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交集与并集
交集与并集
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自主学习
.理解并集、交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
2.体验通过实例的分析和阅读来自学探究集合间的关系与运算的过程,培养学生的自学阅读能力和自主探究能力.
3.能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.
.一般地,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作A∩B,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2.一般地,由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3.A∩A=__A__,A∪A=__A__,A∩∅=__∅__,A∪∅=A.
4.若A⊆B,则A∩B=__A__,A∪B=__B__.
5.A∩B⊆A,A∩B⊆B,A⊆A∪B,A∩B⊆A∪B.
对点讲练
求两个集合的
【例1】求下列两个集合的并集和交集.
A={1,2,3,4,5},B={-1,0,1,2,3};
A={x|x<-2},B={x|x>-5}.
解 如图所示,A∪B={-1,0,1,2,3,4,5},
A∩B={1,2,3}.
结合数轴得:
A∪B=R,A∩B={x|-5<x<-2}.
规律方法 求两个集合的交集、并集依据它们的定义,借用Venn图或结合数轴分析两个集合的元素的分布情况,有利于准确写出交集、并集.
变式迁移1若集合A={x|x>-1},B={x|-2<x<2},则A∪B等于
A.{x|x>-2}
B.{x|x>-1}
c.{x|-2<x<-1}
D.{x|-1<x<2}
若将中A改为A={x|x>a},求A∪B,A∩B.
答案 A
解析 画出数轴,故A∪B={x|x>-2}.
解 如图所示,
当a<-2时,A∪B=A,A∩B={x|-2<x<2};
当-2≤a<2时,A∪B={x|x>-2},A∩B={x|a<x<2};
当a≥2时,A∪B={x|-2<x<2或x>a},A∩B=∅.
已知集合的交集、并集求参数
【例2】已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5}.
若A∩B=∅,求a的取值范围;
若A∪B=R,求a的取值范围.
解 由A∩B=∅,
①若A=∅,有2a>a+3,
∴a>3.
②若A≠∅,如图:
∴2a≥-1a+3≤52a≤a+3,解得-12≤a≤2.
综上所述,a的取值范围是{a|-12≤a≤2或a>3}.
由A∪B=R,如图所示,
∴2a≤-1a+3≥5,解得a∈∅.
规律方法 出现交集为空集的情形,应首先考虑集合中有没有空集,即分类讨论.其次,与不等式有关的集合的交、并运算中,数轴分析法直观清晰,应重点考虑.
变式迁移2已知集合A={x|2<x<4},B={x|a<x<3a}.
若A∩B=∅,试求a的取值范围;
若A∩B={x|3<x<4},试求a的取值范围.
解 如图,有两类情况,一类是B≠∅⇒a>0.
此时,又分两种情况:
①B在A的左边,如图B所示;
②B在A的右边,如图B′所示.
B或B′位置均使A∩B=∅成立,
即3a≤2或a≥4,解得0<a≤23,或a≥4.
另一类是B=∅,即a≤0时,显然A∩B=∅成立.
综上所述,a的取值范围是{a|a≤23,或a≥4}.
因为A={x|2<x<4},A∩B={x|3<x<4},
如图所示:
集合B若要符合题意,显然有a=3,此时B={x|3<x<9},所以a=3为所求.
交集、并集性质的运用
【例3】已知集合A={x|1<ax<2},B={x||x|<1},且满足A∪B=B,求实数a的取值范围.
解 ∵A∪B=B,
∴A⊆B.
当a=0时,A=∅,满足A⊆B.
当a>0时,A=x|1a<x<2a.
∵A⊆B,∴1a≥-12a≤1
∴a≥2.
当a<0时,A=x|2a<x<1a.
∵A⊆B,∴2a≥-11a≤1
∴a≤-2.
综合知,a的取值范围是
{a|a≤-2或a=0或a≥2}.
规律方法 明确A∩B=B和A∪B=B的含义,根据问题的需要,将A∩B=B和A∪B=B转化为等价的关系式B⊆A和A⊆B是解决本题的关键.另外在B⊆A时易忽视B=∅时的情况.
变式迁移3设集合A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R},若A∩B=B,求a的值.
解 ∵A∩B=B,∴B⊆A.
∵A={-2}≠∅,
∴B=∅或B≠∅.
当B=∅时,
方程ax+1=0无解,此时a=0.
当B≠∅时,
此时a≠0,则B={-1a},
∴-1a∈A,
即有-1a=-2,得a=12.
综上,得a=0或a=12.
.A∪B的定义中“或”的意义与通常所说的“非此即彼”有原则的区别,它们是“相容”的.求A∪B时,相同的元素在集合中只出现一次.
2.A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=B⇔A⊆B,这两个性质非常重要.另外,在解决有条件A⊆B的集合问题时,不要忽视A=∅的情况.
课时作业
一、选择题
.设集合A={x|-5≤x<1},B={x|x≤2},则A∩B等于
A.{x|-5≤x<1}
B.{x|-5≤x≤2}
c.{x|x<1}
D.{x|x≤2}
答案 A
2.下列四个推理:
①a∈⇒a∈A;②a∈⇒a∈;③A⊆B⇒A∪B=B;④A∪B=A⇒A∩B=B.其中正确的是
A.1
B.2
c.3
D.4
答案 c
解析 ②③④正确.
3.设A={x|1≤x≤3},B={x|x<0或x≥2},则A∪B等于
A.{x|x<0或x≥1}
B.{x|x<0或x≥3}
c.{x|x<0或x≥2}
D.{x|2≤x≤3}
答案 A
解析 结合数轴知A∪B={x|x<0或x≥1}.
4.已知A={x|x≤-1或x≥3},B={x|a<x<4},若A∪B=R,则实数a的取值范围是
A.3≤a<4
B.-1<a<4
c.a≤-1
D.a<-1
答案 c
5.满足条件m∪{1}={1,2,3}的集合m的个数是
A.1
B.2
c.3
D.4
答案 B
二、填空题
6.已知A={|x+y=3},B={|x-y=1},则A∩B=________.答案 {}
7.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x≤a},若A∩B≠∅,则实数a的取值范围为________.
答案 a≥-1
8.已知集合A={x|x<1或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则2a-b=________.
答案 -4
解析 如图所示,
可知a=1,b=6,2a-b=-4.
三、解答题
9.已知集合A={1,3,5},B={1,2,x2-1},若A∪B={1,2,3,5},求x及A∩B.
解 ∵B⊆,∴x2-1∈A∪B.
∴x2-1=3或x2-1=5.解得x=±2或x=±6.
若x2-1=3,则A∩B={1,3}.
若x2-1=5,则A∩B={1,5}.
0.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-4x+a=0},若A∪B=A,求实数a的取值范围.
解 A={1,2},∵A∪B=A,
∴B⊆A,集合B有两种情况,B=∅或B≠∅.
B=∅时,方程x2-4x+a=0无实数根,
∴Δ=16-4a<0,∴a>4.
B≠∅时,当Δ=0时,
a=4,B={2}⊆A满足条件;
当Δ>0时,若1,2是方程x2-4x+a=0的根,
由根与系数的关系知矛盾,无解,∴a=4.
综上,a的取值范围是a≥4.
探究驿站
1.求满足P∪Q={1,2}的集合P,Q共有多少组?
解 可采用列举法:
当P=∅时,Q={1,2};
当P={1}时,Q={2},{1,2};
当P={2}时,Q={1},{1,2};
当P={1,2}时,Q=∅,{1},{2},{1,2},
∴一共有9组.
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