初中数学竞赛专题复习第一篇代数第5章不等式试题1人教版.docx
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初中数学竞赛专题复习第一篇代数第5章不等式试题1人教版
第5章不等式
§5.1一元一次不等式(组)
5.1.1★已知2(x2)3(4x1)9(1x),且y
110
x9,试比较_y与y的大小.
n31
解析首先解关于x的方程得x10.将x
10代入不等式得y
109,即y1.又因为11°,
n31
110
所以—yy
n31
5.1.2★解关于x的不等式3x23212x
aa
解析
由题设知a0,去分母并整理得
(2a:
3)x
(2a3)(a
1).
当2a
3
0,即a
3
-(a0)时,
2
xa1;
当2a
3
0,即a
3
-时,无解;
2
当2a
3
0,即a
3时,xa
2
1.
评注
对含有字母系数的不等式的解,
也要分情况讨论
5.1.3
★★已知不等式
(2ab)x3a
4b
0的解为
解析
已知不等式为
(3ab)x4b
3a.
由题设知
2a
b0,
4b
3a
4
2a
b
9.
2ab,
所以
7
ba.
8
由2a
7
a
8
,可得a
0,从而a0
b
7
a.
8
于是不等式
(a4b)x
2a3b0等价于
7
(a7
a)x
21
2aa
8
0,
即5
2
ax
5
5a,解得
8
1
x.
4
所求的不等式解为x
1
4*
x
5.1.4★★如杲关于x的不等式
4
9,求不等式(a4b)x2a3b0的解.
(2ab)xa5b0
的解集为x10,求关于x的不等式axb的解集.
7
解析由已知得
(2ab)x5ba,①
7x10.②
由已知①和②的解集相同,所以
2ab7,
5ba
10,
解得
a
5,
b
3.
从而ax
b的解集是
x
3
5
5.1.5★求不等式
111
(x1)(x1)>(x2)
326
的正整数解.
一177
解析由原不等式可得-X<-,所以x<-是原不等式的解.因为要求正整数解,所以原不等式的正
362
整数解为x1,2,3.
5.1.6★★如果不等式组9xa》0,的整数解仅为1、2、3,那么适合这个不等式组的整数a、b的有
8xb0
序数对(a,b)共有多少对?
解析由原不等式组可解得- 98 如图所示,在数轴上画出这个不等式组解集的可能范围,可得 0-<1, 9 3b<4. 8 24bw32. 所以,a1,2,…,9共9个,b25,26,…,32共8个,于是有序数对(a,b)共有9872个. 5.1.7★★★设a、b是正整数,求满足8旦? ,且b最小的分数-. 9b10b 解析欲求b的最小值,只需将b放入一个不等式,然后估计出b的下界,这里要用到整数的离散性, 即若整数x、y满足xy,则x>y1. 原不等式等价于 10 8b9a, 10a9b. 所以 8b1w9a, 10a1w9b. 8b 解得 c9b11w9- 10 b>19. 又分数 H满足8 199 17917 17—,故b最小且满足题意的分数是17 191019 5.1.8★已知5wmw20,25wnw30,求—的最大值和最小值. n 25wnw30,所以m的最大值为20,最小值为5;n的最大值为30,最小 解析因为5wmW20,值为25. 故m的最大值为m nn 5.1.9★★求同时满足 解析由a 20 25 a bc6和2a -的最小值为--1. nn306 6,2abc3和b>c>0的a的最大值及最小值. c3,得 93ac 2 再由b>c>0得,> 2 >0,解此不等式,得-waw3. 2 所以a的最大值为3,最小值为 5.1.10★求适合2xyxy, 3 2 且y满足方程3y 52y3x的x取值范围. 解析3y52y3x,所以y3x 2x(3x5)x 故x的取值范围是 5.1.11★★当 最小值. 3x 5,x2. 2. z为非负数时, 5.于是 3y2z x,3yz43x,求w3x3y4z的最大值和 3y 解析由 3y 2z x '解得 3x, 4x, 7x 3. 因为x、y、z均为非负数.所以, 从上面可得 w3x 26x 3y4z3x57x416x 9. 67 所以w的最大值是67, 7 w的最小值是 §5.2 5 2. 含绝对值的不等式(组) 5.2.1 ★ (1)解不等式 |3x2| (2)解析5.2.2 解不等式|3x2| 根据绝对值的非负性,易知 ★★解不等式|x5|12x 3. 3| 1)无解, (2)的解集为全体实数. 1. 解析原不等式的零点为5、-.根据零点的情况分类讨论• 2 (1)当x5时,原不等式化为 (x5)(2x3)1, 解之,得x3. 所以,此时不等式的解为x5. (2)当x-时,原不等式化为 2 (x5)(2x3)1, 解之,得x1. 所以,此时不等式的解为x1. 3 (3)当一 2 (x5)(2x3)1, 解之,得x7. 3 所以,此时不等式的解为7x<5. 3 综上,原不等式的解为x1或x7. 3 评注解与绝对值有关的不等式的关键一点是根据绝对值的定义,去掉不等式中的绝对值符号.分类讨 论是去绝对值符号的另一种重要方法. 5.2.3★解不等式|x7||x2|3. 解析1如图,分别用A、B两点代表7和2. |x7||x2|表示某点C(x所对应的点)至UA点和B点的距离差.又当x1时,C点到A、B两点的距离差恰好为3. ACB IIIIIIII1^I -7-1O2x 当点C靠近点A时,C到A、B两点的距离差变小,所以原不等式的解为 x1. 解析2因为7、2分别是|x7|和|x2|的零点,于是分三种情况讨论: (1)当x7时,原不等式变为 (x7)(x2)3, 此式恒成立,故x7是原不等式的解. (2)当7 (x7)(x2)3, 解得x1. 所以,7 (3)若x>2,原不等式变为 (x7)(x2)3, 即53,此不等式无解. 综上所述,原不等式的解为x1. 5.2.4★★解不等式||x3||x3||3. 解析原不等式等价于 |x3||x3|3,① 或 |x3||x3| 3. ② ①的解为x 3 一;②的解为x 3 2 2. 所以,原不等式的解为x—或x3. 22 525★解不等式: x25|x|60. 解析注意X2(|x|)2,整体分解. 由题意得 (|x|2)(|x|3)0, 即|x|3或|x|2, 而由|x|3得 x3或x3, 由|x|2得 2x2. 所以,原不等式的解为 x3或2x2或x3. 5.2.6★★解不等式组: x22x350, |x2|10. 解析由x2x350得x7或x5. 由|x2|10得8x12. 于是原不等式组的解就是 x7或x5, 8x12, 即 8x7或5x12. 5.2.7★★a取何值时,不等式 12x5||42x|a 无实数解? 解法1欲使不等式|2x5||42x|a无实数解,关键是求出12x5||42x|的最小值. 因|2x5|、|42x|的零点分别是5、2. 2 55 当x<3时,|2x5||42x|(2x5)42x14x.当x? 时,|2x5||42x|有最小值 9; 5 当—x<2时,|2x5||42x|2x542x9,最小值及最大值都是9; 2 当x2时,|2x5||42x|2x52x44x1,无最小值. 故|2x5||42x|的最小值为9. 欲使不等式|2x5||42x|a无实数解,则a<9. 解法2由|a||b|》|ab|,得 |2x5||42xp|2x5 42x|9, 2x|a无实数解,只需 故欲使不等式|2x5||4 解析1利用不等式性质: |x1||x3|>|x1(x3)|4,
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