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分类讨论思想
负数,
(没有
B?
A,
分类讨论思想
[思想方法解读]分类讨论思想是一种重要的数学思想方法,其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.
1中学数学中可能引起分类讨论的因素:
线的倾斜角等.
数运算中真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式中两边同乘以一个正数、
三角函数的定义域,等比数列{a*}的前n项和公式等.
等.
所得的结果不同,或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.
2.进行分类讨论要遵循的原则是:
分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”.
3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是:
首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不重不漏、分类互斥
重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论.
常考题型精析
题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论
例1设集合A={x€R|x2+4x=0},B={x€R|x2+2(a+1)x+a2—1=0,a€R},若求实数a的取值范围.
解•/A={0,—4},B?
A,于是可分为以下几种情况.
(1)当A=B时,B={0,—4},
—2(a+1F—4,
•••由根与系数的关系,得’2丿解得a=1.
a—1=0,
(2)当BA时,又可分为两种情况.
1当B丰?
时,即B={0}或B={—4},
当x=0时,有a=±;
当x=—4时,有a=7或a=1.
又由△=4(a+1)2—4(a2—1)=0,
解得a=—1,此时B={0}满足条件;
2当b=?
时,△=4(a+1)2—4(a2—1)<0,解得a<—1.
综合
(1)
(2)知,所求实数a的取值范围为a<—1或a=1.
B?
A,
点评对概念、公式、法则的内含及应用条件的准确把握是解题关键,在本题中,包括B=?
和BM?
两种情况•解答时就应分两种情况讨论,在关于指数、对数的运算中,底
数的取值范围是进行讨论时首先要考虑的因素.
变式训练1若函数f(x)=ax(a>0,1)在[—1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)
=(1—4m)寸X在[0,+^)上是增函数,则a=.
1
答案1
4
解析若a>1,有a2=4,a1=m,此时a=2,m=*,
此时g(x)=—x在[0,+g)上为减函数,不合题意.
若0 11 此时a=-,m=—,检验知符合题意. 416 题型二分类讨论在含参函数中的应用 例2已知函数f(x)=—x2+2ax+1—a在x€[0,1]上有最大值2,求a的值. 解函数f(x)=—x2+2ax+1—a =—(x—a)2+a2—a+1, 对称轴方程为x=a. (1)当a<0时,f(x)max=f(0)=1—a, 1—a=2,二a=—1. 2 ⑵当0wa<1时,f(x)max=f(a)=a—a+1, •-a? —a+1=2,•-a? —a—1=0,•-a=2~(舍). ⑶当a>1时,f(x)max=f (1)=a,•a=2. 综上可知,a=—1或a=2. 点评本题中函数的定义域是确定的,二次函数的对称轴是不确定的,二次函数的最值问题 与对称轴息息相关,因此需要对对称轴进行讨论,分对称轴在区间内和对称轴在区间外,从 而确定函数在给定区间上的单调性,即可表示函数的最大值,从而求出a的值. 变式训练2(2015江苏)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b€R). (1)试讨论f(x)的单调性; ⑵若b=c—a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(一汽一3)U1,2U|,+m,求c的值. 解 (1)f,(x)=3x2+2ax, 令f'(x)=0,解得Xi=0,X2=—3. 当a=0时,因为f'(x)=3X2》0,所以函数f(x)在(—8,+^)上单调递增; ⑵由⑴知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b, 设g(a)=27a3—a+c,因为函数f(x)有三个零点时,a的取值范围恰好是(一8,—3)U1,| 则在(―8,—3)上g(a)v0,且在1,2U2,+8上g(a)>0均恒成立. 从而g(—3)=c—K0,且g官==c—1>0,因此c=1. 