勾股定理证明方法及习题全解.docx
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勾股定理证明方法及习题全解
【证法1](课本的证明〉
ab
ab
C.G、D三点在一条直线上.
做8个全等的宜角三角形.设它们的两条直角边长分別为」b・斜边长为c・再做三个边长分别为黑b.c的正方形.把它们像上图那样拼成衲个正方形.
从图上可以石到・这两个正方形的边K都是a*b.所以向积相等•即
a2+/>'+4x—aZ>=c*+4x—/>»>
22•整理得al^b^u2.
【证法2】(邹元治证明)
以a、b为左角边.以c为料边做四个金等的逍角三角形.则每个£1角三介
—cib
形的血枳等丁•2•把这四个直角三角形拼成如图所示形状•便A、E.B三点
在一条去线上,B.F、C三点在一条直线上.
•:
RtAHAE仝RtAEBF,
•••ZAHE=ZBEF.
•:
ZAEH+ZAHE=90°f
:
.ZAEH+ZBEF=90°.
•••ZHEF=180°-90°^90°・
•••四边形EF(iH是一个边长为c的
正方形•它的面积等于上
•:
RtAGDH也RlAHAE,
•••ZHGD=ZEHA.
VZHGD+ZGHD=90u,
:
.ZEIIA4-ZGHD-90u.
乂•••ZGHE=90Mt
•••ZDHA=90°+90°=180u.
•••ABCD是-个边长为a+b的止力•形,它的血枳等丁("+疔・
【证法3】(赵爽证明)
以a、b为◎角边(b>a),以c为斜边作四个全等的立角三角形,则每个n角
丄血
三角形的而积筲于宁'•把这以|个也角三角形拼成如图所示形状.
•・・RtADAH竺RtAABE,
・•・ZHDA=ZEAB.
•・•ZHAD+ZHAD=9(T,
:
.ZEAB+ZHAD=90°,
・•・ABCD是一个边氏为c的正方形,
•・・EF=FG=GH=HE=b-a,ZHEF=90°・
它的Iftl积等于&
•••EFGH是一个边长为b-a的正方形.它的面积等于仏厂
4x-ab+(h-a)2=c2
*•2
【证法4](1876年美国总统Garfield证明)
以a、b为直角边,以c为斜边作两个全等的百角三角形.则每个W角三角
它的面积等于討
XVZDAE=90°rZEBC=90°,•••AD〃BC.
它的面积等于2
:
•ABCD是一个直角梯形,
【证法5】(梅文鼎证明)
做叫个金筲的宜允三角形・设它们的两条F[角边氏分别为;Kb•斜边K为c.把它们拼成如图那样的一个£边形.便6E.F在一条宜壮・过C作AC的延长线交DF于点P.
VIXE.F在一条EL线上ILR2GEFQk'EIHX
:
.ZEGF=ZBED.
IZEGF>ZGEF・9(r•:
.ZBED+ZGEF"(T•:
.ZBEG=lWa-90°=90D.
又丁AB=BE=EG=GA=c.
:
.AREG是-个边Sc的正方形.
:
.ZABC+ZCBE=90°.
VRiAABC耳RtAEBD,:
.ZABC=ZEBD.
:
.ZEBD+ZCBE90°.
即ZCBD=90\
乂INBDE=*)JZBCP=W・
BC-BDr
:
•BDPC是一个边长为a的正方形.
同理•HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBF的血积为S•则
a2十“’«S+2x—
F作FN丄PQ・垂足为N・
•/ZBCA=90°,QP〃BC・
:
.ZMPC=90°.
VBM1PQ,
:
.ZBMP-W.
:
.BCPM是一个矩形.B|IZMBC=9(r.
•/NQBM4ZMBA-ZQBA•90°.NABC+ZMBA=NMBC=90\
:
.ZQBM-ZABC.
乂I上BMP二90°・・BCA二90°.BQ二BA二“
【证法7】(欧几里得证明)
做三个边长分别为狙b.c的正方形.把它们拼应如闺所示形状.便lhC、
H三点在一条自线上・连结
BF.CD.过C作CL丄DE.交ABT点M交DE于点L
IAF=AC.AR=AD.ZEAB=NGAD.
afab丝agad.
丄/
•••AFAB的面积等于2•
AGAD的面积等弓矩形ADIA1
風理町证.矩形MLEB的面枳」
・・•正方形ADEB的面积
=矩形ADLM的面枳+矩形MLEB的面枳
BC的出ft分別为3、b-斜边AB泊
【证法«](利用相似三介形性质证明)如图,在R2ABC中.设直角边AC、K为c・过戍C作CD丄AB.碼足足D.
