12.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(x,y),B(x,y)在圆O:
x2+y2=4上,
1122
且满足x1x2+y1y2=-2,则x1+x2+y1+y2的最小值是.
13.在锐角△ABC中,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上,若AB=3AD,AC=λAF,
且BC⋅ED=2EF⋅ED=6,ED=1,则实数λ的值为.
14.在△ABC中,点D在边BC上,且满足AD=BD,3tan2B﹣2tanA+3=0,则BD的取
CD
值范围为.
二、解答题(本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)
如图,在三棱锥P—ABC中,PA⊥平面ABC,AB=AC,点D,E,F分別是AB,AC,BC的中点.
(1)求证:
BC∥平面PDE;
(2)求证:
平面PAF⊥平面PDE.
16.(本小题满分14分)
已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx-1,x∈R.
2
(1)求函数f(x)的最大值,并写出相应的x的取值集合;
2
π3π
(2)若f(α)=,α∈(-,),求sin2α的值.
688
17.(本小题满分14分)
某温泉度假村拟以泉眼C为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池,如图所示,M,N是圆C上关于直径AB对称的两点,以A为四心,AC为半径的圆与圆C的弦AM,AN分别交于点D,E,其中四边形AEBD为温泉区,I、II区域为池外休息区,III、IV区域为池内休息区,设∠MAB=θ.
(1)当θ=π时,求池内休息区的总面积(III和IV两个部分面积的和);
4
(2)当池内休息区的总面积最大时,求AM的长.
18.(本小题满分16分)
2
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆M:
x
a2
y2
+=1(a>b>0)的左顶点为A,过点
b2
A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B,以AB为边作矩形ABCD,其中直线CD过原点O.当点B为椭圆M的上顶点时,△AOB的面积为b,且AB=3b.
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)求矩形ABCD面积S的最大值;
(3)矩形ABCD能否为正方形?
请说明理由.
19.(本小题满分16分)
定义:
若一个函数存在极大值,且该极大值为负数,则称这个函数为“YZ函数”.
(1)判断函数f(x)=x
ex
-1是否为“YZ函数”,并说明理由;
(2)若函数g(x)=lnx-mx(m∈R)是“YZ函数”,求实数m的取值范围;
(3)已知h(x)=1x3+1ax2+bx-1b,x∈(0,+∞),a,b∈R,求证:
当a≤﹣2,
323
且0<b<1时,函数h(x)是“YZ函数”.
20.(本小题满分16分)
已知数列{an},{bn},{cn}满足bn=an+2-an,cn=2an+1+an.
(1)若数列{an}是等比数列,试判断数列{cn}是否为等比数列,并说明理由;
(2)若an恰好是一个等差数列的前n项和,求证:
数列{bn}是等差数列;
(3)若数列{bn}是各项均为正数的等比数列,数列{cn}是等差数列,求证:
数列{an}
是等差数列.
第II卷(附加题,共40分)
21.【选做题】本题包括A,B,C三小题,请选定其中两题作答,每小题10分共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
A.选修4—2:
矩阵与变换
已知列向量⎡a⎤在矩阵M=⎡34⎤对应的变换下得到列向量⎡b-2⎤,求M-1⎡b⎤.
⎢5⎥
⎢12⎥
⎢b⎥
⎢a⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
B.选修4—4:
坐标系与参数方程
⎧⎪x=cosα
在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为⎨
⎪⎩y=
(α为参数).以坐标原
3sinα
2
)
点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π=4,
4
点P为曲线C上任一点,求点P到直线l距离的最大值.
C.选修4—5:
不等式选讲
已知实数a,b,c满足a>0,b>0,c>0,
a2b2c2
++=++≤
3,求证:
abc3.
bca
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程
或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
如图,在多面体ABCDEF中,平面ADE⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2的
π
正方形,△ADE是等腰直角三角形,且∠ADE=
,EF⊥平面ADE,EF=1.
2
(1)求异面直线AE和DF所成角的余弦值;
(2)求二面角B—DF—C的余弦值.
23.(本小题满分10分)
给定n(n≥3,n∈N*)个不同的数1,2,3,…,n,它的某一个排列P的前k(k∈N*,1
≤k≤n)项和为Sk,该排列P中满足2Sk≤Sn的k的最大值为kP.记这n个不同数的所有排列对应的kP之和为Tn.
(1)若n=3,求T3;
(2)若n=4l+1,l∈N*,①证明:
对任意的排列P,都不存在k(k∈N*,1≤k≤n)使得2Sk=Sn;②求Tn(用n表示).
2019~2020学年度第二学期调研测试
5
高三数学答案
一、填空题
1.{1,2,4,8}2.1
2
51
3.804.85.
6.7.
