相似三角形压轴题综合运用含详解0001.docx
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相似三角形压轴题综合运用含详解0001.docx
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相似三角形压轴题综合运用含详解0001
教学内容
等腰三角形分类讨论综合
1.理解等腰三角形的性质和判定定理;
2.能用等腰三角形的判定定理进行相关计算和证明;
3.初步体会等腰三角形中的分类讨论思想;
4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三角形;
5.培养学生进行独立思考,提高独立解决问题的能力。
例1.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,
动点,且∠EDF=90°.
(1)求DE︰DF
(2)设直线DF与直线AB相交于点
请说明理由。
(★★★★★)
AB=3,AC=4,AD是BC边上的高,点E、F分别是AB边和AC边上的
G,△EFG能否成为等腰三角形?
若能,请直接写出线段BE的长;若不能,
:
(1)∵∠BAC=90
B+∠C=90°,
∵AD是BC边上的高∴∠DAC+∠C=90°
∴∠B=∠DAC
又∵∠EDF=90°
∴∠BDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°
∴∠BDE=∠ADF
2)若△EFG为等腰三角形,根据点G的不同位置分两大类讨论:
①当点
1)
G在射线AB上时,如图1。
因为FEGCAB
AFE>90
所以
∵EG
FEG为钝角,则△EFG为等腰三角形时,EGEF
EF,EDDF
D为GF中点
则,在直角AGF中,GF
2AD
24
,5
又∵G=EFG
cosG=cosC,则
C
DG
EG
AG
GF
可求得AG
96
EG25
3。
所以:
另解:
由△
BE54。
25
EFG为等腰三角形可得
AC4
BC5
54
BE
25
AED≌GBD,所以
BDDE,再过点D作BE垂线,利用三角比可求得
②当点
G在射线BA上时,如图2。
因为
FEGCAB
AEF>90
所以
∵FG
EFG为钝角,则△
EF,AF
EFG为等腰三角形时,FGEF
AE
A为EG中点
∴AEG=
又∵B=
∴BDE=
∴ADF
G
FED
AEF
G
ADF
AEAG
AD
12
5
所以:
BE
综上可得,当△
EFG
为等腰三角形时,
54
BE或BE
25
例2.如图,
ABC中,
ABAC5,BC
6,D、E分别是边AB、AC上的两个动点(D不与A、
B重
合),且保持DE∥BC,以DE为边,在点A的异侧作正方形DEFG,
BDG是等腰三角形时,请直接写出AD的长。
(★★★★★)
:
过点A作AQBC
Q。
ABAC5,BC6,则BQ
3、AQ4,cosQAB
设ADx,则BD5x,DE
BDG是等腰三角形时,根据点
6
DGx。
5
G的位置,分以下情况讨论:
但该情况下不能直接求解出,则画底边上的高(点
则:
①当
②当
1)当点G在ABC内部时:
因为
DGB>90,所以该情况下只可能DG
G作GH
HDGQAB,所以cosHDGcosQAB
2)当点
DB
DB
BG。
G在ABC外面时:
分以下情况讨论
DG时:
则
DG时:
所以:
cos
HDG
③当DG
BG,不成立。
综合上可得:
当
AB)。
(如图1)
5x
6x
5
4
,解得:
5
125
73
6x
5x,解得:
x
5
2)设BC与DG交点为
cosQAB,即:
BDG是等腰三角形时
1)
1.已知在梯形ABCD中,AB//DC,
题满分14分)(★★★★★)
(1)求证:
PD//BC;
25
;
11
M,则可得:
BMDG且点M为DG中点,
3x
5
5x
AD
20
7
125
73
2520
。
117
AD2PD,PC2PB,
ADPPCD,PDPC4,如图1。
(本
2)若点Q在线段PB上运动,与点P不重合,联结CQ并延长交
DP的延长线于点O,
如图2,设PQx,DOy,求y与x的函数关系式,并写出它的定义域;
PM的
(3)若点M在线段PA上运动,与点P不重合,联结CM交DP于点N,当△PNM是等腰三角形时,求
值.
