《管理运筹学》第二版课后习题参考答案精心总结.docx

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《管理运筹学》第二版课后习题参考答案精心总结

《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案

第1章线性规划（复习思考题）

1.什么是线性规划？

线性规划的三要素是什么？

答：

线性规划（LinearProgramming,LP）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。

线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。

建立线性规划问题要具备三要素：

决策变量、约束条件、目标函数。

决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。

2.求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？

答：

（1）唯一最优解：

只有一个最优点；

（2）多重最优解：

无穷多个最优解；

（3）无界解：

可行域无界，目标值无限增大；

（4）没有可行解：

线性规划问题的可行域是空集。

当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。

3.什么是线性规划的标准型？

松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？

答：

线性规划的标准型是：

目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi一0，

决策变量满足非负性。

如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业

来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“拠约束

的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。

4.试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。

答：

可行解：

满足约束条件AX二b,X-0的解，称为可行解。

基可行解：

满足非负性约束的基解，称为基可行解

可行基：

对应于基可行解的基，称为可行基。

最优解：

使目标函数最优的可行解，称为最优解。

最优基：

最优解对应的基矩阵，称为最优基。

它们的相互关系如右图所示：

5•用表格单纯形法求解如下线性规划

maxZ=4x1x22x3

8x-i3x2x3_2

s.t.«6为+x2+x3兰8

Xi,X2,X3启0

解：

标准化maxZ=4xj•x2-2x3

8x13x2X3X4

列出单纯形表

s.t.<6xi+X2+X3+X5=8

Xi,X2,X3,X4,X^0

Cj

4

1

2

0

0

Cb

XB

b

X1

X2

X3

X4

X5

0

X4

2

[8]

3

1

1

0

2/8

0

X5

8

6

1

1

0

1

8/6

4

1

2

0

0

4

X1

1/4

1

3/8

[1/8]

1/8

0

（1/4）/（1/8）

0

X5

13/2

6

—5/4

1/4

—3/4

1

（13/2）/（1/4）

0

—1/2

3/2

-1/2

0

2

X3

2

8

3

1

1

0

0

X5

6

-2

—2

0

—1

1

—12

—5

0

—2

0

故最优解为X*=（0,0,2,0,6）t，即Xi=0,X2=0,x^2，此时最优值为Z（X*）=4.

6.表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中ai,a2,Ci,C2,d为何值及变量属于哪一类型时有：

（1）表中解为唯一最优解；

（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以人代替基变量X5;（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问

题无可行解。

生活不会辜负努力的人

表1—15某极大化问题的单纯形表

Cj

G

C2

0

0

0

0

Cb

XB

b

X1

X2

X3

X4

X5

vi

0

X3

d

4

a1

1

0

0

0

X4

2

-1

-5

0

1

0

0

X5

3

a2

-3

0

0

1

G

C2

0

0

0

解:

（1）dA0,C|c0,c2

<0；

（2）

dKOu

兰0,c2兰0

（c1,c2中至少有一个为零）

7

（3）

c^>0,a2

>0,d>3;

4a2

（4）

c2a0,a1

兰0；

（5）&为人工变量，且°为包含M的大于零的数，-—;或者X2为人工变量,

4a2

且C2为包含M的大于零的数，a!

0,d0.

7•用大M法求解如下线性规划。

maxZ=5x13x26x3

+2x2+x3兰18

2xi+X2+3X3<16

s.t.

x1x2x3=10

X1,X2,X3一0

解：

加入人工变量，进行人造基后的数学模型如下：

maxZ=5x13x26x30x40x5-Mx6

%+2x2+x3+x4=18

2x1+X2+3x3+X5=16

s.t.

IX1+X2+X3+x6=10

.Xi-0（i=1,2,,6）

列出单纯形表

Cj

5

3

6

0

0

—M

ei

CB

Xb

b

X1

X2

X3

X4

X5

X6

0

X4

18

1

2

1

1

0

0

18/1

0

X5

16

2

1

[3]

0

1

0

16/3

-M

X6

10

1

1

1

0

0

1

10/1

aj

5+M

3+M

6+M

0

0

0

0

X4

38/3

1/3

5/3

0

1

—1/3

0

38/5

6

X3

16/3

2/3

1/3

1

0

1/3

0

16

-M

X6

14/3

1/3

[2/3]

0

0

—1/3

1

14/2

aj

1

1+—M

3

1+-M

3

0

0

1

-2——M

3

0

0

X4

1

—1/2

0

0

1

1/2

—5/2

—

6

X3

3

[1/2]

0

1

0

1/2

—1/2

6

3

X2

7

1/2

1

0

0

—1/2

3/2

14

aj

1/2

0

0

0

—3/2

——M

2

0

X4

4

0

0

1

1

1

—3

5

X1

6

1

0

2

0

1

—1

3

X2

4

0

1

—1

0

—1

2

aj

0

0

—1

0

—2

—1—M

故最优解为X*=（6,4,0,4,0,0）T，即Xi=6,X2=4,X3=0，此时最优值为Z（X*）=42.

