新课标版学年高二下学期期末考试 数学理 Word版含答案.docx
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新课标版学年高二下学期期末考试数学理Word版含答案
2013-2014学年度下学期期末考试
高二数学理试题【新课标】
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合
,集合
,则
()
A、
B、
C、
D、
2、投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为
和
,则复数
为纯虚数的概率为( )
A、
B、
C、
D、
3、已知两不共线向量
=(cos
,sin
),
=(cos
,sin
),则下列说法不正确的是( )
A、
B、
C、
与
的夹角为
D、
在
方向上的射影与
在
方向上的射影相等
4、已知
是第二象限角,且
,则
的值为()
A、
B、
C、
D、
5、在等比数列
中,若
,
是方程
的两根,则
的值是()
A.
B.
C.
D.
6、某班级有70名学生,其中有30名男生和40名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在
某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93,下列说法正确的是( )
A、这种抽样方法是一种分层抽样
B、这种抽样方法是一种系统抽样
C、这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D、该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数
7、给定命题
:
函数
和函数
的图象关于原点对称;命题
:
当
时,函数
取得极小值.下列说法正确的是()
A、
是假命题B、
是假命题
C、
是真命题D、
是真命题
8、函数
的部分图象大致是()
9、阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为()
A、
B、
C、
D、
10、半径为1的球面上的四点A,B,C,D是正四面体的顶点,
则A与B两点间的球面距离为( )
A、
B、
C、
D、
11、已知函数
是定义在实数集R上的奇函数,且当
成立(其中
的导函数),若
,
,
,则
,
,
的大小关系是()
A、
B、
C、
D、
12、如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2AD,设
,
,以A,B为焦点且过点D的双曲线的离心率为
,以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为
,则( )
A、随着角度
的增大,
增大,
为定值
B、随着角度
的增大,
减小,
为定值
C、随着角度
的增大,
增大,
也增大
D、随着角度
的增大,
减小,
也减小
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13、若一个几何体的三视图如图所示,
则此几何体的体积为 .
14、记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,
要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,则不同的排法有 .
15、若
,且
,则
的取值范围是 _________ .
16、定义在
上的函数
满足
,当
时,
,则函数
在
上的零点个数是 .
三、解答题:
本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、(12分)在
中,角
对的边分别为
,且
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)若
,求
的面积
18、(12分)某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为
.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.
(Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率;
(Ⅱ)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.
19、(12分)如图几何体,正方形
和矩形
所在平面
互相垂直,
为
的中点,
于
。
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求二面角
的大小。
20、(12分)已知椭圆
的焦距为4,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设
为椭圆
上一点,过点
作
轴的垂线,垂足为
.取点
连接
过点
作
的垂线交
轴于点
.点
是点
关于
轴的对称点,作直线
问这样作出的直线
是否与椭圆C一定有唯一的公共点?
并说明理由。
21、(12分)已知函数
(
为自然对数的底数).
(Ⅰ)若曲线
在点
处的切线平行于
轴,求
的值;
(Ⅱ)求函数
的极值;
(Ⅲ)当
的值时,若直线
与曲线
没有公共点,求
的最大值.
请考生在
三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22、(10分)选修4—1 几何证明选讲
如图,设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E,
∠BAC的平分线与BC交于点D.求证:
.
23、(10分)选修4-4;坐标系与参数方程
已知曲线C1:
(
为参数),曲线C2:
(t为参数).
(Ⅰ)指出C1,C2各是什么曲线,并说明C1与C2公共点的个数;
(Ⅱ)若把C1,C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线
.写出
的参数方程.
与
公共点的个数和C
公共点的个数是否相同?
说明你的理由.
24、(10分)选修
;不等式选讲
设函数
.
(
)解不等式
;(
)求函数
的最小值.
2012—2013学年度下学期北镇高中高二期末考试
数学试题(理科答案)
(2)由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC,
即4=a2+b2﹣ab=(a+b)2﹣3ab,
又a+b=ab,所以(ab)2﹣3ab﹣4=0,…(8分)
解得ab=4或ab=﹣1(舍去)…(10分)
所以中奖人数ξ的分布列为
…(11分)
Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=
.…(12分)
19、(
)证明:
连结
交
于
连结
因为
为
中点,
为
中点,
所以
…(6分)
因为C、N、E三点共线,可以设
则
,得
,又因为
…(9分)
设平面
的法向量为
=(x,y,z),
…(10分)
设平面
的法向量为
=(x,y,z),
…(11分)
所以二面角
的大小为
。
…(12分)
20、解:
(1)因为椭圆过点
且
椭圆C的方程是
…(4分)
(2)
由题意,各点的坐标如上图所示,…(6分)
则
的直线方程:
②当
时,令
得
.
;
.
所以
在
上单调递减,在
上单调递增,
故
在
处取得极小值,且极小值为
无极大值.
综上,当
时,函数
无极小值;
②当
时,方程(*)化为
.
令
则有
.
令
得
当
变化时,
的变化情况如下表:
当
时,
同时当
趋于
时,
趋于
从而
的取值范围为
.
所以当
时,方程(*)无实数解,
解得
的取值范围是
.
综上,得
的最大值为
.…(12分)
22、证明:
如图,因为
是圆的切线,
所以,
又因为
是
的平分线,
所以
从而
…(5分)
因为
所以
故
.
因为
是圆的切线,所以由切割线定理知,
而
所以
…(10分)
化为普通方程为:
:
,
:
,联立消元得
,
其判别式
,
所以压缩后的直线
与椭圆
仍然只有一个公共点,
和
与
公共点个数相同.…(10分)
24、解:
(Ⅰ)令
,则
.............(3分)
作出函数
的图象,它与直线
的交点为
和
.
所以
的解集为
....(6分)
(Ⅱ)由函数
的图像可知,
当
时,
取得最小值
.....(10分)
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