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《通信原理》习题第一章
第一章习题
习题1.1
在英文字母中E出现的概率最大,等于
0.105,试求其信息量。
解:
E的信息量:
1
log2PE
log2PE
log20.1053.25b
IE
习题1.2某信息源由A,B,C,D四个符号组成,设每个符号独立出现,其出现的概率分别为1/4,1/4,3/16,5/16。
试求该信息源中每个符号的信息量。
解:
IA
log2
1
log2
P(A)
log2
1
2b
P(A)
4
3
3
5
IB
log216
2.415b
IC
log216
2.415bID
log216
1.678b
习题1.3某信息源由A,B,C,D四个符号组成,这些符号分别用二进制码组
00,01,10,11表示。
若每个二进制码元用宽度为5ms的脉冲传输,试分别求出在
下列条件下的平均信息速率。
(1)这四个符号等概率出现;
(2)这四个符号出现概率如习题
1.2所示。
解:
(1)一个字母对应两个二进制脉冲,属于四进制符号,故一个字母的持续时间为2×5ms。
传送字母的符号速率为
RB
1
100Bd
5
103
2
等概时的平均信息速率为
Rb
RBlog2M
RBlog24
200bs
(2)平均信息量为
H
1log24
1log24
3log
2
16
5log2
16
1.977比特符号
4
4
16
3
16
5
则平均信息速率为
RbRBH
100
1.977197.7
bs
习题1.4试问上题中的码元速率是多少?
1
1
200Bd
解:
RB
5*103
TB
习题1.5设一个信息源由64个不同的符号组成,其中16个符号的出现概率均
为1/32,其余48个符号出现的概率为1/96,若此信息源每秒发出1000个独立的符号,试求该信息源的平均信息速率。
解:
该信息源的熵为
1
《通信原理》习题第一章
M
64
P(xi)16*1log232
48*1log296
H(X)
P(xi)log2P(xi)
P(xi)log2
i1
i1
32
96
=5.79比特/符号
因此,该信息源的平均信息速率RbmH1000*5.795790b/s。
习题1.6设一个信息源输出四进制等概率信号,其码元宽度为125us。
试求码元速率和信息速率。
1
1
8000Bd
解:
RB
125*106
TB
等概时,Rb
RBlog2M8000*log2416kb/s
习题1.7设一台接收机输入电路的等效电阻为600欧姆,输入电路的带宽为6MHZ,环境温度为23摄氏度,试求该电路产生的热噪声电压的有效值。
解:
V4kTRB4*1.38*1023*23*600*6*1064.57*1012V
习题1.8设一条无线链路采用视距传输方式通信,其收发天线的架设高度都等于80m,试求其最远的通信距离。
解:
由D28rh,得D8rh8*6.37*106*8063849km
习题1.9设英文字母E出现的概率为0.105,x出现的概率为0.002。
试求E
和x的信息量。
解:
p(E)
0.105
p(x)
0.002
I(E)
log2PE
log20.105
3.25bit
I(x)
log2P(x)
log20.002
8.97bit
习题1.10信息源的符号集由A,B,C,D和E组成,设每一符号独立1/4出现,其出现概率为1/4,1/8,1/8,3/16和5/16。
试求该信息源符号的平均信息量。
解:
H
p(xi)log2p(xi)
1log2
1
1log2
1
log2
1
5log2
5
2.23bit/符号
4
4
8
8
8
16
16
习题1.11设有四个消息A、B、C、D分别以概率1/4,1/8,1/8,1/2传送,每一消息的出现是相互独立的。
试计算其平均信息量。
2
《通信原理》习题第一章
解:
H
p(xi)log2p(xi)
1log2
1
1log21
1log21
1log2
1
1.75bit/符号
4
4
8
8
8
8
2
2
习题1.12一个由字母A,B,C,D
组成的字。
对于传输的每一个字母用二进制
脉冲编码,00
代替A,01代替B,10
代替C,11
代替D。
每个脉冲宽度为5ms。
(1)不同的字母是等概率出现时,试计算传输的平均信息速率。
(2)若每个字母出现的概率为
pB
1
pC
1
pD
3
试计算传输的平均
4,
4,
10,
信息速率。
解:
首先计算平均信息量。
(1)
P(xi)log2
p(xi)
1
1
H
4*(
4)*log2
4
2bit/字母
平均信息速率=2(bit/字母)/(2*5ms/字母)=200bit/s
(2)
P(xi)log2p(xi)
1
1
1
1
1
1
3
3
字母
H
5
log25
4
log2
4
4
log2
4
10
log2
10
1.985bit/
平均信息速率=1.985(bit/字母)/(2*5ms/字母)=198.5bit/s
习题1.13国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母,划用持续3单位的电
流脉冲表示,点用持续1单位的电流脉冲表示,且划出现的概率是点出现的概率的1/3。
(1)计算点和划的信息量;
(2)计算点和划的平均信息量。
解:
令点出现的概率为P(A),划出现的频率为P(B)
P(A)+P(B)=1,
1P(A)
P(B)
P(A)
34P(B)14
3
(1)
I(A)
log2
p(A)
0.415bit
I(B)
log2
p(B)
2bit
(2)
H
p(xi
)log2p(xi)
3log2
3
1log2
1
0.811bit/符号
4
4
4
4
习题1.14设一信息源的输出由128
个不同符号组成。
其中
16个出现的概率为
1/32,其余112个出现的概率为1/224。
信息源每秒发出1000个符号,且每个符号彼此独立。
试计算该信息源的平均信息速率。
3
《通信原理》习题第一章
解:
H
p(xi)log2p(xi)16*(
1)112*(
1)log2
1
6.4bit/符号
32
224
224
平均信息速率为6.4*1000=6400bit/s
。
习题1.15对于二电平数字信号,每秒钟传输300个码元,问此传码率RB等于多少?