1)证明:
∵AB//DC
∴CPBPCD⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
∵ADPPCD
∴ADPCPB⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
∵AD2PD,PC2PB
PDAD
PBPC
ADP∽△CPB⋯⋯⋯1分
APDB
PD//BC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
2)解:
∵AB//DC,PD//BC
∴四边形PBCD是平行四边形
∴PDBC
∵PDPC4∴BC4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
∵PC2PB
∴PB2
∵OD//BC
POPQ
∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
BCQB
∵PQx,DOy
∴POy4,QB2x
y4x
∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
42x
8
2x
定义域是:
0x2⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
3)解:
①当PMPN时,
∵PM//DC
DCDN
PMPN
DCDN
2)知:
PD4,DC2
PMPNPDDN2
②当MPMN时,
ADP∽△CPB,PCBC4
易得:
APAD2PD8
易证:
MN//AD
即:
四边形AMCD是平行四边形
∴DCAM2
∴PMAPAM6⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
注:
当NMNP时不存在)
动点产生的直角三角形
6.理解直角三角形的性质;
7.能用直角三角形的性质解决相关问题;
8.培养学生分类讨论的思想,并体验动态思维过程;
9.培养学生分析问题、解决问题的能力。
练习
1.在ABC中,ABAC5,BC8,点P、Q分别在边CB、AC上(点P不与点C、点B重合),且
1)若
BPx,CQy,求y与x之间的函数关系式,并写出函数的定义域;
P为BC中点,则BP4
②当CPQ90时:
如图2,
BCAPQ
BAPCPQ90
4AB25
∴cosB,解的BP
5BP4
③当C90时,不成立。
综上可得,当CPQ为直角三角形时,BP4或BP。
4
1)(图2)
【备注】:
本部分总结解题方法和策略,师生共同总结,大概5分钟左右。
动点产生的直接三角形问题的解题方法和策略:
1.寻找题目中的已知量;
2.观察能否利用“特殊点”、“交点”求解;
3如不能,则利用勾股定理解答;
4.注意:
分类讨论,部分题目利用好锐角三角比。
1.已知△ABC为等边三角形,AB=6,P是AB上的一个动点(与A、B不重合),过点P作AB的垂线与BC相交于点
D,以点D为正方形的一个顶点,在△ABC内作正方形DEFG,其中D、E在BC上,F在AC上。
(满分10分,3分
+7分)
(1)设BP的长为x,正方形DEFG的边长为y,写出y关于x的函数解析式及定义域;
(2)△GDP是否可能成为直角三角形?
若能,求出BP的长;若不能,请说明理由。
B=∠C=60o,AB=BC=AC=6.
DP⊥AB,BP=x,
BD=2x.1分
又∵四边形DEFG是正方形,
∴EF⊥BC,EF=DE=y,
∴EC3y.3
∴2xy3y6,1分
3
∴y(33)x9331分
(633≤x<3)(定义域写错扣0.5分)
(2)△GDP能成为直角三角形.
①∠PGD=90o时,则点P、G、F共线,所以APPF;
6x3yy,1分
6x(31)[(33)x933],1分
3063
得到:
x1分
11
②∠GPD=90o时,点G在AB边上,则点A、G、P、B共线,
所以AGPGBG6
3
所以:
4xxy,1分
2
4xx3[(33)x933],1分
2
得到:
x633。
1分
③当GDP=90时,不成立。
GDP为直角三角形时,BP的长为3063或者x6331分
11
动点产生的相似三角形
1.掌握相似基本图形中的相似三角形和各种比例式;
2.通过观察了解因动点产生的相似三角形问题的特点,熟悉对应的解题方法,掌握“动中取静,以静窥动”的解题
策略;
3.培养学生对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力;
4.培养学生学会挖掘题目中的隐藏条件,从未知到已知的一个转变;
5.掌握动点产生的相似三角形的分类讨论情况,并能根据题目中的条件进行求解。
P是CE延长线
例1.如图,在Rt△ABC中,ACB90,CE是斜边AB上的中线,AB10,tanA4,点
3
上的一动点,过点P作PQCB,交CB延长线于点Q,设EPx,BQy。
(★★★★)
(1)求y关于x的函数关系式及定义域;
(2)过点B作BFAB交PQ于F,当BEF和QBF相似时,求x的值。
(1)在Rt△ABC中,ACB90,
BC4
∵tanABC4,AB10
AC3
∴BC8,AC6.
1
∵CE是斜边AB上的中线,∴CEBEAB5
2
∴PCBABC,∵PQCACB90
PQC∽△ABC
4
5
5.
CQBC4即8y
PCAB5,5x
4
yx4,定义域为x
5
2)∵QACB90,QBF
BQF∽△ABC
综合①②,
②当
当△BEF和△QBF相似时,可得△
BEF
和△ABC也相似.
分两种情况:
①当
FEB
A时,
Rt△FBE
54x
35
FEB
FBE
90,
BE
5,
BF
5
3y
45,解得x10;
3
ABC时,
在Rt△FBE中,
54x
35
43
4
125或
16
FBE90,BE5,BF
125
5,解得x125
16
10.
我来试一试!
练习
1.已知如图,在等腰梯形
AD∥BC,AB=CD,
AD=3,
BC=9,tan
4
ABC,
直线MN是梯形的对称轴,点
3
P是线段MN上一个动点
N重合),射线BP交线段CD于点E,过点C作CF∥AB
于点F。
(★★★★★)
(1).设PNx,CEy,试建立
出定义域;
y和x之间的函数关
2).联结PD,在点P运动过程中,如果
:
过点E作EG⊥BC,∵
EG
4y,GC
5
EG∥MN
3
5y.
