概率统计公式大全.docx
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概率统计公式大全
概率统计公式大全
第1章随机事件及其概率
(1)排列组合公式
Pmn(m!
)!
从m个人中挑出n个人进(mn)!
行排列的可能数。
cm从m个人中挑出n个人进
n!
(mn)!
行组合的可能数。
(2)加法和乘法原理
加法原理(两种方法均能完成此事):
m+r某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n种方法来完成。
乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):
论n
某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n种方法来元成,则这件事可由m^n种方法来完成。
(3)一些常见排列
重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)
顺序问题
随机试验和随机事件
(5)基本事件、样本空间和事件
行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质:
1每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;
2任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用”来表示。
基本事件的全体,称为试验的样本空间,用°表示。
一个事件就是由"中的部分点(基本事件小组成的集合。
通常用大写字母儿B,C,…表示事件,它们是©的子集。
。
为必然事件,0为不可能事件。
不可能事件(0)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Q)的概率为1,而概率为1
(6)事件的关系与运算
1关系:
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):
AB如果同时有AB,BA,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:
A=B
AB中至少有一个发生的事件:
AB,或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者ab,它表示A发生而B不发生的事件。
AB同时发生:
AB,或者ABAB=
①,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
Q-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为a。
它表示A不发生的事件。
互斥未必对立。
2运算:
结合率:
A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC
分配率:
(AB)UC=(AUC)n(BUC)(A
UB)nC=(AC)U(BC)
德摩根率:
i1i1ABAB,ABAB
(7)概率的公理化定义
设为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足下列三个条件:
1°0
2°P(Q)=1
3°对于两两互不相容的事件A1,A2,…有
PAP(Ai)
i1i1
常称为可列(完全)可加性。
则称P(A)为事件A的概率。
(8)古典概型
1°1,2n,
O°1
2P
(1)P
(2)P(n);。
设任一事件A,它是由1,2m组成的,
则有
P(A)=P
(1)
(2)(m)
=P
(1)P
(2)P(m)
mA所包含的基本事件数
n基本事件总数
(9)几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型。
对任一事件A,p(A)L(A)。
其中L为几何度量(长度、面积、体积)。
(10)加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)
(11)减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA时,P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Q时,P(B)=1-P(B)
(12)条件概率
定义设AB是两个事件,且P(A)>0,则称PPAB)为事件A发生条件下,事件B发生的条件概率,记为P(B/A)嗨。
P(A)
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。
例如:
P(Q/B)=1P(b/A)=1-P(B/A)
(13)乘法公式
乘法公式:
P(AB)P(A)P(B/A)P(B)P(A/B)
更一般地,对事件A,A,•…A,若P(AA…
An-1)>0,则有
P(A1A2・・・An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
P(An|A1A2・・・An1)。
(14)
独立性
1两个事件的独立性
设事件A、B满足P(AB)P(A)P(B),则称事件A、B是相互独立的。
若事件A、B相互独立,且P(A)0,则有
P(AB)P(A)P(B)
P(B|A)P(A)P(A)P(B)
若事件A,B相互独立,则可得到A与B,A与B,A与B也都相互独立。
必然事件和不可能事件①与任何事件都相互独立。
①与任何事件都互斥。
2多个事件的独立性
设A,B,C是三个事件,如果满足两两独立的条件,
P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);
P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
(15)全概率公式
设事件B®,Bn满足
1°B1,B2,,Bn两两互不相容,
p(Bi)0(i1,2,,n),
n
oABi
2i1,
则有
P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)。
(16
设事件B1,B2,…,Bn及A满足
1°B1,B2,…,Bn两两互不相容,
P(Bi)>0,i1,2,…,n,
)
n
oABi,_r
2i1,且P(A)0,
贝叶斯
公式
(用于
则
P(Bi/A)nP(Bi)P(A/B),i=1,2,…n。
求'
后验
P(Bj)P(A/Bj)
j1
概率)
此公式即为贝叶斯公式。
骅),(i1,丫,…,n),通、常叫先验概率验概率I。
贝1叶斯公式反映3“通1果称”为的概率规律,并作出了“由果溯因”的推断。
(17)
我们作了n次试验,且满足
每次试验只有两种可能结果,A发
生或A不发生;
n次试验是重复进行的,即A发生的
伯努利
概型
概率每次均一样;
每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。
用p表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为1pq,用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0kn)次的概率,
Pn(k)CnPq,k0,1,2,,n。
第二章随机变量及其分布
设离散型随机变量X的可能取值为X(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事件(X=X<)的概率为
P(X=x<)=pk,k=1,2,…,
则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。
有时也用分布列的形式给出:
x|X—X2,,xk,
P(Xxk)p1,p2,,pk,。
显然分布律应满足下列条件:
pk1
(1)pk0,k1,2,,
(2)k1。
设F(x)是随机变量X的分布函数,
若
存在非
负函数f(x),对任意实数x,有
x
F(x)f(x)dx
1?
