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统计讲义

《统计学》讲义

第一章绪论

教学重点和难点：

统计学的含义；统计学的分科。

第一节统计与统计学

一．统计学的含义

1．统计工作（统计实践）：

是指对统计数据进行搜集、整理和分析的活动过程。

2．统计数据（统计资料）：

是统计工作的成果。

统计数据的搜集是取得统计数据的过程，它是进行统计分析的基础。

离开了统计数据，统计方法就失去了用武之地。

统计工作和统计数据的关系是过程和成果的关系。

即统计数据是统计工作提供的，是统计活动的成果。

3．统计学：

是一门有关统计数据的科学。

它研究如何搜集、整理资料和进行数量分析，推断的一门方法论科学。

是统计工作经验的总结和概括。

统计工作和统计学是实践和理论的关系。

统计理论来源于统计实践，它是统计工作经验的总结和概括。

反过来，统计理论又是指导统计工作的原则和方法。

总之，统计工作，统计数据，统计学三者之中，统计工作是基础，是源。

没有统计工作，就不会产生统计数据，没有统计工作，缺少这个实践基础，统计学也就不可能形成和发展。

二．统计数据的规律与统计方法

第二节统计学的分科

统计学大致有以下两种分类：

一．根据统计方法的构成，统计学可以分为描述统计学和推断统计学。

1．描述统计学：

通过对现象的调查或观察→得到大量的统计数据→用图表形式对所收集到的数据进行加工处理与显示→就这些数据的分布特征（如集中趋势，离散趋势等）计算出一些概括性的数字（如平均数，标准差，相关系数等等）→得出反映客观现象的规律性数量特征。

