7苏科版初中数学七年级下册专题练习2 探索平行线的性质.docx
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7苏科版初中数学七年级下册专题练习2探索平行线的性质
7.2探索平行线的性质
一.选择题(共7小题)
1.如图,AB∥CD,∠1=30°,则∠2的度数是( )
A.120°B.130°C.150°D.135°
2.如图,AF是∠BAC的平分线,DF∥AC,若∠1=35°,则∠BAF的度数为( )
A.17.5°B.35°C.55°D.70°
3.如图,已知DE∥BC,如果∠1=70°,那么∠B的度数为( )
A.70°B.100°C.110°D.120°
4.如图,直线a∥b,∠1=50°,∠2=30°,则∠3的度数为( )
A.30°B.50°C.80°D.100°
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,DE∥AB,若∠CDE=165°,则∠B的度数为( )
A.15°B.55°C.65°D.75°
6.如图,直线a,b与直线c,d相交,已知∠1=∠2,∠3=110°,则∠4=( )
A.70°B.80°C.110°D.100°
7.直线a、b、c、d的位置如图所示,如果∠1=58°,∠2=58°,∠3=70°,那么∠4等于( )
A.58°B.70°C.110°D.116°
二.解答题(共10小题)
8.如图,AB∥CD,∠1=∠2.求证:
AM∥CN.
9.如图,直线AB∥CD,BC平分∠ABD,∠1=54°,求∠2的度数.
10.如图,AB∥CD,点E是CD上一点,∠AEC=42°,EF平分∠AED交AB于点F,求∠AFE的度数.
11.如图,直线AB,CD分别与直线AC相交于点A,C,与直线BD相交于点B,D.若∠1=∠2,∠3=75°,求∠4的度数.
12.如图,已知EF⊥BC,∠1=∠C,∠2+∠3=180°.试说明直线AD与BC垂直.(请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由).
理由:
∵∠1=∠C,(已知)
∴ ∥ ,( )
∴∠2= .( )
又∵∠2+∠3=180°,(已知)
∴∠3+ =180°.(等量代换)
∴ ∥ ,( )
∴∠ADC=∠EFC.( )
∵EF⊥BC,(已知)
∴∠EFC=90°,∴∠ADC=90°,
∴ ⊥ .
13.完成下列推理过程:
已知:
如图,∠1+∠2=180°,∠3=∠B
求证:
∠EDG+∠DGC=180°
证明:
∵∠1+∠2=180°(已知)
∠1+∠DFE=180°( )
∴∠2= ( )
∴EF∥AB( )
∴∠3= ( )
又∵∠3=∠B(已知)
∴∠B=∠ADE( )
∴DE∥BC( )
∴∠EDG+∠DGC=180°( )
14.已知:
如图,BE∥GF,∠1=∠3,∠DBC=70°,求∠EDB的大小.
阅读下面的解答过程,并填空(理由或数学式)
解:
∵BE∥GF(已知)
∴∠2=∠3( )
∵∠1=∠3( )
∴∠1=( )( )
∴DE∥( )( )
∴∠EDB+∠DBC=180°( )
∴∠EDB=180°﹣∠DBC(等式性质)
∵∠DBC=( )(已知)
∴∠EDB=180°﹣70°=110°
15.如图,∠E=50°,∠BAC=50°,∠D=110°,求∠ABD的度数.
请完善解答过程,并在括号内填写相应的理论依据.
解:
∵∠E=50°,∠BAC=50°,(已知)
∴∠E= (等量代换)
∴ ∥ .( )
∴∠ABD+∠D=180°.( )
∴∠D=110°,(已知)
∴∠ABD=70°.(等式的性质)
16.如图,在四边形ABCD中,E、F分别是CD、AB延长线上的点,连结EF,分别交AD、BC于点G、H.若∠1=∠2,∠A=∠C,试说明AD∥BC和AB∥CD.
请完成下面的推理过程,并填空(理由或数学式):
∵∠1=∠2( )
∠1=∠AGH( )
∴∠2=∠AGH( )
∴AD∥BC( )
∴∠ADE=∠C( )
∵∠A=∠C( )
∴∠ADE=∠A
∴AB∥CD( )
17.如图,直线CD、EF被直线OA、OB所截,∠1+∠2=180°.求证:
∠3=∠4.
参考答案与试题解析
一.选择题(共7小题)
1.如图,AB∥CD,∠1=30°,则∠2的度数是( )
A.120°B.130°C.150°D.135°
【分析】根据平行线的性质,知∠3的度数,再根据邻补角得出∠2=150°.