8.A,B,C三个城市每年需分别供应电力320,250和350单位，由I,II两个电

站提供，它们的最大可供电量分别为400单位和450单位，单位费用如表1—16所示。

由于需要量大于可供量，决定城市A的供应量可减少0〜30单位，城市B的供应量不变，城市C的供应量不能少于270单位。

试建立线性规划模型，求将可供电量用完的最低总费用分配方案。

表1—16单位电力输电费（单位：

元）

''电城市^

A

B

C

I

15

18

22

II

21

25

16

解：

设Xj为“第i电站向第j城市分配的电量”（i=1,2;j=1,2,3）,建立模型如下:

maxZ=15xii18x1222xi321x2125x2216x23

X11x12x13=400

X21X22X23=450

&x21_290

X13■X23亠270

X13'X23—350

XjK0,i=1,2;j=1,2,3

9•某公司在3年的计划期内，有4个建设项目可以投资：

项目I从第一年到第三年年初都可以投资。

预计每年年初投资，年末可收回本利120%，每年又可以重新将所

获本利纳入投资计划；项目II需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150%，又可

以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资不得超过20万元；项目III

需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160%，但用于该项目的最大投资不得超

过15万元；项目IV需要在第三年年初投资，年末可收回本利140%，但用于该项目的

最大投资不得超过10万元。

在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。

问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？

解：

设x

（1）表示第一次投资项目i，设x

（2）表示第二次投资项目i，设Xi⑶表示第三次投资项目i，（i=1,2,3,4），则建立的线性规划模型为

maxZ=1.2x：

3）-1.6x31）1.4x^

X1

（1）+x2°兰30

xf+x『兰1.2xJ+30-X；1）-x2°

s.t.

x13）x41）=1.2xf1.5x2°-1.2x^30-xj-xj-xf

x2°兰20

xj兰15

xf<10

Xi⑴x

（2）,x（3）^0,i=1,2,3,4

通过LINGO软件计算得：

xj-10,x^^20,xr^0,x1（2^12,x1（2^44

10.某家具制造厂生产五种不同规格的家具。

每种家具都要经过机械成型、打磨、上漆几道重要工序。

每种家具的每道工序所用的时间、每道工序的可用时间、每种家具的利润由表1—17给出。

问工厂应如何安排生产，使总利润最大？

表1—17家具生产工艺耗时和利润表

生产工序

所需时间（小时）

每道工序可用时间（小时）

1

2

3

4

5

成型

3

4

6

2

3

3600

打磨

4

3

5

6

4

3950

上漆

2

3

3

4

3

2800

利润（百元）

2.7

3

4.5

2.5

3

解：

设Xi表示第i种规格的家具的生产量（i=1,2,…,5）,则

maxZ=2.7捲3x24.5x32.5x43x5

3捲+4x2+6x3+2x4+3x5兰3600

4%+3x2+5x3+6x4+4x5乞3950

s.t.

2xj+3x2+3x3+4x4+3x5兰2800

xi-0,iT,,5

通过LINGO软件计算得：

X1=0,X2=38x=254“=0x=642,Z=3181.

11.某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A,B,C三种设备加工。

已知生产

单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2—10所示＜

表1—18产品生产工艺消耗系数

甲

乙

丙

设备能力

A（小时）

1

1

1

100

B（小时）

10

4

5

600

C（小时）

2

2

6

300

单位产品利润（元）

10

6

4

解：

（1）设X!

X2,X3分别表示甲、乙、丙产品的生产量，建立线性规划模型

maxZ=10X!

6x24x3

x^i+x2+x3兰100

10捲+4x2+5x3兰600s.t.

2x

X「X2,X3—0

标准化得

maxZ=10xi6x24x30x40x50x6

x^i+x2+x3+x4=100

10%+4x2+5x3+x5=600s.t.