2．推断统计学：

推断统计学是指只凭样本数据去推断总体数量特征的技术方法。

概率论

（包括分布理论、大数定律和中心极限定理等）

描述统计学（包括统计数据的收集、整理、显示和分析

反映客观现象的统计数据

推断统计学（利用样本信息和概率论对总体的数量特征进行估计和检验等）

样本数据

总体数据

总体内在的数量规律性

图1—1统计学探索客观现象数量规律性的过程

注1：

描述统计学不必深入一层地去试图推论数据本身以外的任何事情；推断统计学则在样本数据的基础上深入一步地分析、研究和推断，以推知资料本身以外的情况和数量关系。

注2：

描述统计学用的是总体数据，推断统计学则往往用样本数据。

在现实问题中，我们得到的数据主要是样本数据，因此，推断统计学越来越重要，是统计学的核心内容。

注3：

统计学的发展过程中，先有描述统计学，后有推断统计学，从描述统计学发展到推断统计学，是统计学发展成熟的标志。

二．从统计方法研究和统计方法的应用角度看，统计学可分为理论统计学和应用统计学。

理论统计学主要是指统计学的数学原理和方法原理。

从事统计理论和方法研究的人员需要

有坚实的数学基础。

理论统计学是统计的理论基础。

统计学是一门分析数据的科学，因而统计方法的应用几乎扩展到了所有的科学研究领域。

第三节统计学中的一些基本概念

一．总体和总体单位

1．总体

总体是指根据研究目的确定的所要研究的同类事物的全体。

说明：

⑴统计总体是根据统计研究目的确定的。

⑵统计总体是客观存在的。

⑶统计总体中的所有个别事物具有某种同一性质。

2．总体单位

总体单位是指构成总体的个别事物（基本单元），也称个体。

例如：

我们要研究全国乡镇企业发展情况，则总体为全国乡镇企业，总体单位为每个乡镇企业。

二．标志和指标

1．标志

标志是说明总体单位属性和特征的名称。

标志和总体单位的关系是非常明确的，总体单位是标志的直接承担者，标志是依附于总体单位的。

标志按表现形式不同分为品质标志和数量标志。

①品质标志：

表示总体单位性质方面的特征；它只能用文字表示。

②数量标志：

表示总体单位性数量方面的特征；用数值表示。

标志表现：

是标志特征在各单位的具体表现，有品质标志表现和数量标志表现之分。

数量标志的表现即标志值。

2．指标

①概念：

指标是反映总体数量特征的概念及其数值。

②分类

指标按反映的数量特点不同可分为数量指标和质量指标。

Ⅰ．数量指标：

说明总体规模大小，水平高低，数量多少的指标；用绝对数表示。

Ⅱ．质量指标：

说明总体相对水平或工作质量的统计指标；用相对数、平均数表示。

两者关系：

数量指标是计算质量指标的基础。

③特点

Ⅰ．数量性（可量性）

Ⅱ．综合性

Ⅲ．客观性（具体性）

三．变异和变量

1．变异：

可变标志的属性或特征由一种状态变到另一种状态，统计上称之为变异。

2．变量：

在统计中，一般把说明现象某种特征的概念称为变量。

变量的具体表现称为变量值。

如果一个变量是由品质数据来记录的称为品质变量，如“性别”就是一个品质变量。

如果一个变量是由数量数据来记录的称为数量变量或数字变量。

数字变量根据其取值的不同，可以分为离散变量和连续变量。

离散变量其取值都是以整数位断开，可以一一列举，如“企业数”等。

连续变量其取值是连续不断的，不能一一列举，如“温度”等。

但多数情况下我们所说的变量都是指数字变量。

第二章统计数据的搜集与整理

教学重点和难点：

数据的搜集方法；调查方案设计；数据分组。

第一节数据的计量与类型

一．数据的计量尺度

统计数据是进行统计分析的基础，统计数据靠我们去搜集才能得到，但在搜集数据之前，先要对现象进行计量或测度，这就涉及到数据的计量尺度问题。

按照计量学的一般分类方法，对统计数据分为四种计量尺度或计量水准，即定类尺度、定序尺度、定距尺度和定比尺度。

（一）定类尺度

定类尺度也称类别尺度或列名尺度，是最粗略、计量层次最低的计量尺度。

这种计量尺度只能按照事物的某种属性对其进行平行的分类或分组。