若数字信号0和1出现是独立等概的,那么传信率Rb等于多少?
解:
RB300BRb300bit/s
习题1.16若题1.12中信息源以1000B速率传送信息,则传送1小时的信息量为多少?
传送1小时可能达到的最大信息量为多少?
解:
传送1小时的信息量2.23*1000*36008.028Mbit传送1小时可能达到的最大信息量
Hmax
log2
1
2.32bit/符
先求出最大的熵:
5
号
则传送
1小时可能达到的最大信息量
2.32*1000*36008.352Mbit
习题1.17如果二进独立等概信号,码元宽度为
0.5ms,求RB和Rb;有四进信号,
码元宽度为0.5ms,求传码率
RB和独立等概时的传信率Rb
。
1
2000B,Rb2000bit/s
RB
3
解:
二进独立等概信号:
0.5*10
RB
1
2000B,Rb
2*2000
4000bit/s
0.5*103
四进独立等概信号:
。
小结:
记住各个量的单位:
信息量:
bit
I
log2p(x)
信源符号的平均信息量(熵):
bit/符号
I
p(xi)log2p(x)
平均信息速率:
bit/s
(bit/符号)/(s/符号)
传码率:
RB(B)
传信率:
Rbbit/s
4
《通信原理》习题第一章
第二章习题
习题2.1设随机过程X(t)可以表示成:
X(t)2cos(2t),t
式中,是一个离散随机变量,它具有如下概率分布:
P(=0)=0.5,P(=/2)=0.5试求E[X(t)]和RX(0,1)。
解:
E[X(t)]=P(=0)2cos(2t)+P(=/2)2cos(2t)=cos(2t)sin2t
2
cost
习题2.2
设一个随机过程
X(t)可以表示成:
X(t)
2cos(2t),
t
判断它是功率信号还是能量信号?
并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解:
为功率信号。
RX()
limT
1
TT/2/2X(t)X(t)dt
T
limT
1
T/2
2cos(2t
)*2cos
2(t)
dt
T
T/2
2cos(2
)
ej
2
t
ej2
t
P(f)
RX()ej2
fd
(ej2t
ej2t)ej2fd
(f
1)
(f
1)
习题2.3
设有一信号可表示为:
4exp(
t),t0
X(t){
t<0
0,
试问它是功率信号还是能量信号?
并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解:
它是能量信号。
X(t)的傅立叶变换为:
X()
x(t)ejtdt
04etejtdt40
e(1j)tdt
4
1
j
2
16
则能量谱密度
G(f)=
2
4
X(f)=
j
142f2
1
习题2.4X(t)=x1cos2tx2
sin2
t,它是一个随机过程,其中
x1和x2是相互统
计独立的高斯随机变量,数学期望均为
0,方差均为
2。
试求:
(1)E[X(t)],E[X2(t)];
(2)X(t)
的概率分布密度;(3)RX(t1,t2)
解:
(1)EXtEx1cos2t
x2sin2t
cos2t
Ex1sin2t
Ex20
PX(f)因为x1和x2相互独立,所以Ex1x2
Ex1Ex2
。
5
《通信原理》习题第一章
又因为Ex1
Ex2
0,2
Ex12
E2
x1,所以Ex12
Ex22
2。
故
EX2t
cos22t
sin22
t
2
2
(2)因为x1和x2服从高斯分布,
Xt是x1和x2的线性组合,所以X
t也服从高斯分
布,其概率分布函数
px
1
exp
z2
。
2
2
2
(3)RX
t1,t2
E
Xt1
Xt2
E(x1cos2t1
x2sin2t1)x1cos2t2
x2sin2t2
2
cos2
t1cos2
t2sin2
t1sin2t2
2cos2
t2t1
习题2.5试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件:
(1)fcos22f;
(2)afa;(3)expaf2
解:
根据功率谱密度P(f)的性质:
①P(f)0,非负性;②P(-f)=P(f),偶函数。
可以判断
(1)和(3)满足功率谱密度的条件,
(2)不满足。
习题2.6试求X(t)=Acost的自相关函数,并根据其自相关函数求出其功率。
解:
R(t,t+
)=E[X(t)X(t+
)]=E
Acos
t*Acos(t)
1A2Ecos
cos(2t
)
A2
cos
R()
2
2
功率P=R(0)=
A2
2