在^ADC和dACB屮・
VNADC=ZACB=W.ZCAD-ZBAC.
AADCsAACB・
AD:
AC=AC:
AR・
即AC1=肋•肋.
同理可证.ACDB5AACB.从而冇BC‘=BD・AB.
:
.4阳=(初肿2.即宀V
【证法9】(杨作玫证明)
做两个全等的直和三角形.设它们的两条•育加边长分别为叭b
F,AF史2)T」R.过B作BP丄AF・爭足为P.过D作DE与CB的if长饯■[•乘足为E.D巨交AF于H.
•:
ZBAD■刈•ZPAC-90".
■;ZDAH=ZBAC.
XVZDHA=W°.ZBCA=90°.AD=AB=c.
•;Rt»DHA旦Rt&BC人
.7DH=BC=a.AH=AC=b.山作法wJllhPBCA是一个矩形.蔺以RtAAPB也RtABCA•即PB=CA=b・AP=a・从而PH=b~a.
VRl'DGT£Rl^BCA.RtADHAWRtABCA・
•:
R(XDGT也Rl'DHA.
•;DH=DG=a・ZGDT=ZHDA.乂TZDGT-90仁ZDHF-9T.
ZGDH-ZGDT+ZTDH=ZHDA-bZTDH=90°.
•:
DGFH衆一个边K为Q的正力形.
•:
GF=FH=a・TF丄AF・TF=GT-GF=b-a.
•••TFPB<一个直角梯形,上底TF-b-a.下底BP・b,高FP-a+-(b-a).用数字表示面积的编号(如图人則以c为边长的正方形的丙积为
员+S]+/=丄[/>+(/>+(厶_t/)]I,_丄皿
•:
2=2
=SM+Sy
把②代入①.得
C-=Sg+aVj+—S|—S”+4Sy
=b'+52+5^=沪
【证法汕】(李俛证明)
设点角三角形两直角边的长分别为a.b(bi斜边的长为C•做三个边长分别为a.b.c的正方形.祀1它们拼成如图所示形状.使A.E、G三点在一条fl线上.用数字衣示而积的编号(如图》•
•••ZTBE・ZABI19V%
:
.ZTBH=ZABE.乂丁ZBTII-ZBEA二90°.
BT=BE=b・
:
.RtAHBT也ABE.
:
.HT=AE=x
:
.GH=GT-HT=b-a.又IZGHF+ZBHT=90°.
ZDBC+ZBHT=ZTBH+ZBHT«90°,ZGHF=ZDBC.
IDB=EB—ED=b-a.
ZHGF=ZBDC=90°.
过Q作QM丄AG・爭足是M・由ZBAQ=ZBEA=90°.町知ZABEZQAM・而AB-AQ-c.所以RlAABE幻R(AQAM.又RfMfBT也
RtaABE.所以RtAHBT幻RtAQAM•即几話.
tbRtAABE9RtAQAM.乂得QM=AE=a.ZAQM=ZBAE.
IZAQM+ZFQM■90°•ZBAE卜ZCAR■9tT•ZAQM-ZBAE•:
.ZFQM»ZCAR.
乂IZQMF-ZARC-900・QM・AR・a・
:
.RtAQMF也RtAARC.即山■久.
••=/]丰丰4-d*=S、+h'=5>|+S7+Sj
XV4=6,S*=5$,S_,=S°,
•:
宀2
=S]♦S.+十S?
+5^
即f
[证祛11](利用切别线定理证明)
在RtAABCttn/fl边RC二a・AC=b.料边AR二c•如图.以R为岡心a为半径作回・交AB及AB的延K线分别】L>、E・则BD=BE=BL=a.W为ZBCA=9a1.点C在OB匕•所以AC是OR的切线•由切割线定理.科
AC2+E・AD
丄B+BE'HB-BD)
=/-/,
|I|Ib2
“‘+6’=c2.
【证法12】(利用多列米定理证明)
衣RtAABC中・设11角边BC=a・AC=b•斜边AR=c(jfllffl).过点人作AD〃CP・过点B作BD〃CA・则ACBD为处形.矩彤ACBD内按J;个圆.根抵形列米定理•岡内按叫边形对角线的乘积等J两对边乘积z和.刊
加•DC—肚+/(>〃〃•
VAB-DC-CwAD-BC-a.
AC=BD=b・
AAHZBC2ACZ.upC2=a2+/>2.