例如人口按照性别分为男、女两类等。

分类就是将所观察的个体（总体单位）分为不同的类型。

定类尺度只是测度了事物之间的类别差，对各类之间的其他差别却没有反映。

使用该尺度对事物所作的分类，各类别之间是平等的并列关系，无法区分优劣或大小，各类别之间的顺序是可以改变的。

对定类尺度的计量结果，通常是通过计算出每一类别中各元素或个体出现的频率或频数来进行分析。

在使用定类尺度对事物进行分类时，必须符合穷尽和互斥的要求。

定类尺度是对事物最基本的测度，是其他计量尺度的基础。

它具有＝和≠的数学特性。

（二）定序尺度

定序尺度又称顺序尺度，是对事物之间等级差或顺序差别的一种测度。

该尺度不仅可以将事物分成不同的类别，而且还可以确定这些类别的优劣或顺序。

例如，考试成绩可以分为优、良、中、及格、不及格等等。

定序尺度对事物的计量要比定类尺度精确一些，但它只测度了类别之间的顺序，而未测量出类别之间的准确差值。

因些该尺度具有﹥和﹤的数学特性，但不能进行加、减、乘、除等数学运算。

（三）定距尺度

定距尺度也称间隔尺度，它不仅能将事物区分为不同类型并进行排序，而且可以准确地指出类别之间的差距是多少。

定距尺度是对事物类别或次序之间间距的测度。

因此，定距尺度的计算结果表现为数值。

如甲地区温度是200C，乙地区的温度是250C，二者相差50C。

其结果可以进行加、减运算。

（四）定比尺度

定比尺度也称为比率尺度，它除了具有上述三种计量尺度的全部特性以外，还具有一个特性，那就是可以计算两个测度值之间的比值。

这就要求定比尺度中必须有一个绝对固定的“零点”，这也是它与定距尺度的惟一差别。

例如，一个学生的数学成绩为0分，是表示他的数学成绩水平为0，并不表示他没有考试成绩或没有任何数学知识；一个地区的温度为0度，表示一种温度的水平，并不是没有温度。

可见，定距尺度中的“0”是一个有意义的数值，定比尺度则不同，它有一个绝对“零点”。

在定比尺度中，“0”表示“没有”或“不存在”，如某人这个月的收入为“0”，表示这个人没有收入。

定比尺度可以进行加、减、乘、除运算。

上述四种计量尺度对事物的测量层次由低级到高级，由粗略到精确逐步递进的。

高层次的计量尺度可以具有低层次计量尺度的全部特性，但不能反过来。

下表给出了上述四种计量尺度的测量层次和数学特性。

四种计量尺度的比较

计量尺度

数学特性

定类尺度

定序尺度

定距尺度

定比尺度

分类（＝、≠）

√

√

√

√

排序（＞、＜

√

√

√

间距（－、﹢）

√

√

比值（×、÷）

√

在统计分析中，一般要求测量的层次越高越好，因为高层次的计量尺度包含更多的数学特性，所运用的统计分析方法越多，分析时也就越方便，因此，应尽可能使用高层次的计量尺度。

二．数据的类型

从上述四种计量尺度的结果来看，可以将统计数据分为四种类型：

1．定类数据：

表现为类别，但不区分顺序，是由定类尺度形成的。

2．定序数据：

表现为类别，但有顺序，是由定序尺度计量形成的。

3．定距尺度：

表现为数值，可以进行加、减运算，是由定距尺度计量形成的。

4．定比数据：

表现为数值，可进行加、减、乘、除运算，是由定尺度形成的。

前二类数据说明的是事物的品质特征，不能用数值表示，其结果均表现为类别，称为定性数据或品质数据；后两类数据说明的是现象的数量特征，能够用数值来表现，因此称为定量数据或数量数据。

区分测量的层次和数据的类型十分重要，因为对不同类型的数据将采用不同的统计方法来处理。

三．统计数据的表现形式

时期数

绝对数（数量指标）

时点数

表现形式相对数比例（Proportion）

比率（Ratio）

平均数（均值）

第二节统计数据的搜集

我们站在统计数据使用者的角度看，统计数据主要来源于两种渠道：

一是直接的调查和科学试验，这是统计数据的直接来源，我们称之为第一手资料或直接的统计数据；二是别人调查或试验的数据，这是统计数据的间接来源，我们称之为第二手或间接的统计数据。

