圆中考复习题.docx
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圆中考复习题.docx
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圆中考复习题
23.(2013山东莱芜,23,10分)如图,⊙O的半径为1,直线CD经过圆心O,交⊙O于C、D两点,直径AB⊥CD,点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点,AM所在的直线交于⊙O于点N,点P是直线CD上另一点,且PM=PN.
(1)当点M在⊙O内部,如图一,试判断PN与⊙O的关系,并写出证明过程;
(2)当点M在⊙O外部,如图二,其它条件不变时,
(1)的结论是否还成立?
请说明理由;
(3)当点M在⊙O外部,如图三,∠AMO=15°,求图中阴影部分的面积.
24.(2013•烟台)如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,连接AC交⊙O于点D,E为
上一点,连结AE,BE,BE交AC于点F,且AE2=EF•EB.
(1)求证:
CB=CF;
(2)若点E到弦AD的距离为1,cos∠C=,求⊙O的半径.
24.(9分)(2013•淄博)矩形纸片ABCD中,AB=5,AD=4.
(1)如图1,四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形.你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形,最大面积是多少?
说明理由;
(2)请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形.要求:
在图2的矩形ABCD中画出裁剪线,并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图(使正方形的顶点都在网格的格点上).
考点:
四边形综合题.
分析:
(1)设AM=x(0≤x≤4)则MD=4﹣x,根据正方形的性质就可以得出Rt△ANM≌Rt△DMF.根据正方形的面积就可以表示出解析式,由二次函数的性质就可以求出其最值;
(2)先将矩形纸片分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图,根据赵爽弦图的构图方法就可以拼成正方形.
解答:
解:
(1)正方形的最大面积是16.设AM=x(0≤x≤4),则MD=4﹣x.
∵四边形MNEF是正方形,
∴MN=MF,∠AMN+∠FMD=90°.
∵∠AMN+∠ANM=90°,
∴∠ANM=∠FMD.
∵在△ANM和△DMF中
,
∴△ANM≌△DMF(AAS).
∴DM=AN.
∴S正方形MNEF=MN2=AM2+AN2,
=x2+(4﹣x)2,
=2(x﹣2)2+8
∵函数S正方形MNEF=2(x﹣2)2+8的开口向上,
对称轴是x=2,
在对称轴的左侧S随x的增大而减小,在对称轴的右侧S随x的增大而增大,
∵0≤x≤4,
∴当x=0或x=4时,
正方形MNEF的面积最大.
最大值是16.
(2)先将矩形纸片ABCD分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图1,然后拼成如图2的正方形.
点评:
本题考查了全等三角形的判定及性质的运用,勾股定理的运用,二次函数的解析式的运用,拼图的运用,在解答本题时由正方形的性质建立二次函数是求最值的关键.
25.(12分)(2014年贵州安顺)如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,弦ED⊥AB于点F,交BC于点G,过点C的直线与ED的延长线交于点P,PC=PG.
(1)求证:
PC是⊙O的切线;
(2)当点C在劣弧AD上运动时,其他条件不变,若BG2=BF•BO.求证:
点G是BC的中点;
(3)在满足
(2)的条件下,AB=10,ED=4
,求BG的长.
考点:
切线的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.
专题:
几何综合题.
分析:
(1)连OC,由ED⊥AB得到∠FBG+∠FGB=90°,又PC=PD,则∠1=∠2,而∠2=∠FGB,∠4=∠FBG,即可得到∠1+∠4=90°,根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)连OG,由BG2=BF•BO,即BG:
BO=BF:
BG,根据三角形相似的判定定理得到△BGO∽△BFG,由其性质得到∠OGB=∠BFG=90°,然后根据垂径定理即可得到点G是BC的中点;
(3)连OE,由ED⊥AB,根据垂径定理得到FE=FD,而AB=10,ED=4
,得到EF=2
,OE=5,在Rt△OEF中利用勾股定理可计算出OF,从而得到BF,然后根据BG2=BF•BO即可求出BG.