【解答】解:
∵AB∥CD,∠1=30°,
∴∠3=∠1=30°,
又∵∠3+∠2=180°,
∴∠2=150°,
故选:
C.
【点评】此题考查平行线的性质,关键是能够明确各个角之间的位置关系.熟练运用平行线的性质以及邻补角的性质.
2.如图,AF是∠BAC的平分线,DF∥AC,若∠1=35°,则∠BAF的度数为( )
A.17.5°B.35°C.55°D.70°
【分析】根据两直线平行,同位角相等,可得∠FAC=∠1,再根据角平分线的定义可得∠BAF=∠FAC.
【解答】解:
∵DF∥AC,
∴∠FAC=∠1=35°,
∵AF是∠BAC的平分线,
∴∠BAF=∠FAC=35°,
故选:
B.
【点评】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,熟记平行线的性质是解题的关键.
3.如图,已知DE∥BC,如果∠1=70°,那么∠B的度数为( )
A.70°B.100°C.110°D.120°
【分析】设DE与AB相交于点F,由∠1=70°,可得∠AFE的度数,再根据平行线的性质,即可得到∠B的度数.
【解答】解:
设DE与AB相交于点F,
因为∠1=70°,
所以∠AFE=110°,
因为DE∥BC,
所以∠B=∠AFE=110°,
故选:
C.
【点评】本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:
两直线平行,同位角相等.
4.如图,直线a∥b,∠1=50°,∠2=30°,则∠3的度数为( )
A.30°B.50°C.80°D.100°
【分析】根据平角的定义即可得到∠4的度数,再根据平行线的性质即可得到∠3的度数.
【解答】解:
∵∠1=50°,∠2=30°,
∴∠4=100°,
∵a∥b,
∴∠3=∠4=100°,
故选:
D.
【点评】本题考查平行线的性质,解题的关键是熟练掌握平行线的性质.
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,DE∥AB,若∠CDE=165°,则∠B的度数为( )
A.15°B.55°C.65°D.75°
【分析】利用平角的定义可得∠ADE=15°,再根据平行线的性质知∠A=∠ADE=15°,再由内角和定理可得答案.
【解答】解:
∵∠CDE=165°,
∴∠ADE=15°,
∵DE∥AB,
∴∠A=∠ADE=15°,
∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°.
故选:
D.
【点评】本题考查的是平行线的性质以及三角形内角和定理的运用,解题时注意:
两直线平行,内错角相等.
6.如图,直线a,b与直线c,d相交,已知∠1=∠2,∠3=110°,则∠4=( )
A.70°B.80°C.110°D.100°
【分析】根据同位角相等,两直线平行这一定理可知a∥b,再根据两直线平行,同旁内角互补即可解答.
【解答】解:
∵∠3=∠5=110°,
∵∠1=∠2=58°,
∴a∥b,
∴∠4+∠5=180°,
∴∠4=70°,
故选:
A.
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质,对顶角相等,熟记定理是解题的关键.
7.直线a、b、c、d的位置如图所示,如果∠1=58°,∠2=58°,∠3=70°,那么∠4等于( )
A.58°B.70°C.110°D.116°
【分析】根据同位角相等,两直线平行这一定理可知a∥b,再根据两直线平行,同旁内角互补即可解答.
【解答】解:
∵∠1=∠2=58°,
∴a∥b,
∴∠3+∠5=180°,
即∠5=180°﹣∠3=180°﹣70°=110°,
∴∠4=∠5=110°,
故选:
C.
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质,对顶角相等,熟记定理是解题的关键.
二.解答题(共10小题)
8.如图,AB∥CD,∠1=∠2.求证:
AM∥CN.
【分析】只要证明∠EAM=∠ECN,根据同位角相等两直线平行即可证明;
【解答】证明:
∵AB∥CD,
∴∠EAB=∠ECD,
∵∠1=∠2,
∴∠EAM=∠ECN,
∴AM∥CN.
【点评】本题考查平行线的判定和性质,解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定,属于中考基础题.
9.如图,直线AB∥CD,BC平分∠ABD,∠1=54°,求∠2的度数.
【分析】直接利用平行线的性质得出∠3的度数,再利用角平分线的定义结合平角的定义得出答案.
【解答】解:
∵直线AB∥CD,
∴∠1=∠3
∵∠1=54°,
∴∠3=54°
∵BC平分∠ABD,
∴∠ABD=2∠3=108°,
∵AB∥CD,
∴∠BDC=180°﹣∠ABD=72°,
∴∠2=∠BDC=72°.