一．统计数据的直接来源

统计数据的直接来源主要有两个渠道：

一是专门组织的调查；专门调查是取得社会经济数据的重要手段。

二是科学试验；科学试验是取得自然科学数据的主要手段。

（一）统计调查方式

实际工作中常用的统计调查方式有：

普查、重点调查、典型调查、抽样调查、统计报表等。

1．普查

①概念：

普查是为某一特定目的而专门组织的一次性全面调查。

我国五次人口普查时间：

1953年，1964年，1982年，1990年（7月1日零时），2000年（11月1日零时）。

②特点：

a．普查通常是一次性的或周期性的；

b．普查一般需要规定统一的标准调查时间。

目的是为了避免调查数据的重复或遗漏。

c．为抽样调查或其他调查提供基本依据。

d．普查的使用范围比较窄。

2．抽样调查

①概念：

抽样调查是从调查对象中随机抽取一部分单位作为样本进行调查，并根据调查结果来推断总体数量特征的一种非全面调查。

②特点：

ⅰ：

经济性ⅱ：

时效性强ⅲ：

适应面广ⅳ：

准确性高

3．统计报表

统计报表是国家和地方政府部门统计数据的主要来源。

①概念：

统计报表是按照国家有关法规的规定，自上而下地逐级提供基本统计数据的一种调查方式。

②种类

ⅰ：

按调查范围不同分为全面报表和非全面报表。

全面报表要求调查对象的每一个单位都填报；非全面报表要求调查对象中的一部分单位填报。

ⅱ：

按报表内容和实施范围不同分为国家统计报表、部门统计报表和地方统计报表。

ⅲ：

按报送周期长短分为日报、旬报、月报、季报、半年报、年报。

ⅳ：

按报送单位不同分为基层统计报表和综合统计报表。

4．重点调查

①概念：

是指只在调查对象中选择一部分重点单位进行调查，借以了解总体基本情况的一种非全面调查。

重点单位是指在所要调查的数量特征上占有较大比重的单位。

②特点：

ⅰ：

重点单位的选择具有客观性。

ⅱ：

重点调查的目的是为了反映总体的基本情况。

5．典型调查

①概念：

是根据调查目的和要求，在对研究对象进行全面分析的基础上，有意识地选择部分有代表性单位进行调查，它是一种非全面调查。

②特点：

ⅰ：

调查单位是根据调查目的有意识地选择出来的少数具有代表性的单位。

ⅱ：

典型调查是一种深入、细致的调查。

（二）数据的搜集方法

不论采取何种方式进行调查，在取得统计数据时，都有一些具体的数据搜集方法，归纳起来有两大类：

1．询问调查：

包括①访问调查（派员调查）：

是调查者与被调查者通过面对面交谈从而得到所需资料的调查方法。

②邮寄调查：

是通过邮寄将调查表或调查问卷送到被调查者手中，由被调查者填写，然后寄回调查表的一种调查方法。

③电话调查：

打电话，语言交流、搜集资料。

④座谈会：

把被调查者集中起来，让他们对调查主题发表意见，获取资料。

⑤个别深度访问：

一次只访问一名被调查者，详细了解被调查者的思想和行为动机。

2．观察与实验：

包括①观察法：

调查人员边观察边记录以收集信息的方法。

②是在所设定的特殊实验场所，对调查对象进行实验以取得资料的一种调查方法。

二．统计数据的间接来源

第二手数据主要是公开出版的或公开报道的数据。

在我国，公开出版或报道的社会经济数据主要来自国家和地方的统计部门以及各种报刊媒介。

如公开出版的《中国统计年鉴》，《中国市场统计年鉴》等，另外，广泛分布在各种报刊、杂志、图书、广播、电视传媒中的各种数据资料也属于第二手数据。

第三节调查方案设计

在搜集直接统计数据之前，需要制定出一个周密、完整的调查方案，以指导整个调查工作，一个完整的统计调查方案应包括以下内容：

一．确定调查目的（为什么要调查）

在调查方案中首先应明确本次调查的目的，它要回答的是为什么调查，要解决什么样的问题。

只有这些问题明确之后，才能确定向谁调查，调查什么以及采用什么方法进行调查。

二．确定调查对象和调查单位（向谁调查）

调查对象和调查单位要解决的是向谁调查，由谁来提供所需资料的问题。

调查对象是根据调查目的确定的调查研究的总体或调查范围，调查单位是构成调查对象的每一个单位，是调查项目和指标的承担者或载体。

三．设计调查项目和调查表（调查什么）

调查项目是调查的具体内容，它要回答的是调查什么问题。

调查项目可以是调查单位的数量特征，也可以是调查单位的某种属性或品质特征。

调查项目常以表格的形式来表现，称为调查表。

四．方案设计中的其他内容

另外，调查方案还应明确调查所采用的方式和方法，调查时间及调查的组织与实施工作等。

调查时间包括调查数据的所属时间（若为时点现象，要明确规定资料的统一时点，即标准时点；若为时期现象，要明确规定现象的起止时间）和调查的工作期限（指调查工作从开始到结束的时间长度，包括：