则称X为连续型随机变量。
f(x)称为X的概
率密度函数或密度函数,简称概率密度。
(
密度函数具有下面4个性质:
2)
1°f(x)0,
连续
2°f(x)dx1
型随
。
X2
3P(X1XX2)f(x)dx,
机变
x
y.O
量的
4若f(x)在点x处连续,则有F'(x)f(x)。
分布
密度
(
P(Xx)P(xXxdx)f(x)dx
3)
积分兀f(x)dx在连续型随机变量理论中所
离散
起的作用与P(xxk)Pk在离散型随机变量
与连
理论中所起的作用相类似。
续型
随机
变量
的关
系
对于离散型随机变量,F(x)p
xkX
x
对于连续型随机变量,F(x)f(x)dx
0-1
分布即
B(1,P)
P(X=1)=p,P(X=0)=q
在n重贝努里试验中,设事件A发
生的概率为P。
事件A发生的次数
是随机变量,设为X,则X可能取
(
值为0,1,2,,n。
5)
P(Xk)Pn(k)C;;pkqnk,其中
八大
q1P,0p1,k0,1,2,,n,
分布
一项
则称随机变量X服从参数为n,p
分布
的二项分布。
记为X〜B(n,p)。
即
当n1时,P(Xk)pkq1k,k0.1,这
B(n,p)
就是0-1分布,所以0-1分布是
二项分布的特例。
设随机变量X的分布律为
k
P(Xk)k!
e,0,
k=
0,1,2…,
泊松分布
即
P()
则称随机变量x服从参数为的
泊松分布,记为X~()或者P()。
泊松分布是二项分布的
极限分布
(np=入,nfx)。
CM?
CNMk0,1,2,l
超几何
分布
()CN'lmin(M,n)
随机变量X服从参数为
n,N,M的
超几何分布,记为H(n,N,M)。
P(Xk)qk1p,k1,2,3,,其中P>0,
几何
q=1-p。
分布
随机变量X服从参数为分布,记为G(p)。
p的几何
均匀分布
设随机变量X的值只落在[a,b]内,其密度函数心在[a,b]上为常数b1,即
ba
1
f(x)ba,aW其他
则称随机变量X在[a,b]上服从均匀分布,记为X~U(a,b)。
分布函数为
[Qa,
Jba,a L x F(x)f(x)dx 1, 当a (X1K)内的概率为 x2x1 P(X1Xx2)21。 ba 1 正态分布 设随机变量X的密度函数为 1(x)2 f(x)圧」,%, 其中、o为常数,则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为 2 X~N(,)。 f(x)具有如下性质: 1°f(x)的图形是关于x对称 的; 2°当X时,f()丁2匚为最大 值; 若X~N(•2),贝X的分布函数为 1x F(x)丁e2dt 参数0、1时的正态分布称为 标准正态分布,记为X〜N(0,1),其密度函数记为 x2 (x)-j^e2 J2,x, 分布函数为 1x耳 (x)jedt。 (x)是不可积函数,其函数值,已编制成表可供查用。 ①(-X)—1-①(x)且 ①(0)—1/2 如果X~N(,2),则〜N(0,1)。 P(X1XX2)X2x1。 ( 6) 分位 数 下分位表: P(X)=;上分位表: P(X)=。 ( 7) 函数分布 离散 型 已知X的分布列为 XX1,X2,,xn, P(XXi)p1,p2,,pn,? yg(X)的分布列(yig(Xi)互不相等)如下: Yg(x1),g(x2),,g(xn), P(丫yi)P1,P2,,pn, 若有某些g(xi)相等,则应将对应的P.相加作为g(x)的概率。 连续型 先利用X的概率密度fx(x)写出Y的分布函数FY(y)=P(g(X) 第三章二维随机变量及其分布 如果二维随机向量=(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称为离散型随机向量。 Y)的所有可能取值 ),且事件{=(x「yj)},称 Pij(i,j1,2,) 设=(X, 为(x,,yj)(i,j1,2,的概率为Pij, P{(X,Y)(x,yj)} 为=(X,Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。 