邻接矩阵表示图深度广度优先遍历.docx
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邻接矩阵表示图深度广度优先遍历
*问题描述:
建立图的存储结构(图的类型可以是有向图、无向图、有向网、无向网,学生可以任选两种类型),能够输入图的顶点和边的信息,并存储到相应存储结构中,而后输出图的邻接矩阵。
1、邻接矩阵表示法:
设G=(V,E)是一个图,其中V={V1,V2,V3…,Vn}。
G的邻接矩阵是一个他有下述性质的n阶方阵:
1,若(Vi,Vj)∈E或
A[i,j]={
1,反之
图5-2中有向图G1和无向图G2的邻接矩阵分别为M1和M2:
M1=┌0101┐
│1010│
│1001│
└0000┘
M2=┌0111┐
│1010│
│1101│
└1010┘
注意无向图的邻接是一个对称矩阵,例如M2。
用邻接矩阵表示法来表示一个具有n个顶点的图时,除了用邻接矩阵中的n*n个元素存储顶点间相邻关系外,往往还需要另设一个向量存储n个顶点的信息。
因此其类型定义如下:
VertexTypevertex[MAX_VERTEX_NUM];//顶点向量
AdjMatrixarcs;//邻接矩阵
intvexnum,arcnum;//图的当前顶点数和弧(边)数
GraphKindkind;//图的种类标志
若图中每个顶点只含一个编号i(1≤i≤vnum),则只需一个二维数组表示图的邻接矩阵。
此时存储结构可简单说明如下:
typeadjmatrix=array[1..vnum,1..vnum]ofadj;
利用邻接矩阵很容易判定任意两个顶点之间是否有边(或弧)相联,并容易求得各个顶点的度。
对于无向图,顶点Vi的度是邻接矩阵中第i行元素之和,即
n n
D(Vi)=∑A[i,j] (或∑A[i,j])
j=1 i=1
对于有向图,顶点Vi的出度OD(Vi)为邻接矩阵第i行元素之和,顶点Vi的入度ID(Vi)为第i列元素之和。
即
n n
OD(Vi)=∑A[i,j],OD(Vi)=∑A[j,i])
j=1 j=1
用邻接矩阵也可以表示带权图,只要令
Wij,若
A[i,j]={
∞,否则。
其中Wij为
相应地,网的邻接矩阵表示的类型定义应作如下的修改:
adj:
weightype;{weightype为权类型}
图5-6列出一个网和它的邻接矩阵。
┌∞31∞∞┐
│∞∞51∞│
│∞∞∞∞∞│
│∞∞6∞∞│
└∞322∞┘
(a)网(b)邻接矩阵
图5-6网及其邻接矩阵
对无向图或无向网络,由于其邻接矩阵是对称的,故可采用压缩存贮的方法,仅存贮下三角或上三角中的元素(但不含对角线上的元素)即可。
显然,邻接矩阵表示法的空间复杂度O(
)。
无向网邻接矩阵的建立方法是:
首先将矩阵A的每个元素都初始化成∞。
然后,读入边及权值(i,j,wij),将A的相应元素置成Wij。
2、图的遍历:
*深度优先搜索
深度优先搜索遍历类似于树的先根遍历,是树的先根遍历的推广。
假设初始状态是图中所有的顶点未曾被访问,则深度优先遍历可从图的某个顶点V出发,访问此顶点,然后依次从V的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图,直至图中所有和V有路径相通的顶点都被访问到;若此时图中尚有顶点未被访问,则另选图中的一个未被访问的顶点,重复上述过程,直至图中所有顶点都被访问到为止。
以图7.13(a)中无向图G4为例,深度优先遍历图的过程如图7.13(b)所示。
假设从顶点V1出发进行搜索,在访问了顶点V1后,选择邻接点V2。
因为V2未曾访问,则从V2出发进行搜索。
依次类推,接着从V4,V8,V5出发进行搜索。
在访问了V5之后,由于V5的邻接点已都被访问,则搜索回到V8。
由于同样的理由,搜索继续回到V4,V2直至V1,此时由于V1的另一个邻接点为被访问,则搜索又从V1到V3,再继续进行下去。
由此得到顶点的访问序列为:
V1V2V4V8V5V3V6V7
显然,这是一个递归的过程。
为了在遍历过程中便于区别顶点是否已被访问,需附设访问标志数组visted[0...n-1],其初值为0,一但某个顶点被访问,则其相应的分量置为1。
*广度优先搜索
假设从图中某顶点v出发,在访问了v之后一次访问v的各个未曾访问的扩大邻接点,然后分别从这些邻接点出发依次访问他们的邻接点,并使“先被访问的邻接点”先于“后被访问的邻接点”被访问,直至图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到。