2
182
8.1929.-1
10.6
11.(-∞-1](0,1]
二、解答题
12.-2
13.314.(1,2]
15.(本题满分14分)
证明:
(1)在∆ABC中,因为D,E分别是AB,AC的中点,
所以DE//BC,2分
因为BC⊄平面PDE,DE⊂平面PDE,
所以BC//平面PDE.6分
(2)因为PA⊥平面ABC,DE⊂平面PDE,所以PA⊥DE,
在∆ABC中,因为AB=AC,F分别是BC的中点,
所以AF⊥BC,8分
因为DE//BC,所以DE⊥AF,
又因为AFPA=A,AF⊂平面PAF,PA⊂平面PAF,
所以DE⊥平面PAF,12分
因为DE⊂平面PDE,所以平面PAF⊥平面PDE.14分
16.(本题满分14分)解:
(1)因为f(x)=sin
21
x+sinxcosx-,
2
1-cos2x
所以f(x)=+
1sin2x-1
=1(sin2x-cos2x)
……………2分
2222
2
2
)
=(sin2xcosπ-cos2xsinπ=sin(2x-π
)
……………4分
24424
2
当2x-π=2kπ+π(k∈Z),即x=kπ+3π(k∈Z)时,f(x)取最大值,
4282
所以f(x)的最大值为2,此时x的取值集合为⎧xx=kπ+3π,k∈⎫.………7分
⎨Z⎬
8
2⎩⎭
2
2
)
)
(2)因为f(α)=,则2sin(2α-π=,即sin(2α-π=1,
)
624643
α-∈
因为α∈(-π,3π),所以2
π(-ππ,
88422
22
)
()
ππ1
则cos(2α-)=1-sin2(2α-=1-2=,10分
4433
)]
)cos
)sin
所以sin2α=sin[(2α-π+π=sin(2α-ππ+cos(2α-ππ
444444
=1⋅
2+22⋅
2=4+
2
.……………14分
32326
17.(本题满分14分)
解:
(1)在Rt∆ABM中,因为AB=24,θ=π,
2
2
4
所以MB=AM=12
,MD=24cosπ-12=12
4
-12,
2
所以池内休息区总面积S=2⋅1MB⋅DM=122(12
2
-12)=144(2-
2).
(2)在Rt∆ABM中,因为AB=24,∠MAB=θ,
……………4分
所以MB=24sinθ,AM=24cosθ,MD=24cosθ-12,
由MB=24sinθ>0,MD=24cosθ-12>0得θ∈⎛0,π⎫,6分
ç3⎪
⎝⎭
则池内休息区总面积S=2⋅1MB⋅DM=24sinθ(24cosθ-12),θ∈⎛0,π⎫;
2ç3⎪
设f(θ)=sinθ(2cosθ-1),θ∈⎛0,π⎫,因为
⎝⎭
……………9分
ç3⎪
⎝⎭
1±33
8
f'(θ)=cosθ(2cosθ-1)-2sin2θ=4cos2θ-cosθ-2=0⇒cosθ=,
又cosθ=1+33>1,所以∃θ∈⎛0,π⎫,使得cosθ=1+33,
820ç3⎪08
⎝⎭
则当x∈(0,θ0)时,f'(θ)>0⇒f(θ)在(0,θ0)上单调增,
当x∈⎛θ,π⎫时,f'(θ)<0⇒f(θ)在(0,θ)上单调减,
ç03⎪0
⎝⎭
即f(θ0)是极大值,也是最大值,所以fmax(θ)=
f(θ0),
33
此时AM=24cosθ0=3+3
.13分
答:
(1)池内休息区总面积为144(2-2)m2;
(2)池内休息区总面积最大时AM的长为AM=(3+333)m.………14分
18.(本题满分16分)
a2+b2
⎧=
⎪
⎨2
解:
(1)由题意:
⎪1ab=b
⎪
3b
2
,解得a=2,b=c=,
⎩
⎪a2=b2+c2
2
2
所以椭圆M的标准方程为x+y=1.4分
42
(2)显然直线AB的斜率存在,设为k且k>0,
则直线AB的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0,
⎧y=k(x+2)
⎪2222
⎪
1
联立⎨x2+y2=
(x+2)2+y2
B
B
41+k2
⎩42
得(1+2k)x
+
8kx+8k
-4=0,
解得xB
=2-4k2
1+2k2
,yB
=4k1+2k2
,所以AB=
=1+2k2,
2k
1+k2
直线CD的方程为y=kx,即kx-y=0,所以BC=
=2k,
1+k2
41+k22k8k88
2
所以矩形ABCD面积S=
1+2k2
⋅==
1+k2
1+2k2
1+2kk
≤=2,
22
2
2
所以当且仅当k=时,矩形ABCD面积S的最大值为2
2
(3)若矩形ABCD为正方形,则AB=BC,
.11分
41+k2
=
即1+2k2
2k
,则2k
1+k2
3-2k2
+k-2=0
(k>0),
令f(k)=2k3-2k2+k-2(k>0),
因为f
(1)=-1<0,f
(2)=8>0,又f(k)=2k3-2k2+k-2(k>0)的图象不间断,所以f(k)=2k3-2k2+k-2(k>0)有零点,所以存在矩形ABCD为正方形.