3)(Ⅰ)当
PN
EG
BN,即BG
x
4
5y
15x(0x6
PDC
MDP
x3)
tanMDP
x2
53y
系式,并求
(不与交射线
EFC和PDC相似,求出PN的长。
tanABCtan
4.5
3
9y
5
DCF时,PD∥CF
ABC
tanABC,即
4
1.5
4x
ABCD
M、
BP
DCB
PDC
则DHEH
ODC
DO
FEC
5y
2
DCB
DH
DEP时,过点
DPC
5y
P作PH⊥DE交AD
O。
sinODC
又MO
MP
43,即1.552
y5
3
4
3(4x)
25241
x
16
25
25
241
、2都在定义域内,所以当
16
25241
orx
16
2时,EFC和
PDC相似。
例2.如图,已知梯形ABCD中,AD//BC,AB
CD
5,cotC
BC,AB4,AD
:
∵AD∥BC
DAP=∠APB,
APB=∠EPC∴∠DAP=∠EPC
若△APD与△PCE,则有如下两种情况:
∠ADP=∠C时,
推出BP=2时,△APD∽△PEC;
(ⅱ)∠APD=∠C时
又∵∠ADP=∠DPC
△APD∽△DCP
PD2
AD
PC
2PD
42
16
58
解得
x1,2
521
521,经检验,均符合题意
2
521
故x12时,△APD∽△PCE;
1,22
BP为2,521时,
2
△APD与△PCE相似。
过点D作DH⊥AP于点
AP
故x1,25
BP为2,
21
时,△APD∽△PCE;
2
521
521时,△APD与△PCE相似
2
一.由动点产生的相似三角形的解题方法和策略:
1.寻找题目中特殊的条件和不变的量,并找出由条件引发的一些相等角、相等线段等特殊条件;(挖掘题目中的隐藏
条件)
2.注意分类讨论,先找是否有相等角,再决定分类讨论情况:
3.相似三角形的边如果能直接求出列等式最好,如果不能求出,注意转化相似(是否产生新的相似、等腰、平行四边
形等更特殊的条件)
4.注意三个易忘定理:
线段的中垂线定理、角平分线定理、直角三角形的性质。
1.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=30,AB=50.点P是AB边上任意一点,直线PE⊥AB,与边AC或BC相交于E.点
12
M在线段AP上,点N在线段BP上,EM=EN,sin∠EMP=.
13
(1)如图1,当点E与点C重合时,求
(2)如图2,当点E在边AC上时,点
出函数的定义域;(4分)
(3)若△AME∽△ENB(△AME的顶点
★★★★)
CM的长;(4分)
E不与点A、C重合,设AP=x,BN=y,求y关于x的函数关系式,并写
A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应),求AP的长。
(6分)(★
1.本题综合性很强,注意抓住题目中的特殊条件和不变的量:
C=APE900,EM=EN;
2.求解函数关系式,构造基本图形并应用好三角比和勾股定理;
3.当△AME∽△ENB相似时,对已经对应好,但要分点E在AC边上和BC边上两大类讨论:
1.当点E在AC边上时:
可直接利用比值计算AMME;
ENNB
2.当点E在BC边上时:
根据外角定理,△ACE∽△EPM。
4.相似三角形分类讨论时,注意点的运动位置和边的对应。
:
(1)∵∠ACB=90°,∴AC=AB2BC2=502302=40.
12CP12
在Rt△CPM中,∵sin∠EMP=12,∴P12
13CM13
PM=PN=ME2PE2
2
13
x
16
5
=x.
16
5AP+PN+NB=50,∴x+x+y=50.
16
∴y=x50(0 16 (3)第三问: 由于给出对应顶点,那么解法一可以直接运用相似和三角比求出对应边长再列比例式求解。 本题 还可以通过角度之间的关系转换求解,并从角度入手更加简洁直观方法如下: ①当点E在线段AC上时, AMME2 △AME∽△ENB,.∵EM=EN,∴EM2AMNB ENNB 51121 xx,NB=x50.1分 161616 AP=x,由( 2)知 13 EM=x,AM=x 16 PM= 2 13 x 16 11x 16 21 (16x50) 1 AP=22. 根据外角定理,△ ACE∽△EPM,∴ AC EP 12.∴ CE= 5 5AC =50. =. 1 分 CE MP 5 12 3 设AP=x,易得 BE=5(50x),∴ CE=30 5(50 x).∴ 30 5(50 x)= 50 . 1 分 3 3 3 3 解得x=42.即AP=42.1分∴AP的长为22或42.(若最后答案没有写,则扣1分)
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