调查人员的选择、组织的培训；调查经费的来源和开支预算等，调查表格、问卷、调查员手册的印刷等）。

第四节统计数据的整理

把统计数据搜集上来之后，接下去的工作应对统计数据进行加工整理，使之系统化、条理化、以符合分析的需要。

数据整理的步骤如下：

一．数据的预处理

在对数据进行分类或分组之前，需要对数据进行预处理，包括数据的审核、筛选、排序等。

1．数据的审核与筛选

①数据的审核

对数据进行审核，主要是为了保证数据的质量，对于通过直接调查取得的原始数据，主要从完整性和准确性两个方面去审核。

完整性审核主要是检查应调查的单位或个体是否有遗漏，所有的调查项目或指标是否填写齐全等。

准确性审核主要包括两个方面：

一是检查数据资料是否真实地反映了客观实际情况，内容是否符合实际；二是检查数据是否有错误，计算是否正确等。

第二手资料，除审核数据的完整性和准确性外，还应审核数据的适应性和时效性。

②数据的筛选

数据的筛选包括两方面的内容：

一是将某些不符合要求的数据或有明显错误的数据予以剔除；二是将符合某种特定条件的数据筛选出来，对不符合条件的数据予以剔除。

2．数据的排序

排序是按一定顺序将数据排列，以便研究者通过浏览数据发现一些明显的特征或趋势。

对于定类数据，如果是字母型数据，排序有升序与降序之分，习惯上使用升序；如果是汉字型数据，排序方式既可按汉字的首位拼音字母排列，也可按笔画排序。

定距数据和定比数据的排序只有两种：

即递增和递减。

二．数据分组与频数分布

（一）数据分组的概念

统计数据经过预处理后，可进一步做分类或分组整理。

统计分组是统计数据整理的一项重要工作。

统计数据整理的中心任务就是分组和编制频数分布表。

统计分组就是根据统计研究的需要，将统计总体按照一定的标志区分为若干组成部分的一种统计方法。

通过分组，可以划分现象的类型、说明现象的内部结构、提示现象与现象之间的依存关系。

（二）统计分组方法

按分组方法不同，分组的方法有：

1．按品质标志分组

即按事物的品质特征进行分组。

按品质标志分组，在确定其分组界限时，有时比较简单，有时却很复杂。

2．按数量标志分组

按数量标志分组，就是按事物的数量特征进行分组。

按数量标志分组，不仅在于确定各组的数量标志的差异，而且要通过数量差异来反映各组的不同类型和性质。

按数量标志分组，涉及到以下几个问题：

①组距和组数

数量标志也即前面讲的数字变量。

数字变量根据其取值不同，可以分为离散变量和连续变量。

离散变量变量值少，采用单项式分组。

变量变量值多，采用组距分组。

连续变量采用组距分组。

单项式分组：

把一个变量值作为一组。

组距分组：

将全部变量值依次划分为几个区间，并将这一区间的变量值作为一组。

组距宜取5或者10的倍数，且第一组的下限应低于最小变量值，最后一组的上限应高于最大变量值。

组距的大小与组数的多少是相互制约的，它们之间呈反比例关系。

组距越大，则可分的组就越少。

确定组距与组数，原则上应该是通过分组能把总体单位的分布特征显示出来，即组与组之间应该反映出现象的差异。

②等距分组与不等距分组

等距分组即变量值在各组保持相等的组距，就是说各变量值都限于相同的范围，在变量值比较均匀时，采用等距分组。

当变量值变动很不均匀，就应采用不等距分组。

③组限与组中值

组限即为组距两端的数值，分为上限和下限。

上限是各组的最大变量值，下限是各组的最小变量值。

对于离散变量和连续变量，组限的划分是不同的。

对于离散型变量，由于其只能取整数，相邻组的上下限可以不重叠，对于连续变量，相邻两组的组限应重叠，即上一组的上限同时也是下一组的下限。

用“上组限不在内”原则解决不重问题。

组中值是上下限之间的中点数值，其计算公式为：

组中值=（上限+下限）÷2。

用组中值来反映组距分组中各组数据的一般水平。

实际工作中，对于开口组的组中值，一般是用相邻组的组距作为开口组的组距，因此，其组中值的计算公式近似为：

组中值=下限+邻组组距/2（缺上限）或组中值=上限－邻组组距/2（缺下限）。

用组中值来代表各组数据的一般水平，有一个假设条件：

即各组数据在本组内呈均匀分布。

（三）频数分布

1．频数分布的概念和种类

①概念：

频数分布也叫次数分布或分布数列，即把全部数据按其分组标志在各组内的分布状况称为频数分布。

分布在各组内的数据个数称为频数或次数，各组频数与全部频数之和的比值称为频率或比重。

将频数分布用表格的形式表现出来就是频数分布表。

②种类

品质数列（按品质标志分组所形成）

分布数列单项式变量数列

变量数列等距数列

组距式变量数列