【点评】此题主要考查了平行线的性质,正确得出∠3的度数是解题关键.
10.如图,AB∥CD,点E是CD上一点,∠AEC=42°,EF平分∠AED交AB于点F,求∠AFE的度数.
【分析】由平角求出∠AED的度数,由角平分线得出∠DEF的度数,再由平行线的性质即可求出∠AFE的度数.
【解答】解:
∵∠AEC=42°,
∴∠AED=180°﹣∠AEC=138°,
∵EF平分∠AED,
∴∠DEF=
∠AED=69°,
又∵AB∥CD,
∴∠AFE=∠DEF=69°.
【点评】本题考查的是平行线的性质以及角平分线的定义.熟练掌握平行线的性质,求出∠DEF的度数是解决问题的关键.
11.如图,直线AB,CD分别与直线AC相交于点A,C,与直线BD相交于点B,D.若∠1=∠2,∠3=75°,求∠4的度数.
【分析】根据平行线的判定得出AB∥CD,从而得出∠3=∠4,即可得出答案.
【解答】解:
∵∠1=∠2,
∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行),
∴∠4=∠3=75°(两直线平行,内错角相等).
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质,比较简单.
12.如图,已知EF⊥BC,∠1=∠C,∠2+∠3=180°.试说明直线AD与BC垂直.(请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由).
理由:
∵∠1=∠C,(已知)
∴ GD ∥ AC ,( 同位角相等,两直线平行 )
∴∠2= ∠DAC .( 两直线平行,内错角相等 )
又∵∠2+∠3=180°,(已知)
∴∠3+ ∠DAC =180°.(等量代换)
∴ AD ∥ EF ,( 同旁内角互补,两直线平行 )
∴∠ADC=∠EFC.( 两直线平行,同位角相等 )
∵EF⊥BC,(已知)
∴∠EFC=90°,∴∠ADC=90°,
∴ AD ⊥ BC .
【分析】结合图形,根据平行线的判定和性质逐一进行填空即可.
【解答】解:
∵∠1=∠C,(已知)
∴GD∥AC,(同位角相等,两直线平行)
∴∠2=∠DAC.(两直线平行,内错角相等)
又∵∠2+∠3=180°,(已知)
∴∠3+∠DAC=180°.(等量代换)
∴AD∥EF,(同旁内角互补,两直线平行)
∴∠ADC=∠EFC.(两直线平行,同位角相等)
∵EF⊥BC,(已知)
∴∠EFC=90°,
∴∠ADC=90°,
∴AD⊥BC.
故答案为:
GD,AC,同位角相等,两直线平行;∠DAC,两直线平行,内错角相等;∠DAC;AD,EF,同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,同位角相等;AD,BC.
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质,已经垂线的定义,解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用.
13.完成下列推理过程:
已知:
如图,∠1+∠2=180°,∠3=∠B
求证:
∠EDG+∠DGC=180°
证明:
∵∠1+∠2=180°(已知)
∠1+∠DFE=180°( 邻补角定义 )
∴∠2= ∠DFE ( 同角的补角相等 )
∴EF∥AB( 内错角相等,两直线平行 )
∴∠3= ∠ADE ( 两直线平行,内错角相等 )
又∵∠3=∠B(已知)
∴∠B=∠ADE( 等量代换 )
∴DE∥BC( 同位角相等,两直线平行 )
∴∠EDG+∠DGC=180°( 两直线平行,同旁内角互补 )
【分析】依据∠1+∠2=180°,∠1+∠DFE=180°,即可得到∠2=∠DFE,由内错角相等,两直线平行证明EF∥AB,则∠3=∠ADE,再根据∠3=∠B,由同位角相等,两直线平行证明DE∥BC,故可根据两直线平行,同旁内角互补,即可得出结论.
【解答】证明:
∵∠1+∠2=180°(已知)
∠1+∠DFE=180°(邻补角定义)
∴∠2=∠DFE(同角的补角相等)
∴EF∥AB(内错角相等,两直线平行)
∴∠3=∠ADE(两直线平行,内错角相等)
又∵∠3=∠B(已知)
∴∠B=∠ADE(等量代换)
∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行)
∴∠EDG+∠DGC=180°(两直线平行,同旁内角互补)
故答案为:
邻补角定义;∠DFE,同角的补角相等;内错角相等,两直线平行;∠ADE,两直线平行,内错角相等;等量代换;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同旁内角互补.