习题2.7设X1t和X2t是两个统计独立的平稳随机过程,其自相关函数分别
为RX1和RX2。
试求其乘积X(t)=X1(t)X2(t)的自相关函数。
解:
(t,t+)=E[X(t)X(t+)]=E[X1(t)X2(t)X1(t)X2(t)]
=EX1(t)X1(t)EX2(t)X2(t)=RX1()RX2()
习题2.8
设随机过程X(t)=m(t)cost,其中m(t)是广义平稳随机过程,且其自
相关函数为
104
f2,10kHZf10kHZ
PX(f)
其它
0,
(1)试画出自相关函数RX()的曲线;
(2)试求出X(t)的功率谱密度PX(f)和功率P。
6
《通信原理》习题第一章
1
1
0
解:
(1)Rx
1
0
1
0,
其它
其波形如图2-1所示。
Rx
12
101
图2-1信号波形图
(2)因为X(t)广义平稳,所以其功率谱密度PX
RX。
由图2-8可见,RX
的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积,因此
Px
1
0
0
1Sa2
1
2
2
2
1
Sa2
0
Sa2
0
4
2
2
P
1
Pxd
1,或SRx
0
1
2
2
2
习题2.9设信号x(t)的傅立叶变换为
X(f)
=sinf
。
试求此信号的自相关函数
f
。
sin
2
解:
x(t)的能量谱密度为G(f)=
2
f
X(f)
=
f
1,
1
0
其自相关函数RX
G(f)ej2f
df
1
0
1
0,
其它
习题2.10已知噪声nt的自相关函数Rn
ke-k
,k为常数。
2
(1)试求其功率谱密度函数Pn
f和功率P;
(2)画出Rn
和Pnf
的曲线。
解:
(1)Pn(f)Rn()ejd
kekej
d
k2
k2
2
(2f)2
7
《通信原理》习题第一章
PRn0k2
(2)Rn()和Pnf的曲线如图2-2所示。
RnPnf
1
k2
0
0
f
图2-2
习题2.11
已知一平稳随机过程
X(t)的自相关函数是以
2为周期的周期性函数:
R()
1,11
试求X(t)的功率谱密度PX(f)并画出其曲线。
解:
详见例2-12
习题2.12
已知一信号x(t)的双边功率谱密度为
104f2,
10kHZ
f
10kHZ
PX(f)
其它
0,
试求其平均功率。
解:
10*103
4
2
4
f3
104
2
8
PX(f)df20
10
fdf
2*10
*
3
3
*10
P
0
习题2.13
et/,t
0
设输入信号x(t)
,将它加到由电阻R和电容C组成的高
0,t
0
通滤波器(见图2-3)上,RC=。
试求其输出信号y(t)的能量谱密度。
解:
高通滤波器的系统函数为
H(f)=X(t)2cos(2t),t
输入信号的傅里叶变换为
X(f)=
1
1
1
j2f
j2f
输出信号y(t)的能量谱密度为
2
2
R
Gy(f)Y(f)
X(f)H(f)
1
1
)(1
(R
)
j2
fC
j2f
C
R
图2-3RC高通滤波器
习题2.14设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端,得到的输出信号为
y(t)=dx(t)/dt式中,为常数。
试求该线性系统的传输函数H(f).
8
《通信原理》习题第一章
解:
输出信号的傅里叶变换为Y(f)=*j2f*X(f),所以H(f)=Y(f)/X(f)=j2f
习题2.15设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。
当输入一个均值为0、双边功率谱密度为n0的白噪声时,试求输出功率谱密度和自相关函数。
2
解:
参考例2-10
习题2.16设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。
若输入信号是一个均值为0、
双边功率谱密度为n0的高斯白噪声时,试求
2
(1)输出噪声的自相关函数。
(2)输出噪声的方差。
解:
(1)LC低通滤波器的系统函数为
2
L
C
H(f)=
j2
fC
1
2
1
42
f2LC
j2
fL
图2-4LC低通滤波器
j2
fC
输出过程的功率谱密度为
P0()
Pi(
)H(
2
n0
1
)
21
2LC
对功率谱密度做傅立叶反变换,可得自相关函数为
R()
Cn0exp(
C
)
0
4L
L
(2)输出亦是高斯过程,因此
2
R0
(0)R0()
Cn0
R0(0)
4L
习题2.17若通过图2-7中的滤波器的是
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