2x^1+2x2+6X3+x6=300

X1,X2,X3,X4,X5,X6一0

列出单纯形表

Cj

10

6

4

0

0

0

9i

CB

Xb

b

X1

X2

X3

X4

X5

X6

0

X4

100

1

1

1

1

0

0

100

0

X5

600

[10]

4

5

0

1

0

60

0

X6

300

2

2

6

0

0

1

150

aj

10

6

4

0

0

0

0

X4

40

0

[3/5]

1/2

1

—1/10

0

200/3

10

X1

60

1

2/5

1/2

0

1/10

0

150

0

X6

180

0

6/5

5

0

—1/5

1

150

aj

0

2

-1

0

—1

0

6

X2

200/3

0

1

5/6

5/3

—1/6

0

10

X1

100/3

1

0

1/6

—2/3

1/6

0

0

X6

100

0

0

4

—2

0

1

0

0

—8/3

—10/3

—2/3

0

故最优解为x-i=100/3,x2=200/3,x3=0，又由于x1,x2,x3取整数，故四舍五入可得

最优解为x-i=33,x2=67,x3=0,Zmax=732.

Cj

10

6

C3

0

0

0

6i

CB

Xb

b

X1

X2

X3

X4

X5

X6

6

X2

200/3

0

1

5/6

5/3

—1/6

0

10

X1

100/3

1

0

1/6

—2/3

1/6

0

0

X6

100

0

0

4

—2

0

1

aj

0

0

C3—20/3

—10/3

—2/3

0

（2）产品丙的利润C3变化的单纯形法迭代表如下:

202

要使原最优计划保持不变，只要二3=C3-訂0，即心§”667.故当产品丙每

件的利润增加到大于6.67时，才值得安排生产。

如产品丙每件的利润增加到6时，此时6<6.67，故原最优计划不变。

（3）由最末单纯形表计算出

121

二3--1C|乞0,匚4--10G岂0,匚5=1C|乞0，

636

解得6g叮5，即当产品甲的利润C1在［6,15］范围内变化时，原最优计划保持不变

（4）由最末单纯形表找出最优基的逆为BA=

5/3

-2/3

-2

-1/60

1/60，新的最优解为

01丿

广5/3

-1/6

0、

‘100+10q、

_1

3

^200+50q'

XB=B"=

-2/3

1/6

0

600

100-20q

J一2

0

h

、300丿

^（100_20q）j

-0

q的变化范围为［-4,5］.

解得-4乞q乞5，故要保持原最优基不变的

（5）如合同规定该厂至少生产10件产品丙，则线性规划模型变成

maxZ=10x16x24x3

x1x2x3乞100

10%4x25x3三600

s.t.」2x^1+2x2+6x3兰300

x3-10

X1,X2,X3-0

通过LINGO软件计算得到：

禺=32x=58x=10,Z=708.

第2章对偶规划（复习思考题）

1对偶问题和对偶向量（即影子价值）的经济意义是什么？

答：

原问题和对偶问题从不同的角度来分析同一个问题，前者从产品产量的角度来考察利润，后者则从形成产品本身所需要的各种资源的角度来考察利润，即利润是产品生产带来的，同时又是资源消耗带来的。

对偶变量的值yi表示第i种资源的边际价值，称为影子价值。

可以把对偶问题的解丫定义为每增加一个单位的资源引起的目标函数值的增量。

2•什么是资源的影子价格？

它与相应的市场价格有什么区别？

答：

若以产值为目标，则yi是增加单位资源i对产值的贡献，称为资源的影子价格

（ShadowPrice）。

即有“影子价格=资源成本+影子利润”。

因为它并不是资源的实际价格，而是企业内部资源的配比价格，是由企业内部资源的配置状况来决定的，并不是由市场来决定，所以叫影子价格。

可以将资源的市场价格与影子价格进行比较，当市场价格小于影子价格时，企业可以购进相应资源，储备或者投入生产；当市场价格大于影子价格时，企业可以考虑暂不购进资源，减少不必要的损失。

3.如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系？

答：

（1）最优性定理：

设X,丫分别为原问题和对偶问题的可行解，且CX二bTY,则X,丫分别为各自的最优解。

（2）对偶性定理：

若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的目

标函数值相等。

（3）互补松弛性：

原问题和对偶问题的松弛变量为Xs和Ys，它们的可行解X*,Y*为最优解的充分必要条件是Y*Xs=0,YsX*=0.