不等距数列

2．累积频数和累积频率

累积频数分为向上累积和向下累积两种：

向上累积从变量值小的一方向变量值大的一方累加频数；向下累积从变量值大的一方向变量值小的一方累加频数。

向上累积各累积数的意义是上限以下的累积频数和累积频率；向下累积各累积数的意义是各组下限以上的累积频数或累积频率。

（四）频数分布表的编制

编制步骤如下：

1．对数据进行排序

2．进行分组

采用组距分组的步骤如下：

①确定组数

按斯特格斯提出的经验公式确定组数K：

K=1+㏒1ON/㏒102N为数据的个数。

②确定各组的组距

③根据分组整理成频数分布表

三．次数分配的图示和类型

（一）图示法

通过频数分布表，可以初步看出数据分布的一些特征和规律，但如果用图形来表示次数分布的结果，会更加形象和直观。

常用的显示频数分布特征的图形有直方图、折线图和曲线图等。

1．直方图

即用直方形的宽度和高度来表示频数分布情况的图形。

绘制直方图时，横轴表示各组组限，纵轴表示频数（一般标在左方）和频率（一般标在右方），然后按分布在各组的频数及频率确定各组在纵轴上的坐标，并依据各组组距的宽度与频数的高度绘成直方形。

学生按成绩分

按成绩分组

学生数

比重（%）

60以下

7

8.8

60——70

21

26.2

70——80

25

31.2

80——90

19

23.8

90——100

8

10

合计

80

100

对于不等距数列，先要计算出各组的频数密度，然后以组距为宽，以频数密度为高画直方图，其中频数密度的计算公式为：

频数密度=频数÷组距。

2．折线图

在直方图的基础上，将直方图中的每个长方形的顶端中点用折线连点而成。

如果不绘制直方图，可以用组中值与频数求坐标点连接而成。

3．曲线图

当变量值非常多，变量数列的组距无限增多时，折线便近似地表现为一条平滑的曲线，曲线图的绘制方法与折线图基本相同，只是连接各组频数坐标点的线段应当是平滑曲线而不用折线。

（二）频数分布的类型

常见的频数分布曲线主要有正态分布、偏态分布、J型分布、V型分布等几种类型。

第三章数据分布特征的描述

教学重点和难点：

均值的计算方法；方差和标准差的计算；离散系数的适用场合。

第一节分布集中趋势的测度

统计数据经过整理与显示后，我们对数据分布的类型和特点就有了一个大致的了解。

但这种了解只是表面上的，还缺少代表性的数量特征值准确地描述出统计数据的分布。

要进一步掌握数据分布的特征和规律，还需要找到反映数据分布特征的各个代表值。

对统计数据分布的特征，可以从以下三个方面进行测度和描述：

一是分布的集中趋势，反映各统计数据向其中心值靠拢或聚集的程度；二是分布的离散程度，反映各数据远离其中心值的趋势；三是分布的偏态和峰度，反映数据分布的形状。

集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。

集中趋势的测度值主要有：

均值、几何平均数、众数、中位数。

一．均值（Mean）

均值也叫算术平均数（Arithmeticmean），是全部数据的算术平均，是集中趋势的最主要测度值，它主要适用于定距数据和定比数据，但不适用于定类数据和定序数据。

根据所掌握数据的不同，均值有不同的计算形式和计算公式。

（一）简单均值与加权均值

1．根据未经分组整理的原始数据计算均值

设一组数据为X1，X2，X3，……Xn，则均值

注：

简单均值数值大小只与变量值的大小有关。

2．根据分组整理的数据计算均值

设原始数据被分成K组，各组的组中值为X1，X2，X3，……，XK，各组变量值为F1，F2，F3，……，FK。

则均值为：

注：

①Fi：

权数——起权衡轻重的作用。

如果某一组的权数较大，则说明该组的数据较多，那么该组数据的大小对均值的影响就越大，反之则越小。

②均值受各组变量值大小和各组权数大小的影响。

③单变量分组时为精确值，组距分组时为近似值。

（二）均值的另一种表现形式——调和平均数

调和平均数（Harmonicmean）也称调和均值，是均值的另一种表现形式。

在实际工作中，由于所获得的数据不同，有时不能直接采用均值的计算形式来计算平均数，这就需要使用调和平均数的形式进行计算。

调和平均数实际上是算术平均数的一种变形。

二者在本质上是一致的，唯一的区别是计算时使用了不同的数据。

（三）一种特殊的均值：

几何平均数

几何平均数（Geometricmean）也称几何均值，它是N个变量值乘积的N次方根，计算公式为：

应用条件：

①所掌握的变量值本身是比率的形式；②各比率的乘积等于总比率