北师大版数学九下第一章《直角三角形的边角关系》word导学案.docx

北师大版数学九下第一章《直角三角形的边角关系》word导学案.docx

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北师大版数学九下第一章《直角三角形的边角关系》word导学案

1.1锐角三角函数

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1．掌握正切的意义，坡度的概念，用正切表示生活中物体的倾斜程度.

2．培养学生分析问题、解决问题的能力以及创新能力.

3．积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.

【重点难点】

1．从现实情景中探索直角三角形的边、角关系.

2．理解正切的意义和与生活现象--倾斜度、坡度的内在本质的统一性，密切数学与生活的联系.

3．如何把正切的意义从现实生活中抽取并灵活应用.

知识概览图

新课导引

【生活链接】意大利比萨斜塔落成时已经倾斜，你如何描述比萨斜塔的倾斜程度呢?

【点拨】我们可以用“塔身中心线偏离竖直中心线的角度”来描述比萨斜塔的倾斜程度．用该角的正切值来描述塔的倾斜程度，即该角的正切值越大，塔倾斜越严重．其实，角的正弦值、余弦值均可以描述塔的倾斜程度，即该角的正弦值越大，塔倾斜越严重；该角的余弦值越小，塔倾斜越严重．

教材精华

知识点1正切的概念

如图1—l所示，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝．

拓展

（1）tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”．我们后面将要学习的sinA，cosA也是这样．

（2）当用三个大写字母表示一个角，并表示它的正切时，角的符号“∠”不能省略，如tan∠BAC。

（3）正切是在直角三角形中定义的，其本质是两条线段长度的比值，它是数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，而与所在的直角三角形的大小无关．

知识点2正切的应用

正切值与梯子倾斜程度之间的关系．

tanA的值越大，梯子越陡．

拓展当梯子的倾斜角确定时，其对边与邻边的比值便随之确定，因此，可以用倾斜角的对边与邻边之比，即倾斜角的正切值来刻画梯子的倾斜程度．

用正切来描述山坡的坡度．

坡角越大，坡度越大，坡面越陡．

拓展工程上，斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示，而坡度是坡角的正切．坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比）．通常坡度用字母i表示．

知识点3正弦和余弦的概念

如图1—2所示，在Rt△ACB中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定．

∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝．

∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝．

拓展

（1）正弦、余弦的概念是类比正切得到的，其本质也是两条线段长度的比值，它只是一个数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关．

（2）在直角三角形中，斜边大于直角边，且各边长均为正数，所以有如下结论：

0

sinA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡．从理论上讲，正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切．

知识点4三角函数的概念

锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数．

拓展在锐角A的三角函数的概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°<∠A<90°，三个比值是因变量．当∠A确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应．

知识点5互余两角的正弦与余弦的关系

如图1—3所示，∠A的对边恰是∠B的邻边，而∠B的对边也恰是∠A的邻边．

∵sinA＝，

cosB＝，

∴sinA＝cosB．同理可得cosA＝sinB，

又∠A十∠B＝90°，即∠B＝90°－∠A，

∴sinA=cos（90°－A）＝cosB，

cosA＝sin（90°－A）＝sinB．

也就是说，任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．

拓展此结论适用于所有两个角互为余角的情况，它们并不一定是同一直角三角形中的两个锐角．

规律方法小结在本节知识的学习中，一定要仔细体会数形结合的思想，掌握数形结合的方法．本节从正切、正弦、余弦的概念的引出到公式的推导，都体现了数形结合的思想方法．对于锐角三角函数的有关概念，应通过画图找出直角三角形中边、角之间的关系，加深对概念的理解．

本节内容是三角函数的基础知识，是全章的重点，也是难点，现将本节知识归纳如下（参照图1—3）:

sinA＝

sinB＝

∠A十∠B＝90°

课堂检测

基本概念题

1、在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则BC：

AC等于（）

A．3：

4B．4：

3

C．3：

5D．4：

5

2、若某人沿坡度i＝3：

4的斜坡前进10m，则他所在的位置比原来的位置升高了m．

基础知识应用题

3、在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．

（1）求AB的长；

（2）求sinA，cosA的值；

（3）求sin2A+cos2A的值；

（4）比较sinA与cosB的大小；

（5）比较tanA与的大小．

综合应用题

4、已知α为锐角，且tanα是方程x2－2x－3＝0的一个根，求tan2a+2tanα+1的值．

5、如图1－8所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AD＝6，BC＝14，S梯形ABCD＝40，求tanB的值．

6、求证：

平行四边形ABCD的面积S＝AB·BC·sinB（∠B为锐角）．

探索与创新题

7、已知a为锐角，且tana＝3，求的值．

8、如图l-12所示，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A′P′B，且

B′P＝2，那么PP′的长为．（不取近似值，以下数值供解题使用：

sinl5°=，cos15°=）

9、在△ABC中，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84．

（1）求tan∠ACB的值；

（2）求sin∠BAC的值．

体验中考

1、如图1－15所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是（）

A．B．

C．D．

2、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=，那么BC的值为（）

A．2B．4C．4D．6

3、如图l-16所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE＝，则河堤的高BE为米．

4、如图1－17所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cosB＝，BC＝26．

（1）求cos∠DAC的值；

（2）求AD的长．

学后反思

附：

课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、┃分析┃根据题意画出图形，如图1-4所示，由正弦的概念可知sinA＝，∴sinA＝，设BC＝3k，AB＝5k，由勾股定理得AC＝＝＝4k，∴BC：

AC＝3k：

4k＝3：

4．故选A.