x
19.(本题满分16分)
解:
(1)函数f(x)=-1是“YZ函数”,理由如下:
ex
……………16分
因为f(x)=x
ex
-1,则f'(x)=1-x,
ex
当x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0,
x1
所以f(x)=-1的极大值f
(1)=-1<0,
exe
x
故函数f(x)=-1是“YZ函数”.4分
ex
(2)定义域为(0,+∞),
g'(x)=1-m,
x
当m≤0时,g'(x)=1-m>0,函数单调递增,无极大值,不满足题意;
x
当m>0时,当01时,g'(x)=1-m>0,函数单调递增,
mx
当x>1时,g'(x)=1-m<0,函数单调递减,
mx
111
所以g(x)的极大值为g()=ln-m⋅=-lnm-1,
mmm
11
由题意知g()=-lnm-1<0,解得m>
m
.10分
e
(3)证明:
h'(x)=x2+ax+b,
因为a≤-2,00,
12
所以h'(x)=x2+ax+b=0有两个不等实根,设为x,x,
⎧x1+x2=-a>0
因为⎨xx
=b>0
,所以x1>0,x2>0,不妨设0⎩12
当00,则h(x)单调递增;当x11
所以h(x)的极大值为h(x)=1x3+1ax2+bx-b,13分
1312113
由h'(x)=x2+ax+b=0得x3=x(-ax
-b)=-ax2-bx,
111
因为a≤-2,0
所以h(x)=1x3+1ax2+bx
11111
-1b=1(-ax2-bx)+1ax2+bx
-1b
131
21133
112
113
=1ax2+2bx
-1b≤-1x2+2bx
-
1b
613
1331
313
=-1(x-b)2+1b(b-1)<0.
313
所以函数h(x)是“YZ函数”.16分
(其他证法相应给分)
20.(本题满分16分)
解:
(1)设等比数列{an}的公比为q,则cn=2an+1+an=2anq+an=(2q+1)an,
当q=-1时,c=0,数列{c}不是等比数列,2分
2nn
1cn+1
(2q+1)an+1
当q≠-2时,因为cn≠0,所以c
=(2q+1)a
=q,所以数列{cn}是等比数
nn
列.5分
(2)因为an恰好是一个等差数列的前n项和,设这个等差数列为{dn},公差为d,
因为an=d1+d2++dn,所以an+1=d1+d2++dn+dn+1,两式相减得an+1-an=dn+1,
因为an+2=an+bn,
所以bn+1-bn=(an+3-an+1)-(an+2-an)=(an+3-an+2)-(an+1-an)=dn+3-dn+1=2d,
所以数列{bn}是等差数列.10分
(3)因为数列{cn}是等差数列,所以cn+3-cn+2=cn+1-cn,
又因为cn=2an+1+an,所以2an+4+an+3-(2an+3+an+2)=2an+2+an+1-(2an+1+an),
即2(an+4-an+2)=(an+3-an+1)+(an+2-an),则2bn+2=bn+1+bn,
2
又因为数列{b}是等比数列,所以b
=bb
2
,则b
=b⋅bn+1+bn,
n
即(bn+1-bn)(2bn+1+bn)=0,
n+1
nn+2
n+1n2
因为数列{bn}各项均为正数,所以bn+1=bn,13分
则an+3-an+1=an+2-an,即an+3=an+2+an+1-an,
又因为数列{cn}是等差数列,所以cn+2+cn=2cn+1,即(2an+3+an+2)+(2an+1+an)=2(2an+2+an+1),
化简得2an+3+an=3an+2,将an+3=an+2+an+1-an代入得
2(an+2+an+1-an)+an=3an+2,
化简得an+2+an=2an+1,所以数列{an}是等差数列.16分
(其他证法相应给分)
数学Ⅱ(附加题)
21.A.[选修4-2:
矩阵与变换](本小题满分10分)
⎡3
解:
因为
4⎤⎡a⎤=⎡b-2⎤,所以⎧3a+20=b-2,解得⎧a=-6,4分
⎢12⎥⎢5⎥
⎢b⎥
⎨a+10=b
⎨b=4
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎩
设M-1=⎡mp⎤,则⎡34⎤⎡mp⎤=⎡10⎤,
nq
12nq01
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎪
⎧m=1
⎧3m+4n=1
⎪3p+4q=0
⎪n=-1
⎡1-2⎤
⎪
⎪
⎪⎪
即,解得
2,所以M-1=⎢1
3⎥,8分
⎨m+2n=0
⎪⎩p+2q=1
⎨p=-2
⎪
⎪q=3
⎢⎣-2
2⎥⎦
⎩2
⎡b⎤⎡1-2⎤⎡4⎤⎡16⎤
所以M-1⎢⎥=⎢13⎥⎢⎥=⎢⎥10分
⎣a⎦
⎢-⎥⎣-6⎦⎣-11⎦
⎦
⎣
22
B.[选修4-4:
坐标系与参数方程](本小题满分10分)
ππ
2
解:
由题:
直线方程即为ρ(sinθcos
+
cosθsin)=4,
44
由ρcosθ=x,ρsinθ=y得直线的直角坐标方程为x+y-8=0,4分
设P点的坐标为(cosα,3sinα),
cosα+3sinα-8
12+12
2sin⎛α+π⎫-8
ç6⎪
∴点P到直线的距离d=
=⎝⎭,8分
2
2
当α+