若图中尚有顶点未被访问,则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点,重复上述过程,直到图中的顶点都被访问为止。
换句话说,广度优先遍历图的过程就是以v为起始点,有远至近,依次访问和v有路径相通且路径长度为1、2……的顶点。
例如,对图G4进行广度优先搜索遍历的过程如图7.13(3)所示,首先访问v1和v1的邻接点v2和v3,然后依次访问v2的邻接点v4和v5及v3的邻接点v6和v7,最后访问v4的邻接点v8。
由于这些顶点的邻接点均已被访问,并且图中所有顶点都被访问,由此完成了图的遍历。
得到的顶点访问序列为
V1V2V3V4V5V6V7V8
和深度优先搜索类似,在遍历的过程中也需要一个访问标志数组。
并且,为了顺次访问路径长度为2、3、…的顶点,需附设队列以存储已被访问的路径长度为1、2…的顶点。
2、图的输出
图的邻接矩阵是一个二维数组,运用for语句的嵌套依次输出。
Y
N
Y
NY
N主程序流程图
Y
N
图的构造流程图
1、无向图邻接矩阵的建立算法如下:
procedurebuild-graph;{建立无向图的邻接矩阵}
begin
fori:
=1tondoread(G.vertex[i]);{读入n个顶点的信息}
fori:
=1tondo
forj:
=1toedo
G.arcs[i][j]=0;
{将邻接矩阵的每个元素初始化成0}
fork:
=1toedo{e为边的数目}
[read(i,j,w){读入边和权}G.arcs[i][j]:
=w]
G.arcs[i][j]=G.arcs[i][i]{置对称弧}
end;
该算法的执行时间是O(n+n2+e),其中消耗在邻接矩阵初始化操作上的时间是O(n2),而e 2、无向网邻接矩阵的建立算法如下: procedurebuild-graph;{建立无向网的邻接矩阵} begin fori: =1tondoread(G.vertex[i]);{读入n个顶点的信息} fori: =1tondo forj: =1toedo G.arcs[i][j]=maxint; {将邻接矩阵的每个元素初始化成maxint,计算机内∞用最大事数maxint表示} fork: =1toedo{e为边的数目} [read(i,j,w){读入边和权}G.arcs[i][j]: =w;G.arcs[i][j]: =w]end; 该算法的执行时间是O(n+n2+e),其中消耗在邻接矩阵初始化操作上的时间是O(n2),而e 3、图的深度优先遍历算法分析 begin fori: =1tondo(visited[i]){初始化标志数组} while(i {for: i=1tondo{按要求访问邻接点}} end 当用二维数组表示邻接矩阵作图的存储结构时,查找每个顶点的邻接点所需时间为O(n2),其中n为图中顶点数。 4、图的广度优先遍历算法分析 begin fori: =1tondo(visited[i]){初始化标志数组} while(i {for: i=1tondo{if…..if…..}} end 二维数组表示邻接矩阵作图的存储结构,其中n为图中顶点数,查找每个顶点的邻接点所需时间为O(n2)。 #include #include #include #include #include #defineERROR0 #defineOK1 #defineMAX_VERTEX_NUM20//定义最大值 #defineINFINITY32768//定义极大值 #defineMAX_INFO20 typedefintVrType;//定义新的类型 typedefintInfoType; typedefcharVertexType; typedefenum {DG,DN,UDG,UDN}GraphKind;//有向图,有向网,无向图,无向网 typedefstructArcCell {//邻接矩阵表示法的各个数据结构 VrTypeadj;//顶点关系类型。 对无权图,用或表示相邻否;对带权图,则为权值类型。 