【解题策略】

（1）本例求BC：

AC的值，实际上就是求∠A的正切值，即tanA．

（2）解此类型题可根据题意画出图形，借助图形帮助分析．

2、┃分析┃如图1—5所示，由坡度的定义可知i＝tanA＝，设BC＝3km，则AC＝4km，由勾股定理得AB＝=5k（m），5k=10所以k=2，所以他所在的位置比原来的位置升高了BC＝3k＝6（m）．故填6．

【解题策略】

（1）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，即坡度是坡角的正切值．

（2）坡度通常用字母i表示．（3）坡度与坡角（用a表示）的关系是i＝tanα．

3、┃分析┃解本题的关键是求出sinA，cosA，cosB，tanA的值，而要求这些锐角的三角函数值，关键在于正确理解正弦、余弦、正切的概念，找准与之相关的边。

解：

（1）∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13．

（2）sinA＝

（3）∵sin2A＝

∴sin2A+cos2A＝＋＝1．

（4）∵cosB＝∴sinA＝cosB．

（5）∵tanA＝，∴tanA＝．

【解题策略】正确运用正弦、余弦、正切的概念是解此类题的关键．

4、┃分析┃利用解一元二次方程的方法解答此题．

解：

解方程x2－2x－3＝0，得xl＝3，x2＝一1．

∵tanα是方程x2－2x一3＝0的一个根，且α为锐角，∴tanα＝3，

∴tan2a+2tana+l＝（tana+1）2＝（3+1）2＝16．

【解题策略】本题应注意：

若a为锐角，则tana>0．

5、┃分析┃要求tanB，应把∠B置于一个直角三角形中，图中没有包含∠B的直角三角形，因此，应通过添加辅助线构造包含∠B的直角三角形．

解：

过A作AE⊥BC于E，∵梯形ABCD是等腰梯形，

∴BE=（BC－AD）=×（14－6）＝4．

∵S梯形ABCD＝（AD十BC）·AE，即40＝·（6十14）·AE，∴AE＝4．

在Rt△AEB中，tanB＝=＝1．

【解题策略】对于梯形与三角函数的综合题，通常利用高线来构造直角三角形，再求锐角三角函数值

6、┃分析┃因为要证的等式中包含sinB，所以想到构造包含∠B的直角三角形，可过A作AE⊥BC于E，借助构造的Rt△AEB来证明．

证明：

如图1－9所示，过A作AE⊥BC于E，

在Rt△AEB中，sinB＝，即AE＝AB·sinB，

∴S□ABCD＝BC·AE＝AB·BC·sinB．

【解题策略】有关等腰三角形、梯形、平行四边形的三角函数问题，常作其高，转化为直角三角形问题来解决．

7、┃分析┃由于a为锐角，且tana已知，可构造包含a的直角三角形，利用三角函数的定义求出sina，cosa的值．本题也可根据同角三角函数的关系tana＝，将所求式子的分子、分母都除以cosa，再代值即可．

解法1：

如图1-11所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A＝a，

∵tana＝=3，∴设AC＝k，则BC＝3k，

∴AB＝

∴sina=

∴

解法2：

∵a为锐角，∴cosa≠0，∴

∵tana＝=3，∴原式==.

【解题策略】掌握各三角函数之间的关系是熟练解题和简便解题的基础，应结合题型灵活运用三角函数之间的关系式．

8、┃分析┃如图1－13所示，连接PP′，过点B作BC⊥PP′，垂足为C．∵∠PBP′＝30°，BP=BP′，∴在Rt△PCB中，∠PBC＝15°，∴PC＝BPsin∠PBC=2×sinl5°＝，∴pp′＝2PC＝.故填．

【解题策略】这是典型的已知等腰三角形的腰和顶角，求底边的问题．这类问题通常都是作底边上的高，利用等腰三角形三线合一的性质，得到两个全等的直角三角形，然后解直角三角形．类似地，还可以转化为已知底边和一角，求腰长或某一角的三角函数值的问题．

9、┃分析┃为了求出tan∠ACB，sin∠BAC的值，应分别构造以∠ACB，∠BAC为内角的直角三角形．

解：

（1）如图1－14所示，过点A作AE⊥BC于E，

则S△ABC=BC·AE，即·14·AE=84，

∴AE＝12．在Rt△AEB中，

BE==9，

∴CE＝BC－BE=14－9＝5，

在Rt△AEC中，tan∠ACE＝．

（2）由

（1）知CE＝5，AE＝12，

在Rt△AEC中，AC＝13，

过点C作CD⊥AB于D，则S△ABC＝AB·CD，

即·15·C