•••d2^b2^c2・
【证法13】(作直角三角形的内切圆证明》
KRtAABC.设『I角边B€=a.AC=b.斜边AB=c・作R—'ABC的内切呦(DO・切点分别为D、E・V设®O^t径为匕
•/AE=AF.BF=RD・CD=CE・
:
.JC+5C-JB=(JE+CE)+(BD+CD)-(dF+IfF)
■CE+CD=「十]•■2r,
HP
•:
a4-6=2r4-ce
.・.(a+^)J=(2r+c)\
即a"十十2cib=4(r2+rc)+
...九“詁血,
.:
2必工4几杖,
c*.c,c-cr^-ar+丄〃尸丄(&+〃+
》■
又T九ach*咖44»心・=222=2
i(2r+c*c>
=2=r+rc\,
...4(宀小侶w.
二4(r34-rr)=lab.
.;a•+*2cb=2a/>+c'.:
.a*-4-/>2=f*t
【证法14](利用反证法证明)
如国,在RtAABC中.KtHHl边AC、RC的f度分别为乩b•斜边AR的长为c.过点C作CD丄AB.垂足是D.
假设/十胪丸即假设AC2±BC2AB2•则由
AB'=AB•AB=**BD)二加"Q十肋•BD
L!
|IAD njill•或者BC・tAB・BD BC/BC: 人B・ 在AADC和AACB中. V ZA=ZA. : .若ADtAC^AC: AB・则ZADC^ZACB. 右.ACDB和*ACB'I1. VZB-ZB. : .若BC^BC: AB.则ZCDB^ZACB・ 乂TZACBf. 这与作法CD丄AB«•所以,AC^BC^AB^}假设不能成立. •: 十b‘=c\ 设直角三角形两宜角边的长分别为叭b・斜边的长为C.作边长是hb的正 方形ABCD.把止方形ABCD划分成上方左图所■的几个部分.则正方形ABCD 的血积为("+盯二把止方形ABCD划分成上方右图所加的儿个 (<;+&尸=4x丄a厶+F= 部分.则正方彤ABCD的仙积为2二2MW. •: a2+/)2+lab=lub+v2f .*.a: +b: =c[ 【证法16】(陈杰证明) 设貴角工饬形曲肖的边的K分别为氛ba>.斜边的长为c・做购个边长 分别为sb的正方形(b>“把它们拼成如图所示形状.使E.H、M三点在・ 条直线上.用数字表示而积的编号cinra,• 在£H=b上餒取ED=a・逹鉛DA.DC・则AD=g VEM=EH+HM=b+a.ED=a・ : .DM=EM-ED=(/>+)-a=b. 乂TZCMD«90°.CM-a. ZAED=90®.AE-b. : .RtAAED也litADMC. : .ZEAD=ZMDC・DC=AD=c. VZADE+ZADC4-ZMDC=1^0°. ZADE+ZMDC-ZADE+^EAD■剜. : .ZADC= : .ftAB//TX: .CBZ/DA-则AECD母一个边也为匚时正方彫 VZBAF+2EAD=ZDAE+NFAD=9『t ;■ZHAF=^DAE< 迷结FE*在九ABF和%ADE中, ■/AB-AD=c,必匚=AF=b.ZTJA^ZDA^, AABF旦AADE, : 、ZAFB-DF-DE-x : .点B・F、G.H痉一条自钱上. 存RlXABF和Rl\BCG中* TAU-UC-c,UF-CG-a. : .RtAABF«RtABCG・ •・十兄十①十肌*=J,+^+^f/=跃十畀叭 5=5,=5j=5(,+S7 ■曇•西+科*(几佔) ■屍+A1+A 勾股定理练习题 —、基础达标: 1.下列说法正确的是() A.若a、b、c是厶ABC的三边,贝卩a2+b2=c2; B.若a、b、c是Rt△ABC的三边,则a2+b2=c2; C.若a、b、c是Rt△ABC的三边,.ano,贝卩a2+b2=c2; D.若a、b、c是Rt△ABC的三边,.cno,贝Sa2+b2=c2. 2.Rt△ABC的三条边长分别是a、b、c,则下列各式成立的是() A.ab=cB.abcC.ab: cD. a2b2=c2 3.如果Rt△的两直角边长分别为k2-1,2k(k>1),那么它的斜边长是() A、2kB、k+1Ck2-1Dk2+1 4.已知a,b,cABC三边,且满足(a2—b2)(a2+b2-c2)=0,则 B.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 9,另两边为连续自然数,则直角 它的形状为() A.直角三角形 C.等腰直角三角形 5.直角三角形中一直角边的长为 D.不能确定 ) C.42或32D.37或33S,斜边上的中线长为d,则这个三角形周 三角形的周长为() A.121B.120 6.△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则厶ABC的周长为( A.42B.32 7.※直角三角形的面积为 长为() (B).d2_S_d (D)2.d2Sd 已知点P的坐标是(3,4),则OP勺长为( (A)d2S2d (C)2,d2S2d 8在平面直角坐标系中, A: 3B: 4 9.若厶ABC中,AB=25cmAC=26cr高AD=24,则BC的长为() A.17B.3C.17或3D.以上都不对 10.已知a、b、c是三角形的三边长,如果满足(a-6)2+V^8+|c-10|=0 则三角形的形状是() A: 底与边不相等的等腰三角形B: 等边三角形 C: 钝角三角形D: 直角三角形 11.