河北省唐山市玉田县学年高一下学期期中考试.docx
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河北省唐山市玉田县学年高一下学期期中考试
唐山市玉田县2016-2017学年高一下学期期中考试
数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.等差数列中,前n项和为,若,则的值是
A.90B.45C.30D.
【答案】B
...............
考点:
1、等差数列的性质;2、等差数列的前项和.
2.如果,那么下列不等式成立的是
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】若,则,即,故错误;,故错误;在时,不成立,故错误;,故正确,故选D.
3.数列满足,则
A.-2B.-1C.2D.
【答案】C
【解析】因为数列满足,同理可得,数列是周期为的数列,则,故选C.
4.等比数列中,对任意,,则
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】试题分析:
,故,是首项为,公比为的等比数列,故.
考点:
数列.
5.的内角的对边分别为,若成等比数列,且,则
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】试题分析:
a、b、c成等比数列,所以
考点:
1.等比数列;2.余弦定理
6.设满足约束条件,则的最大值为
A.2B.3C.8D.10
【答案】C
【解析】作出不等式组,表示的平面区域如图:
根据图形可知:
当直线经过点时取得最大值,由,解得:
,故选C.
7.在中,若,则的形状是
A.等腰或直角三角形B.直角三角形C.不能确定D.等腰三角形
【答案】A
【解析】由正弦定理,得,所以,
,又因为,所以
或,即或,所以是等腰三角形或直角三角形,故选A.
8.设为等差数列的前n项和,若,则当最大时正整数n为
A.4B.5C.6D.10
【答案】B
【解析】为等差数列的前项和,,,
,,所以当最大时正整数为,故选B.
9.不等式对一切实数都成立,则实数的取值范围是
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】不等式变形为,该不等式对一切实数恒成立,,即,化简得,解得,所以实数的取值范围是,故选B.
10.设为等差数列的前n项和,,则此数列的公比
A.-2或-1B.1或2C.或2D.或
【答案】D
【解析】时不满足条件,舍去,时,,则,,解得或,故选D.
11.在的内角的对边分别为,若,且,则的面积为
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】在中,由余弦定理得,解得,,故选A.
【思路点睛】本题主要考查余弦定理、三角形面积公式及特殊角的三角函数,属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式:
(1);
(2),同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.
12.若正数满足,则的最小值为
A.24B.25C.28D.30
【答案】B
【解析】因为正数满足,则,当且仅当
时取等号,的最小值为,故选B.
【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值,属于难题.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:
一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用或时等号能否同时成立).
第Ⅱ卷
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上..
13.设是等差数列的前n项和,若,则
【答案】0
【解析】是等差数列的前项和,,解得,故答案为.
【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式,属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型,数列中的五个基本量,一般可以“知二求三”,通过列方程组所求问题可以迎刃而解,解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式,并灵活应用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
14.若的内角的对边分别为,若,则边的最小值是
【答案】
【解析】,解得,(当且仅当时等号成立),又,,(当且仅当时等号成立),即边的最小值是,故答案为.
15.在位于A处的海绵观测站获悉,在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,并在原点等待营救,在A处南偏西且相距20海里的C处有一艘救援船,该船接到观测站通告后立即前往B处求助,则
【答案】
【解析】在中,,由余弦定理,得,所以,由正弦定理,得
,故答案为.
16.已知等比数列中,则其前3项和的取值范围是
【答案】
【解析】因为等比数列中,,所以当公比时,,当公比时,,,故答案为.
三、解答题:
本大题共6小题,满分90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.等差数列的前n项和为,且.
(1)求的通项公式;
(2)求满足不等式的n的值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】试题分析:
(1)由,列出方程组,求出首项和公差,由此能求出的通项公式;
(2)由,求出从而得到,,由此能求出的值.
试题解析:
(Ⅰ)设数列的公差为d,
由,得①.
由,得②
解得,,
所以.
(Ⅱ)因为,所以,
由不等式,
得,
所以,
解得,
因为,
所以n的值为2,3,4.
18.若的内角的对边分别为,已知.
(1)若,求角;
(2)若,求的面积.
【答案】题:
(1)
(2)
【解析】试题分析:
(1)由正弦定理直接求解的大小;
(2)利用三角形内角和定理,消去,利用和与差公式打开,化简可得与的关系,即可求解.
试题解析:
(1)由正弦定理得
∵<,所以
(2)
得
当
可得
【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式,属于难题.在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据.除了直接利用两定理求边和角以外,恒等变形过程中,一般来说,当条件中同时出现及、时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
19.设数列的前n项和为,已知.
(1)求通项公式;
(2)求数列的前n项和.
【答案】
(1)
(2)
【解析】试题分析:
(1)根据条件建立方程组关系,求出首项,利用数列的递推关系证明数列是公比的等比数列,即可求通项公式;
(2)讨论的取值,利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列的前项和.
试题解析:
(1)由题意得:
,则,
又当时,由,
得,
所以,数列的通项公式为.
(2)设,,.
当时,由于,故.
设数列的前项和为,则.
当时,,
所以,.
【方法点晴】本题主要考查等差数列及等比数列的通项和利用“分组求和法”求数列前项和,属于中档题.利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种:
一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差,可以分别用等比数列求和后再相加减;二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差,可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.
20.在的内角的对边分别为,且.
(1)求角的大小;
(2)若为的中点,求的长.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】试题分析:
(1)首先根据正弦定理=,将角化为边,得到,再由余弦定理可求得;
(2)可先求得,利用正弦定理求得,再利用,可求得,在中,由余弦定理可求得的长.
试题解析:
(1)由正弦定理,以及,
得.整理,得,
即.所以.
又,所以.
(2)由,可得.
所以
.
由正弦定理,可得.所以.
故在中,由余弦定理得,
.
所以.
考点:
1.正弦定理;2.余弦定理.
【方法点睛】本题考查了正,余弦定理,属于中档题型,当一个等式里面既有边,又有角的三角函数,所以涉及边角互化的问题,一般用正弦定理常用的边角互化公式,包括,,,或是,,,以及,这样帮助我们边角互化后,得到边的关系,或是三角函数的关系.
21.某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆,公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多余A型车7辆,若每天要以不少于900人运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?
最小营运成本是多少?
【答案】36800元
【解析】试题分析:
设应配备型、型车各辆、辆,营运成本为元,从而可得,利用线性规划求解.
试题解析:
设应配备A型车、B型车各x辆,y辆,营运成本为z元;
则由题意得,z=1600x+2400y;且
;z=1600x+2400y;
故作平面区域如下,
故联立解得,x=5,y=12
此时,z=1600x+2400y有最小值1600×5+2400×12=36800元.
答:
应配备A型车、B型车分别是5辆和12辆,才能使公司从甲地去乙地的营运成本最小为36800元
22.在等比数列中,成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足的前n项和为,
求使成立的正整数n的最大值.
【答案】
(1)
(2)3
【解析】试题分析:
(1)设数列的公比为,结合题意可知,即可
,解出,即可得出的通项公式;
(2)结合
(1)的结合,可得和,两式作差可得的通项公式,利用错位相减法可得,再将其代入不等式进行求解.
试题解析:
(1)设数列的公比为,∵成等差数列.∴2,
∴,
∴,∴,∴
(2)①,②,
①-②得,,∴.
令,∴不符合上式.
∴.………8分
∴当时,③,
④,
③-④得,
∴
当时,,符合上式,∴.
∴,即,∴,∴的最大值为
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