七年级数学竞赛讲座第十五讲 奇数与偶数.docx
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七年级数学竞赛讲座第十五讲奇数与偶数
第十五讲奇数与偶数
通常我们所说的“单数”、“双数”,也就是奇数和偶数,即±1,±3,±5,„是奇数,0,±2,±4,±6,„是偶数.
用整除的术语来说就是:
能被2整除的整数是偶数,不能被2整除的整数是奇数.通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式,其中k为整数,偶数可以表示为2k的形式,其中k是整数.
奇数和偶数有以下基本性质:
性质1奇数≠偶数.
性质2奇数±奇数=偶数,偶数±偶数=偶数,奇数±偶数=奇数.
性质3奇数×奇数=奇数,偶数×偶数=偶数,奇数×偶数=偶数.
性质4奇数个奇数之和是奇数;偶数个奇数之和是偶数;任意无限个偶数之和为偶数.性质5若干个奇数的乘积是奇数,偶数与整数的乘积是偶数.
性质6如果若干个整数的乘积是奇数,那么其中每一个因子都是奇数;如果若干个整数的乘积是偶数,那么其中至少有一个因子是偶数.
性质7如果两个整数的和(或差)是偶数,那么这两个整数的奇偶性相同;如果两个整数的和(或差)是奇数,那么这两个整数一定是一奇一偶.
性质8两个整数的和与差的奇偶性相同.
性质9奇数的平方除以8余1,偶数的平方是4的倍数.
性质1至性质6的证明是很简易的,下面我们给出性质7至性质9的证明.性质7的证明设两个整数的和是偶数,如果这两个整数为一奇一偶,那么由性质2知,它们的和为奇数,因此它们同为奇数或同为偶数.
同理两个整数的和(或差)是奇数时,这两个数一定是一奇一偶.
性质8的证明设两个整数为X,y.因为
(x+y)+(x-y)=2x
为偶数,由性质7便知,x+y与x-y同奇偶.
性质9的证明若x是奇数,设x=2k+1,其中k为整数,于是
x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1.
因为k与k+1是两个持续的整数,它们必定一奇一偶,从而它们的乘积是偶数.于是,x2除以8余1.
若y是偶数,设y=2t,其中t为整数,于是
y2=(2t)2=4t2
所以,y是4的倍数.
例1在1,2,3,„,1998中的每一个数的前面,任意添上一个“+”或“-”,那么最后运算的结果是奇数还是偶数?
解由性质8知,这最后运算所得的奇偶性同
1+2+3+„+1998=999×1999
的奇偶性是相同的,即为奇数.
例2设1,2,3,„,9的任一排列为a
1,a
2,„,a
9.求证:
(a
1-1)(a
2-2)„(a
9-9)是一个偶数.
证法1因为
(a
1-1)+(a
2-2)+(a
3-3)+„+(a
9-9)
=(a
1+a
2+„+a
9)-(1+2+„+9)
=0
是偶数,所以,(a
1-1),(a
2-2),„,(a
9-9)这9个数中必定有一个是偶数(否则,便得奇数个(9个)奇数的和为偶数,与性质4矛盾),从而由性质5知
(a
1-1)(a
2-2)„(a
9-9)
是偶数.
证法2由于1,2,„,9中只有4个偶数,所以a
1,a
3,a
5,a
7,a
9中至少有一个是奇数,于是,a
1-1,a
3-3,a
5-5,a
7-7,a
9-9至少有一个是偶数,从而(a
1-1)(a
2-2)„(a
9-9)是偶数.
例3有n个数x
1,x
2,„,x
n,它们中的每一个数或者为1,或者为-1.如果2
x
1x
2+x
2x
3+„+x
n-1x
n+x
nx
1=0,
求证:
n是4的倍数.
证我们先证明n=2k为偶数,再证k也是偶数.
由于x
1,x
2,„,x
n。
的绝对值都是1,所以,x
1x
2,x
2x
3,„,x
nx
1的绝对值也都是1,即它们或者为+1,或者为-1.设其中有k个-1,由于总和为0,故+1也有k个,从而n=2k.下面我们来考虑(x
1x
2)·(x
2x
3)„(x
nx
1).一方面,有(x
1x
2)·(x
2x
3)„(x
nx
1)=(-1)k,另一方面,有
(x
1x
2)·(x
2x
3)„(x
nx
1)=(x
1x
2„x
n)
2=1.
所以(-1)k=1,故k是偶数,从而n是4的倍数.
例4设a,b是自然数,且满足关系式
(11111+a)(11111-b)=123456789.
求证:
a-b是4的倍数.
证由已知条件可得11111+a与11111-b均为奇数,所以a,b均为偶数.又由已知条件
11111(a-b)=ab+2468,①
ab是4的倍数,2468=4×617也是4的倍数,所以11111×(a-b)是4的倍数,故a-b是4的倍数.
例5某次数学竞赛,共有40道选择题,规定答对一题得5分,不答得1分,答错倒扣1分.证明:
不论有多少人参赛,全体学生的得分总和一定是偶数.
证我们证明每一个学生的得分都是偶数.
设某个学生答对了a道题,答错了b道题,那么还有40-a-b道题没有答.于是此人的得分是
5a+(40-a-b)-b=4a-2b+40,
这是一个偶数.
所以,不论有多少人参赛,全体学生的得分总和一定是偶数.
例6证明15块4×1的矩形骨牌和1块2×2的正方形骨牌不能盖住8×8的正方形.证将8×8正方形的小方格用黑、白色涂色(如图1-62).每一块4×1骨牌不论怎么铺设都恰好盖住两个白格,因此15块4×1的骨牌能盖住偶数个白格.一块2×2的骨牌只能盖住一个白格或三个白格,总之能盖住奇数个白格.于是15块4×1骨牌和一块2×2骨牌在图上盖住的白格是奇数个.事实上图上的白格数恰为偶数个,故不能盖住8×8的正方形.
练习十五
1.设有101个自然数,记为a
1,a
2,„,a
101.已知a
1+2a
2+3a
3+„+100a
100+101a
101=s是偶数,求证:
a
1+a
3+a
5+„+a
99+a
101是偶数.
2.设x
1,x
2,„,x
1998都是+1或者-1.求证:
x
1+2x
2+3x
3+„+1998x
1998≠0.
3.设x
1,x
2,„,x
n(n>4)为1或-1,并且
x
1x
2x
3x
4+x
2x
3x
4x
5+„+x
nx
1x
2x
3=0.
求证:
n是4的倍数.
4.
(1)任意重排某一自然数的所有数字,求证:
所得数与原数之和不等于99„9(共n个9,n是奇数);
(2)重排某一数的所有数字,并把所得数与原数相加,求证:
如果这个和等于10
10,那么原数能被10整除.
5.
(1)有n个整数,其和为零,其积为n.求证:
n是4的倍数;
(2)设n是4的倍数,求证:
可以找到n个整数,其积为n,其和为零.
6.7个杯子杯口朝下放在桌子上,每次翻转4个杯子(杯口朝下的翻为杯口朝上,杯口朝上的翻为杯口朝下),问经过若干次这样的翻动,是否能把全部杯子翻成杯口朝上?
7.能否把1,1,2,2,3,3,4,4,5,5这10个数排成一行,使得两个1中间夹着1个数,两个2之间夹着2个数,„,两个5之间夹着5个数?
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