（4）对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯形表中，初始基变量的检验数的负

值。

若-Ys对应于原问题决策变量x的检验数，则-丫对应于原问题松弛变量Xs的检验

4•已知线性规划问题

maxZ=4x1x22x3

血+3x2+x3兰2（第一种资源）

s.t.*6为+x2+x3兰8（第二种资源）

Xi,X2,X330

（1）求出该问题产值最大的最优解和最优值。

（2）求出该问题的对偶问题的最优解和最优值。

（3）给出两种资源的影子价格，并说明其经济含义；第一种资源限量由2变为4,最优解是否改变？

（4）代加工产品丁，每单位产品需消耗第一种资源2单位，消耗第二种资源3单

位，应该如何定价？

解：

（1）标准化，并列出初始单纯形表

Cj

4

1

2

0

0

Cb

XB

b

X1

X2

X3

X4

X5

0

X4

2

[8]

3

1

1

0

2/8

0

X5

8

6

1

1

0

1

8/6

4

1

2

0

0

4

Xi

1/4

1

3/8

[1/8]

1/8

0

2

0

X5

13/2

6

—5/4

1/4

—3/4

1

26

aj

0

—1/2

3/2

-1/2

0

2

X3

2

8

3

1

1

0

0

X5

6

-2

—2

0

—1

1

—12

—5

0

—2

0

由最末单纯性表可知，该问题的最优解为：

X*=（0,0,2,0,6）T，即x,=0,x2=0,x3=2，

最优值为Z=4.

（2）由原问题的最末单纯形表可知，对偶问题的最优解和最优值为：

yi=2,y2=0,w=4.

（3）两种资源的影子价格分别为2、0,表示对产值贡献的大小；第一种资源限量由2变为4,最优解不会改变。

（4）代加工产品丁的价格不低于2203=4.

5.某厂生产A,B,C,D4种产品，有关资料如表2—6所示。

表2—6

^资源消耗

资源

产品

资源供应量

（公斤）

原料成本

（元/公斤）

A

B

C

D

甲

2

3

1

2

800

2.0

乙

5

4

3

4

1200

1.0

丙

3

4

5

3

1000

1.5

单位产品售价（元）

14.5

21

15.5

16.5

（1）请构造使该厂获利润最大的线性规划模型，并用单纯形法求解该问题（不计加工成本）。

（2）该厂若出租资源给另一个工厂，构成原问题的对偶问题，列出对偶问题的数学模型，资源甲、乙、丙的影子价格是多少？

若工厂可在市场上买到原料丙，工厂是否应该购进该原料以扩大生产？

（3）原料丙可利用量在多大范围内变化，原最优生产方案中生产产品的品种不变（即最优基不变）？

（4）若产品B的价格下降了0.5元，生产计划是否需要调整？

解：

（1）设X!

X2,X3,X4分别表示甲、乙、丙产品的生产量，建立线性规划模型

maxZ=x「5x23x34x4

2x!

+3x2+X3+2X4兰800

5%+4x2+3x3+4x4兰1200s.t.

3%+4x2+5x3+3x4<1000

Xi_0,i=1,2,3,4

初始单纯形表

Cj

1

5

3

4

0

0

0

日i

CB

Xb

b

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

0

X5

800

2

3

1

2

1

0

0

800/3

0

X6

1200

5

4

3

4

0

1

0

1200/4

0

X7

1000

3

[4]

5

3

0

0

1

1000/4

1

5

3

4

0

0

0

最末单纯形表

Cj

1

5

3

4

0

0

0

CB

Xb

b

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

°i

0

X5

100

1/4

0

-13/4

0

1

1/4

-1

4

X4

200

2

0

-2

1

0

1

-1

5

X2

100

-3/4

1

11/4

0

0

-3/4

1

aj

-13/4

0

-11/4

0

0

-1/4

-1

解得最优解为：

X^（0,100,012001100）T，最优值Z=1300.

（2）原问题的对偶问题的数学模型为

mi側=80朗+120g2+10003

勿+5y2+3y3色1

3%+4y2+4y3工5

s.t.«y^i+3y2+5y3王1

2y^4y^3y^4

y1,y2,y^0

解得影子价格分别为2、1.25、2.5。

对比市场价格和影子价格，当市场价低于影子

价格时购进

（3）原料丙可利用量在［900,1100］范围内变化，原最优生产方案中生产产品的品种不变（即最优基不变）。

（4）若产品B的价格下降了0.5元，生产计划不需要调整。

6•某企业生产甲、乙两种产品，产品生产的工艺路线如图2—1所示，试统计单位产品的设备工时消耗，填入表2—7。

又已知材料、设备C和设备D等资源的单位成本和拥有量如表2—7所示。

表2—7资源消耗与资源成本表

产品

资源

资源消耗

资源成本

资源拥有量

甲

乙

元/单位资源

材料（公斤）

60

50

200

4200

设备C（