【点评】此题考查平行线的性质和判定.正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.
14.已知:
如图,BE∥GF,∠1=∠3,∠DBC=70°,求∠EDB的大小.
阅读下面的解答过程,并填空(理由或数学式)
解:
∵BE∥GF(已知)
∴∠2=∠3( 两直线平行同位角相等 )
∵∠1=∠3( 已知 )
∴∠1=( ∠2 )( 等量代换 )
∴DE∥( BC )( 内错角相等两直线平行 )
∴∠EDB+∠DBC=180°( 两直线平行同旁内角互补 )
∴∠EDB=180°﹣∠DBC(等式性质)
∵∠DBC=( 70° )(已知)
∴∠EDB=180°﹣70°=110°
【分析】利用平行线的性质和判定即可解决问题;
【解答】解:
∵BE∥GF(已知),
∴∠2=∠3(两直线平行同位角相等),
∵∠1=∠3(已知),
∴∠1=∠2(等量代换),
∴DE∥BC(内错角相等两直线平行),
∴∠EDB+∠DBC=180°(两直线平行同旁内角互补),
∴∠EDB=180°﹣∠DBC(等式性质),
∵∠DBC=70°(已知),
∴∠EDB=180°﹣70°=110°.
故答案为:
两直线平行同位角相等,已知,∠2,等量代换,BC,内错角相等两直线平行,两直线平行同旁内角互补,70;
【点评】本题考查平行线的判定和性质,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
15.如图,∠E=50°,∠BAC=50°,∠D=110°,求∠ABD的度数.
请完善解答过程,并在括号内填写相应的理论依据.
解:
∵∠E=50°,∠BAC=50°,(已知)
∴∠E= ∠BAC (等量代换)
∴ AB ∥ DE .( (同位角相等两直线平行 )
∴∠ABD+∠D=180°.( 两直线判定同旁内角互补 )
∴∠D=110°,(已知)
∴∠ABD=70°.(等式的性质)
【分析】利用平行线的性质和判定即可解决问题;
【解答】解:
∵∠E=50°,∠BAC=50°,(已知)
∴∠E=∠BAC(等量代换)
∴AB∥DE.(同位角相等,两直线平行)
∴∠ABD+∠D=180°.(两直线平行,旁内角互补)
∴∠D=110°,(已知)
∴∠ABD=70°.(等式的性质)
故答案为:
∠BAC,AB,DE,同位角相等,两直线平行,两直线平行,同旁内角互补,
【点评】本题考查平行线的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
16.如图,在四边形ABCD中,E、F分别是CD、AB延长线上的点,连结EF,分别交AD、BC于点G、H.若∠1=∠2,∠A=∠C,试说明AD∥BC和AB∥CD.
请完成下面的推理过程,并填空(理由或数学式):
∵∠1=∠2( 已知 )
∠1=∠AGH( 对顶角相等 )
∴∠2=∠AGH( 等量代换 )
∴AD∥BC( 同位角相等,两直线平行 )
∴∠ADE=∠C( 两直线平行,同位角相等 )
∵∠A=∠C( 已知 )
∴∠ADE=∠A
∴AB∥CD( 内错角相等,两直线平行 )
【分析】先根据同位角相等,两直线平行,判定AD∥BC,进而得到∠ADE=∠C,再根据内错角相等,两直线平行,即可得到AB∥CD.
【解答】证明:
∵∠1=∠2(已知)
∠1=∠AGH(对顶角相等)
∴∠2=∠AGH(等量代换)
∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行)
∴∠ADE=∠C(两直线平行,同位角相等)
∵∠A=∠C(已知)
∴∠ADE=∠A
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
故答案为:
已知;对顶角相等;等量代换;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等;已知;内错角相等,两直线平行.
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质,解题时注意:
平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系;平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.
17.如图,直线CD、EF被直线OA、OB所截,∠1+∠2=180°.求证:
∠3=∠4.
【分析】根据等量代换和对顶角的定义求得∠1+∠5=180°,则“同旁内角互补,两直线平行”,即CD∥EF,故“两直线平行,同位角相等”:
∠3=∠4.
【解答】证明:
∵∠2与∠5是对顶角,
∴∠2=∠5,
∵∠1+∠2=180°,
∴∠1+∠5=180°,
∴CD∥EF,
∴∠3=∠4.
【点评】本题考查了平行线的判定与性质.解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用.
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