InfoType*info;//该弧相关信息的指针 }ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; typedefstruct { VertexTypevertex[MAX_VERTEX_NUM];//顶点向量 AdjMatrixarcs;//邻接矩阵 intvexnum,arcnum;//图的当前顶点数和弧(边)数 GraphKindkind;//图的种类标志 }MGraph; typedefstruct {//设置栈 intelem1[MAX_VERTEX_NUM]; inttop; }SeqStack; intLocateVertex(MGraphG,VertexTypev); voidCreateUDG(MGraph&G); voidCreateUDN(MGraph&G); voidDepthFirstSearch1(MGraphG); voidBreadthFirstSearch1(MGraphG); intCreateGraph(MGraph&G); voidDisplay(MGraphG); /*Graph.cpp*/ intLocateVertex(MGraphG,VertexTypev) {//用于返回输弧端点所表示的数值 intj=0,k; for(k=0;k if(G.vertex[k]==v) {j=k;break;} return(j); } voidCreateUDG(MGraph&G) {//采用数组(邻接矩阵)表示法,构造无向图 inti,j,k,IncInfo; //i,j,k为计数器,IncInfo为标志符 charch;//用于吃掉多余的字符 VertexTypev1,v2;//用于放置输入的弧的两个顶点 printf("请输入无向图G的顶点数,边数,弧是否含相关信息(是: ,否: ): \n"); scanf("%d,%d,%d",&G.vexnum,&G.arcnum,&IncInfo); ch=getchar();//用于吃掉回车 printf("请输入%d个顶点的值(1个字符,空格隔开): \n",G.vexnum); for(i=0;i { scanf("%c",&G.vertex[i]);ch=getchar(); } printf("请输入%d条边的顶点顶点(以空格作为间隔): \n",G.arcnum); for(i=0;i for(j=0;j { G.arcs[i][j].adj=0; G.arcs[i][j].info=NULL;//{adj,info} } for(k=0;k { scanf("%c%c",&v1,&v2); ch=getchar();//ch吃掉回车符 i=LocateVertex(G,v1);j=LocateVertex(G,v2); if(IncInfo)scanf("%d",&G.arcs[i][j].info); G.arcs[i][j].adj=G.arcs[j][i].adj=1;//置 } }//CreateUDG voidCreateUDN(MGraph&G) {//采用数组(邻接矩阵)表示法,构造无向网 inti,j,k,w,IncInfo; //i,j,k为计数器,w用于放置权值,IncInfo为标志符 charch;//用于吃掉多余的字符 VertexTypev1,v2;//用于放置输入的弧的两个顶点 printf("请输入无向图G的顶点数,边数,弧是否含相关信息(是: ,否: ): \n"); scanf("%d,%d,%d",&G.vexnum,&G.arcnum,&IncInfo); ch=getchar();//用于吃掉回车 printf("请输入%d个顶点的值(1个字符,空格隔开): \n",G.vexnum); for(i=0;i { scanf("%c",&G.vertex[i]);ch=getchar(); } printf("请输入%d条边的顶点顶点(以空格作为间隔): \n",G.arcnum); for(i=0;i for(j=0;j { G.arcs[i][j].adj=0; G.arcs[i][j].info=NULL;//{adj,info} } for(k=0;k { scanf("%c%c",&v1,&v2); ch=getchar();//ch吃掉回车符 printf("请输入该边的权值: "); scanf("%d",&w); ch=getchar(); i=LocateVertex(G,v1); j=LocateVertex(G,v2); G.arcs[i][j].adj=w; if(IncInfo)scanf("%d",&G.arcs[i][j].info); G.arcs[i][j]=G.arcs[j][i];//置 } }//CreateUDN voidDepthFirstSearch1(MGraphG) {//无向图、无向网深度优先遍历 