

（Ⅰ）椭圆右焦点的坐标为，………（1分）

．，

由，得．…………（2分）

设点的坐标为，由，有，

代入，得．………（4分）

（Ⅱ）解法一：

设直线的方程为，、，

则，．…………（5分）

由，得，同理得．…………（7分）

，，则．……（8分）

由，得，．………（9分）

则．……………（11分）

因此，的值是定值，且定值为．………（12分）

解法二：

①当时，、，则，．

由得点的坐标为，则．

由得点的坐标为，则．

．……………（6分）

②当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得．…（8分）

由，得，．…………（9分）

则．…………（11分）

因此，的值是定值，且定值为．…………（12分）

14、在平面直角坐标系中，已知圆B：

与点，P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB于点R，点R的轨迹记为曲线C。

（1）求曲线C的方程；

（2）曲线C与轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与轴重合的直线与曲线C的交点记为M，N，连结QM，QN，分别交直线为常数，且）于点E，F，设E，F的纵坐标分别为，求的值（用表示）。

解：

（1）连接，由题意得，，，

所以，…………………………………………………2分

由椭圆定义得，点的轨迹方程是.……………………………4分

（2）设，则，的斜率分别为，

则，，……………………………………………6分

所以直线的方程为，直线的方程，8分

令，则，……………………10分

又因为在椭圆，所以，

所以，其中为常数.…14分