斜边的边长为17cm,一条直角边长为8cm的直角三角形的面积 是. 12.等腰三角形的腰长为13,底边长为10,则顶角的平分线为. 13.一个直角三角形的三边长的平方和为200,则斜边长为 14.一个三角形三边之比是10: 8: 6,则按角分类它是三角形. 15.一个三角形的三边之比为5: 12: 13,它的周长为60,则它的面 积是. 16.在Rt△ABC中,斜边AB=4贝卩AU+BC+AC二. 17.若三角形的三个内角的比是1: 2: 3,最短边长为1cm,最长边长为2cm,则这个三角形三个角度数分别是,另外一边的平方 是. 18.如图,已知•ABC中,/C=90,BA=15,B AC=12,以直角边BC为直径作半圆,贝S厂、、这个半圆的面积是I 19.一长方形的一边长为3cm,面积为12cm2,CA 那么它的一条对角线长是. 二、综合发展: 1.如图,一个高4m、宽3m的大门,需要在对角线的顶点间加固一个木条,求木条的长. 2、有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cr现将直角边AC沿/CAB的角平分线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗? C D” 3.一个三角形三条边的长分别为15cm,20cm,25cm,这个三角形最长边上的高是多少? 4.如图,要修建一个育苗棚,棚高h=3m棚宽a=4m棚的长为12m现要在棚顶上覆盖塑料薄膜,试求需要多少平方米塑料薄膜? 5.如图,有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声,它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢,它最短要飞多远? 这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起? 15.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定: 小汽车在城街路上 行驶速度不得超过70km/h.如图,,一辆小汽车在一条城市街路上 直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处, 过了2s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为5om这辆小汽车 超速了吗? 答案: 一、基础达标 1.解析: 利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角. 答案: D. 2.解析: 本题考察三角形的三边关系和勾股定理 答案: B. 3.解析: 设另一条直角边为x,则斜边为(x+1)利用勾股定理可得方程,可以求出x.然后再求它的周长. 答案: C. 4.解析: 解决本题关键是要画出图形来,作图时应注意高AD是在三角形的内部还是在三角 形的外部,有两种情况,分别求解. 答案: C. 5.解析: 222 勾股定理得到: 17一8二15,另一条直角边是15, 12 158=60cm22 所求直角三角形面积为2.答案: 反过来也是成立. 6.解析: 本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边 7. & 答案: a2・b2二c2,C,直角,斜,直角. 解析: 本题由边长之比是10: 8: 6可知满足勾股定理,即是直角三角形.答案: 直角.解析: 由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形.答案: 30、60、 90,3. 2 解析: 由勾股定理知道: BC为直径的半圆面积为10.125n 10.解析: 长方形面积长X宽,即 答案: 5cm. 二、综合发展 11.解析: 木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方. 答案: 5m. 12解析: 因为152202=252,所以这三角形是直角三角形,设最长边(斜边)上的高为 11 xcm,由直角三角形面积关系,可得-1520=丄25x,二x=12.答案: 12cm 22 13•解析: 透阳光最大面积是塑料薄膜的面积,需要求出它的另一边的长是多少,勾股定理求出•答案: 在直角三角形中,由勾股定理可得: 直角三角形的斜边长为 2 所以矩形塑料薄膜的面积是: 5X20=100(m). 14.解析: 本题的关键是构造直角三角形,利用勾股定理求斜边的值是 梢之间的距离是13m,两再利用时间关系式求解• 答案: 6.5s. 15.解析: 本题和14题相似,可以求出BC的值,再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米,时间是2s,可得速度是20m/s=72km/h>70km/h. 答案: 这辆小汽车超速了. 9. =AB2_AC2=152_122=92,所以以直角边BC=9.答案: 10.125n. 12长X3,长=4,所以一条对角线长为5. 可以借助 5m, 13m,也就是两树树
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