inti,j,k,visited[20],t=1,a=1;//i,j,k为计数器,visited[20]为标志符用于表示是否已经访问过 SeqStackp; for(i=0;i visited[i]=0; visited[0]=1;//规定以第一个字符开始遍历 printf("深度优先遍历开始: \n"); k=0;i=0; printf("%c",G.vertex[0]); while(i {//不断以行循环在遇到符合条件时打印,每打印出一个就让t加,把合适的值用栈来表示,把指针指向新的项 for(j=0;j { if(G.arcs[i][j].adj! =0&&G.arcs[i][j].adj! =INFINITY&&visited[j]==0) { printf("%c",G.vertex[j]); visited[j]=1; p.elem1[k]=i; p.top=k; k++;i++;a++;t++; break; } } if(j==G.vexnum) {//当在某一行无法找到合适值时,输出栈内的值,返回上一行重新开始循环 i=p.elem1[p.top]; p.top--; k--; } if(t==G.vexnum)break;//当全部的定点都打印出来了就退出循环 } printf("\n"); } voidBreadthFirstSearch1(MGraphG) {//无向图、无向网广度优先遍历 inti,j,k,visited[20],t=1;//i,j为计数器,visited[20]为标志符用于表示是否已经访问过 SeqStackp; for(i=0;i visited[i]=0; visited[0]=1;//规定以第一个字符开始遍历 printf("广度优先遍历开始: \n"); k=0;i=0; printf("%c",G.vertex[0]); while(i { for(j=0;j { if(G.arcs[i][j].adj! =0&&G.arcs[i][j].adj! =INFINITY&&visited[j]==0) { printf("%c",G.vertex[j]); visited[j]=1; p.elem1[k]=i; p.top=k; k++; t++; } } i++;//换行,重新开始循环 if(t==G.vexnum)break; } printf("\n"); } intCreateGraph(MGraph&G) {//构造图 printf("请输入要构造的图的类型(有向图: 0,有向网: 1,无向图: 2,无向网: 3): \n"); scanf("%d",&G.kind); switch(G.kind) { case2: CreateUDG(G);break; case3: CreateUDN(G);break; default: returnERROR; } }//CreateGraph voidDisplay(MGraphG) {//输出图的邻接矩阵 inti,j; printf("该图的邻接矩阵为: \n"); for(i=0;i {for(j=0;j { printf("%d",G.arcs[i][j].adj); } printf("\n"); } } /*main.cpp*/ voidmain() { inti; MGraphG; CreateGraph(G); DepthFirstSearch1(G); BreadthFirstSearch1(G); Display(G); scanf("%d",&i); } 1、程序开始运行时输出: 请输入要构造的图的类型(有向图: 0,有向网: 1,无向图: 2,无向网: 3): 为了测试输入为: 2 显示: 请输入无向图G的顶点数: 输入: 5 显示: 请输入无向图G的边数: 输入: 6 显示: 请输入无向图G的弧是否含相关信息(是: 1,否: 0): 输入: 0 显示: 请输入5个顶点的值(1个字符,空格隔开): 输入: 12345 显示: 请输入%d条边的顶点1顶点2(以空格作为间隔): 输入: 121423253435 显示: 深度优先遍历开始: 12345 广度优先遍历开始: 12435 该图的邻接矩阵为: 01010 10101 01011 10100 01100 请输入任意键退出 2、程序运行结果如图:
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