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全等三角形判定基础知识讲解
全等三角形判定(基础)
【学习目标】
1.理解和掌握全等三角形判定方法“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”定理.
2.能把证明一对角或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等.
【要点梳理】
要点一、全等三角形判定1——“边角边”
1.全等三角形判定1——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
要点诠释:
如图,如果AB=
,∠A=∠
,AC=
,则△ABC≌△
.注意:
这里的角,指的是两组对应边的夹角.
2.有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.
如图,△ABC与△ABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与△ABD不完全重合,故不全等,也就是有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.
要点二、全等三角形判定2——“角边角”
全等三角形判定2——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
要点诠释:
如图,如果∠A=∠
,AB=
,∠B=∠
,则△ABC≌△
.
要点三、全等三角形判定3——“角角边”
1.全等三角形判定3——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)
要点诠释:
由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等,也就是说,用角边角条件可以证明角角边条件,后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图,在△ABC和△ADE中,如果DE∥BC,那么∠ADE=∠B,∠AED=∠C,又∠A=∠A,但△ABC和△ADE不全等.这说明,三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
要点四、全等三角形判定4——“边边边”
全等三角形判定4——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.(可以简写成“边边边”或“SSS”).
要点诠释:
如图,如果
=AB,
=AC,
=BC,则△ABC≌△
.
要点五、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法,要根据具体的已知条件而定,见下表:
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SASAASASA
两角对应相等
ASAAAS
两边对应相等
SASSSS
2.如何选择三角形证全等
(1)可以从求证出发,看求证的线段或角(用等量代换后的线段、角)在哪两个可能全等的三角形中,可以证这两个三角形全等;
(2)可以从已知出发,看已知条件确定证哪两个三角形全等;
(3)由条件和结论一起出发,看它们一同确定哪两个三角形全等,然后证它们全等;
(4)如果以上方法都行不通,就添加辅助线,构造全等三角形.
【典型例题】
类型一、全等三角形的判定1——“边角边”
1、已知:
如图,AB=AD,AC=AE,∠1=∠2.
求证:
BC=DE.
【思路点拨】由条件AB=AD,AC=AE,需要找夹角∠BAC与∠DAE,夹角可由等量代换证得相等.
【答案与解析】
证明:
∵∠1=∠2
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD,即∠BAC=∠DAE
在△ABC和△ADE中
∴△ABC≌△ADE(SAS)
∴BC=DE(全等三角形对应边相等)
【总结升华】证明角等的方法之一:
利用等式的性质,等量加等量,还是等量.
举一反三:
【变式】如图,将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A、B、D三点共线,AB=CB,EB=DB,∠ABC=∠EBD=90°),连接AE、CD,试确定AE与CD的位置与数量关系,并证明你的结论.
【答案】AE=CD,并且AE⊥CD
证明:
延长AE交CD于F,
∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形
∴AB=BC,BD=BE
在△ABE和△CBD中
∴△ABE≌△CBD(SAS)
∴AE=CD,∠1=∠2
又∵∠1+∠3=90°,∠3=∠4(对顶角相等)
∴∠2+∠4=90°,即∠AFC=90°
∴AE⊥CD
类型二、全等三角形的判定2——“角边角”
2、已知:
如图,E,F在AC上,AD∥CB且AD=CB,∠D=∠B.
求证:
AE=CF.
【答案与解析】
证明:
∵AD∥CB
∴∠A=∠C
在△ADF与△CBE中
∴△ADF≌△CBE(ASA)
∴AF=CE,AF+EF=CE+EF
故得:
AE=CF
【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下:
(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形;
(2)证明这两个三角形全等;
(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等.
举一反三:
【变式】如图,AB∥CD,AF∥DE,BE=CF.求证:
AB=CD.
【答案】
证明:
∵AB∥CD,∴∠B=∠C.
∵AF∥DE,,∴∠AFB=∠DEC.
又∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.
在△ABF和△DCE中,
∴△ABF≌△DCE(ASA)
∴AB=CD(全等三角形对应边相等).
类型三、全等三角形的判定3——“角角边”
3、已知:
如图,AB⊥AE,AD⊥AC,∠E=∠B,DE=CB.
求证:
AD=AC.
【思路点拨】要证AC=AD,就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.
【答案与解析】
证明:
∵AB⊥AE,AD⊥AC,
∴∠CAD=∠BAE=90°
∴∠CAD+∠DAB=∠BAE+∠DAB,即∠BAC=∠EAD
在△BAC和△EAD中
∴△BAC≌△EAD(AAS)
∴AC=AD
【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等.
类型四、全等三角形的判定4——“边边边”
4、已知:
如图,△RPQ中,RP=RQ,M为PQ的中点.
求证:
RM平分∠PRQ.
【思路点拨】由中点的定义得PM=QM,RM为公共边,则可由SSS定理证明全等.
【答案与解析】
证明:
∵M为PQ的中点(已知),
∴PM=QM
在△RPM和△RQM中,
∴△RPM≌△RQM(SSS).
∴∠PRM=∠QRM(全等三角形对应角相等).
即RM平分∠PRQ.
【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到,如:
公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中.把证明一对角或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等,综合应用全等三角形的性质和判定.
举一反三:
【变式】已知:
如图,AD=BC,AC=BD.试证明:
∠CAD=∠DBC.
【答案】
证明:
连接DC,
在△ACD与△BDC中
∴△ACD≌△BDC(SSS)
∴∠CAD=∠DBC(全等三角形对应角相等)
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