此时,f(x)=x3+ax2+1—a=(x+1)[x2+(a—1)x+1—a], 因函数有三个零点,贝Ux2+(a—1)x+1—a=0有两个异于一1的不等实根,所以△=(a—1)2 —4(1—a)=a2+2a—3>0,且(—1)2—(a—1)+1—a工0, 解得a€(—8,—3)U1,2U2+8. 综上c=1. 题型三根据图形位置或形状分类讨论 X>0, y>0, 例3在约束条件下,当3 y+x y+2x<4 B.[7,15] A.[6,15] 答案D x+y=s,x=4—s, 解析由? y+2x=4y=2s—4, 取点A(2,0),B(4—s,2s—4),C(0,s),C'(0,4). (1)当3Ws<4时,可行域是四边形OABC,如图⑴所示,此时,7Wz<8. ⑵当4Ws<5时,此时可行域是△OAC',如图⑵所示,Zmax=8•综上,z=3x+2y最大值的变化范围是[7,8]. 点评几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论 (1)二次函数对称轴的变化; (2)函数问题中区间的变化;⑶函数图象形状的变化;⑷直线由 斜率引起的位置变化;(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化;(6) 立体几何中点、线、面的位置变化等. 22 变式训练3设F2为椭圆牛+y=1的两个焦点,P为椭圆上一点,已知P、F2是 94 一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求性的值. lPF2l 解若/PF2F1=90° 则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2, 又T叭+|PF2|=6,|F1F2|=2.5, 解得|PF1|=14|PF2|=4•••7 113,l23,|PF2|2. 若/F1PF2=90° 则|F1F2^=|PF1|2+|PF2|2, •|PF1|2+(6—|PF1|)2=20, 又|PF1|>|PF2|,•|PF1|=4,|PF2|=2, 高考题型精练 1.对于R上可导的任意函数 f(x),若满足(x—1)f'(x)》0,则必有() A.f(0)+f (2)<2f (1) B.f(0)+f (2)w2f (1) C.f(0)+f (2)》2f (1) 答案C D.f(0)+f (2)>2f (1) 解析依题意,若任意函数f(x)为常函数时,则(x—1)f'(x)=0在R上恒成立;若任意函数 f(x)不是常函数时,当x>1时,f'(x)>0,函数f(x)在(1,)上是增函数;当x<1时,f'(x)<0, f(x)在(—^,1)上是减函数,故f(x)当x=1时取得最小值,即有f(0)>f (1),f (2)>f (1),综上,则有f(0)+f (2)>2f (1). 2.已知数列{an}的前n项和Sn=pn—1(p是常数),则数列是() A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.以上都不对 答案D 解析•/Sn=pn—1, …a1=P—1,an=Sn—Sn-1=(p—1)p(n》2), 当pM1且pM0时,{an}是等比数列; 当p=1时,{an}是等差数列; 当p=0时,a1=—1,an=0(n》2),此时{an}既不是等差数列也不是等比数列. X》0, 3.已知变量x,y满足的不等式组丿 y》2x,表示的疋 个直角三角形围成的平面区域, ikx—y+1》0 则实数k等于( ) a.—2 B.1 2 C.0 D.—或0 答案D x>0, 解析不等式组 iy>2x, 表示的可行域如图(阴影部分)所示,由图可知若不等式组 g—y+1》0 「X》0, 1 *》2x, 表示的平面区域是直角三角形,只有直线 y=kx+1与直线x=0垂直(如图 ikx—y+1》0 ①)或直线y=kx+1与直线y=2x垂直(如图②)时,平面区域才是直角三角形. 1 由图形可知斜率k的值为0或一1 4.(2014四川)设m€R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx—y-m+3 =0交于点P(x,y),则|FA|+|PB|的取值范围是() A.[,5,2,5]B.[.10,25] C.[10,4.5]D.[2.5,4.5] 答案B 解析由动直线x+my=0知定点A的坐标为(0,0),由动直线mx—y—m+3=0知定点B的坐标为(1,3),且两直线互相垂直,故点P在以AB为直径的圆上运动.故当点P与点A或点 B重合时,|PA|+|PB取得最小值,(|PA|+|PB|)min=|AB|=10.当点P与点A或点B不重合时,在Rt△FAB中,有|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.