解答:
(1)证明:
连OC,如图,
∵ED⊥AB,
∴∠FBG+∠FGB=90°,
又∵PC=PG,
∴∠1=∠2,
而∠2=∠FGB,∠4=∠FBG,
∴∠1+∠4=90°,即OC⊥PC,
∴PC是⊙O的切线;
(2)证明:
连OG,如图,
∵BG2=BF•BO,即BG:
BO=BF:
BG,
而∠FBG=∠GBO,
∴△BGO∽△BFG,
∴∠OGB=∠BFG=90°,
即OG⊥BG,
∴BG=CG,即点G是BC的中点;
(3)解:
连OE,如图,
∵ED⊥AB,
∴FE=FD,
而AB=10,ED=4
,
∴EF=2
,OE=5,
在Rt△OEF中,OF=
=
=1,
∴BF=5﹣1=4,
∵BG2=BF•BO,
∴BG2=BF•BO=4×5,
∴BG=2
.
点评:
本题考查了切线的判定定理:
过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线.也考查了垂径定理、勾股定理以及三角形相似的判定与性质.
24.(12分)(2014•铜仁)如图所示,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,D是AB延长线上一点,连接DC,且AC=DC,BC=BD.
(1)求证:
DC是⊙O的切线;
(2)作CD的平行线AE交⊙O于点E,已知DC=10
,求圆心O到AE的距离.
考点:
切线的判定..
分析:
(1)连接OC,根据等腰三角形的性质求出∠CAD=∠D=∠BCD,求出∠ABC=∠D+∠BCD=2∠CAD,设∠CAD=x°,则∠D=∠BCD=x°,∠ABC=2x°,求出∠ACB=90°,推出x+2x=90,求出x,求出∠OCD=90°,根据切线的判定得出即可;
(2)求出OC,得出OA长,求出∠OAE,根据含30度角的直角三角形性质求出OF即可.
解答:
(1)证明:
连接OC,
∵AC=DC,BC=BD,
∴∠CAD=∠D,∠D=∠BCD,
∴∠CAD=∠D=∠BCD,
∴∠ABC=∠D+∠BCD=2∠CAD,
设∠CAD=x°,则∠D=∠BCD=x°,∠ABC=2x°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴x+2x=90,
x=30,
即∠CAD=∠D=30°,∠CBO=60°,
∵OC=OB,
∴△BCO是等边三角形,
∴∠COB=60°,
∴∠OCD=180°﹣30°﹣60°=90°,
即OC⊥CD,
∵OC为半径,
∴DC是⊙O的切线;
(2)解:
过O作OF⊥AE于F,
∵在Rt△OCD中,∠OCD=90°,∠D=30°,CD=10
,
∴OC=CD×tan30°=10,
OD=2OC=20,
∴OA=OC=10,
∵AE∥CD,
∴∠FAO=∠D=30°,
∴OF=AO×sin30°=10×=5,
即圆心O到AE的距离是5.
点评:
本题考查了切线的判定,含30度角的直角三角形性质,解直角三角形,等腰三角形的性质,圆周角定理,三角形外角性质,解直角三角形的应用,主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力,题目比较好.
25.(10分)(2014•贺州)如图,AB,BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G.且AB∥CD.BO=6cm,CO=8cm.
(1)求证:
BO⊥CO;
(2)求BE和CG的长.
考点:
切线的性质;相似三角形的判定与性质.
分析:
(1)由AB∥CD得出∠ABC+∠BCD=180°,根据切线长定理得出O
B、OC平分∠EBF和∠BCG,也就得出了∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠DCB)=×180°=90°.从而证得∠BOC是个直角,从而得出BO⊥CO;
(2)根据勾股定理求得AB=10cm,根据RT△BOF∽RT△BCO得出BF=3.6cm,根据切线长定理得出BE=BF=3.6cm,CG=CF,从而求得BE和CG的长.
解答:
(1)证明:
∵AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°
∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G,
∴BO平分∠ABC,CO平分∠DCB,
∴∠OBC=
,∠OCB=
,
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠DCB)=×180°=90°,
∴∠BOC=90°,
∴BO⊥CO.