因为|PA|2+|PB|2>2|PA||PB|,所以2(|PA|2+|PB|2)>(|FA|+|FB|)2,当且仅当|PA|=|PB|时取等号,所以|PA|+|FB|<2jPAf^+|FB|2=.2X■10=25,所以一10W|PA|+|PB|W25, 所以|PA|+|PB|的取值范围是[,10,25]. 5•抛物线y2=4px(p>0)的焦点为F,P为其上的一点,O为坐标原点,若△OPF为等腰三角形,则这样的点P的个数为() A.2B.3C.4D.6 答案C 解析当|PO|=|PF|时,点P在线段OF的中垂线上,此时,点P的位置有两个;当|OP|=|OF|时,点P的位置也有两个;对|FO|=|FP|的情形,点P不存在.事实上,F(p,0),若设P(x,y),则|FO|=p,|FP|=x—p2+y2,若x—p2+/=p,则有x2—2px+/=0,又y2=4px,•••x2+2px=0,解得x=0或x=—2p,当x=0时,不构成三角形.当x=—2p(p>0)时,与点P在抛物线上矛盾.•符合要求的点P一共有4个. 6.在等比数列{an}中,已知a3=2,S3=2贝Va1=. 3 答案3或6解析当q=1时,a1=a2=a3=|, S3=3a1=9,显然成立; 当qz1时,由题意,得 Iaiq2=I,① 所以ai1+q+q2=9,② 2由①②,得q^~—=3,即2q2—q—1=0, 所以q=—舟或q=1(舍去).当q=—*时,a1=q.=6. 22q 3综上可知,a〔=㊁或a1=6. 7•已知函数f(x)=ax3—3x+1对于x€[—1,1]总有f(x)>0成立,则a= 答案4 解析若x=0,则不论a取何值,f(x)>0显然成立; 当x>0即x€(0,1]时,f(x)=ax3—3x+1>0可化为 31 a>2—飞. xx 设g(x)=x2—文,则g'(x)=现1—2%),所以g(x)在区间01上单调递增,在区间21上单调递减, 因此g(x)max=g2=4,从而a>4; 当x<0即x€[—1,0)时, 331 f(x)=ax3—3x+1>0可化为a<-2—~3, xx 令g(x)=%—1,g,(x)=31—42x>0,g(x)在区间[—1,0)上单调递增, 因此g(x)min=g(—1)=4,从而a<4,综上得a=4. &(2014浙江)若某程序框图如图所示,当输入50时,则该程序运行后输出的结果是 答案6 解析输入n=50,由于i=1,S=0, 所以S=2X0+1=1,i=2,此时不满足S>50; 当i=2时,S=2X1+2=4,i=3,此时不满足S>50; 当i=3时,S=2X4+3=11,i=4,此时不满足S>50; 当i=4时,S=2X11+4=26,i=5,此时不满足S>50; 当i=5时,S=2X26+5=57,i=6,此时满足S>50,因此输出i=6. 9.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点, A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M. (1)求抛物线的方程; (2)以M为圆心,MB为半径作圆M,当K(m,0)是x轴上一动点时,讨论直线AK与圆M的 /亠护¥方位置关糸. 解⑴抛物线/=2px的准线为x=—p, 由题意得4+p=5,所以p=2, 所以抛物线的方程为y2=4x. ⑵由题意知,圆M的圆心为点(0,2),半径为2.当m=4时,直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离; 当mz4时,由 (1)知A(4,4), 即4x—(4—m)y—4m=0, 圆心M(0,2)到直线AK的距离 |2m+8| 令d>2,解得m>1. 所以,当m>1时,直线AK与圆M相离;当m=1时,直线AK与圆M相切;当m<1时,直线AK与圆M相交. 10.已知a是实数,函数f(x)=_x(x—a). ⑴求函数f(x)的单调区间; ⑵设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值. 1写出g(a)的表达式; 2求a的取值范围,使得—6Wg(a)<—2.解⑴函数的定义域为[0,+^), 3x—a 若aw0,则f'(x)>0,f(x)有单调递增区间[0,+^). 若a>0,令f'(x)=0,得x=备, 当0 3 当x>|时,f'(x)>0. a f(x)有单调递减区间[0,3], 有单调递增区间(3,+g). 3 ⑵①由⑴知,若aw0,f(x)在[0,2]上单调递增, 所以g(a)=f(0)=0. 若0 所以g(a)=f(3)=-讐;|. 若a>6,f(x)在[0,2]上单调递减, 所以g(a)=f (2)=2(2—a). 0,aw0, 综上所述,g(a)=—2aJ,0 22—a,a>6. ②令一6wg(a)w—2.若aw0,无解.
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