(2)解:
连接OF,则OF⊥BC,
∴RT△BOF∽RT△BCO,
∴
=
,
∵在RT△BOF中,BO=6cm,CO=8cm,
∴BC=
=10cm,
∴
=
,
∴BF=3.6cm,
∵AB、BC、CD分别与⊙O相切,
∴BE=BF=3.6cm,CG=CF,
∵CF=BC﹣BF=10﹣3.6=6.4cm.
∴CG=CF=6.4cm.
点评:
本题主要考查了直角梯形的性质和切线长定理的综合运用.属于基础题.
24.(10分)如图,已知AB,AC分别是⊙O的直径和弦,点G为AC弧上一点,GE⊥AB,垂足为点E,交AC于点D,过点C的切线与AB的延长线交于点F,与EG的延长线交于点P,连接AG.
(1)求证:
△PCD是等腰三角形;
(2)若点D为AC的中点,且∠F=30°,BF=2,求△PCD的周长和AG的长.
22.(10分)(2014•雅安)如图,已知反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A(m,﹣2).
(1)求正比例函数
的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标;
(2)试根据图象写出不等式≥kx的解集;
(3)在反比例函数图象上是否存在点C,使△OAC为等边三角形?
若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
考点:
反比例函数与一次函数的交点问题..
分析:
(1)把点A的坐标代入y=求出m的值,再运用A的坐标求出k,两函数解析式联立得出B点的坐标.
(2)把k的值代入不等式,讨论当a>0和当a<0时分别求出不等式的解.
(3)讨论当C在第一象限时,△OAC不可能为等边三角形,当C在第三象限时,根据|OA|=|OC|,求出点C的坐标,再看AC的值看是否构成等边三角形.
解答:
解:
(1)把A(m,﹣2)代入y=,得﹣2=,
解得m=﹣1,
∴A(﹣1,﹣2)代入y=kx,
∴﹣2=k×(﹣1),解得,k=2,
∴y=2x,
又由2x=,得x=1或x=﹣1(舍去),
∴B(1,2),
(2)∵k=2,
∴≥kx为≥2x,
①当x>0时,2x2≤2,解得0<x≤1,
②当x<0时,2x2≥2,解得x≤﹣1;
(3)①当点C在第一象限时,△OAC不可能为等边三角形,
②如图,当C在第三象限时,要使△OAC为等边三角形,则|OA|=|OC|,设C(t,)(t<0),
∵A(﹣1,﹣2)
∴OA=
∴t2+
=5,则t4﹣5t2+4=0,
∴t2=1,t=﹣1,此时C与A重合,舍去,
t2=4,t=﹣2,C(﹣2,﹣1),而此时|AC|=
,|AC|≠|AO|,
∴不存在符合条件的点C.
点评:
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解题的关键是求出点C的坐标,看是否构成等边三角形.
23.(10分)(2014•雅安)如图,⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为E,F为DC延长线上一点,且∠CBF=∠CDB.
(1)求证:
FB为⊙O的切线;
(2)若AB=8,CE=2,求sin∠F.
考点:
切线的判定;相似三角形的判定与性质..
分析:
(1)连接OB,根据圆周角定理证得∠CBD=90°,然后根据等边对等角以及等量代换,证得∠OBF=90°即可证得;
(2)首先利用垂径定理求得BE的长,然后根据△OBE∽△OBF,利用相似三角形的性质求得OF的长,则sinF即可求解.
解答:
(1)证明:
连接OB.
∵CD是直径,
∴∠CBD=90°,
又∵OB=OD,
∴∠OBD=∠D,
又∠CBF=∠D,
∴∠CBF=∠OBD,
∴∠OBF=90°,即OB⊥BF,
∴FB是圆的切线;
(2)解:
∵CD是圆的直径,CD⊥AB,
∴BE=AB=4,
设圆的半径是R,在
直角△OEB中,根据勾股定理得:
R2=(R﹣2)2+42,
解得:
R=5,
∵∠BOE=∠FOB,∠BEO=∠OBF,
∴△OBE∽△OBF,
∴OB2=OE•OF,
∴OF=
=
,
则在直角△OBF中,sinF=
=
=.
点评:
本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
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