联合分布有时也用下面的概率分布表来表示: 这里Pij具有下面两个性质: (1)py>0(i,j=1,2,…); (2)Pj1. j 连续型 对于二维随机向量(X,Y),如果存在 非负函数f(x,y)(x,y),使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即 D={(X,Y)|a P{(X,Y)D}f(x,y)dxdy, D 则称为连续型随机向量;并称f(x,y)为=(X,Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。 分布密度f(x,y)具有下面两个性质: (1)f(x,y)>0; (2)f(x,y)dxdy1. (2 ) 二维随机变量的本质 (Xx,Yy)(XxYy) (4)F(,)F(,y)F(x,)0,F(,)1. F(X2,y2)F(X2,yjF(X1,y? )Fgyj0. ( 4) 离散型与连续型的关系 P(Xx,Y y)P(xXxdx,yYydy)f(x,y)dxdy X的边缘分布为 离散型 P? P(XXi)Pj(i,j1,2,); j Y的边缘分布为 P? jP(Yyj)Pj(i,j1,2,)。 i (5 ) 边缘分布密度 连续型 X的边缘分布密度为fx(x)f(x,y)dy; Y的边缘分布密度为 fY(y)f(x,y)dx. (6) 条件分布 离散型 在已知X=x的条件下,Y取值的条件分布为 Pij P(Yyj|XXi)—; Pi? 在已知Y=y的条件下,X取值的条件分布为 Pij P(XXi|Yyj)丄, P? j 连续型 在已知Y=y的条件下,X的条件分布密度为 f(x|y)ff(; fY(y)‘ 在已知X=x的条件下,丫的条件分布密度为 f(y|x)f(x,y) fx(X) ( 7) 般型 F(X,Y)=Fx( x)FY(y) 离散型 PijPi? P? j 有零不独立 独 f(x,y)=fx(x)fY 立性 连 y) 续型 直接判断,充要条件: ①联合概率密度函数可分离变 量。 ②正概率密度区间为矩形。 22 1x12(x1)(y2)y2 12(12)1122f(x,y)212J12e' 维正 其中1.2,1o,20,1i1是5个参数 态 分布 若X,X2,…Xm.Xm+1,…X相互独立, 随机 h,g为连续函数,贝 变量 h(X1,X…X)和g(Xm+1,…%) 的函 相互独立。 数 特例: 若X与丫独立,贝y: h(X) 和g(Y)独立。 例如: 若X与丫独立,则: 3X+1 和5Y-2独立。 设随机向量(X,Y)的分布密度函数为 22 1x12(x1)(y2)y2 f(x,y) 2 12(12)1122 12J12, 其中1, 2,10,20,||1是5个参数,则称(X, Y)服从二维正态分布,记为(X,Y)〜N(1,2,12,;,).由边缘密度的计算公式,可以推出二维正 (9) 态分布的两个边缘分布仍为正态分布, 一维 即X〜N(1,12),y~n(2,f). 正态 但是, 若X〜N(1,12),y~n(2,2),(X,Y) 分布 未必是二维正态分布。 根据定义计算: Fz(z)P(Zz)P(XYz) 对于连续型,fz(z)f(x,zx)dx Z= X+Y 两个独立的正态分布的和仍为正态分布(12,122)。 n个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。 (1 Cii,2Ci2i2 ii 0) 关于随机变量的函数的分布 Z=max,min( X1,X2, …Xn) 若X1,X2Xn相互独立,其分布函数分别为f“(x),Fx2(x)FXn(x),则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为: Fmax(X)FX1(x)FX2(X)FXn(X) Fmin(X)1[1Fx1(X)][1Fx2(X)][1Fxn(x)] 2分布 设n个随机变量X1,X2,,X”相互独立,且服从标准正态分布,可以证明它们的平方和 n WX: i1 的分布密度为 nu 1-1- —u2e2u0, f(u)22n 2 0,u0. 我们称随机变量W服从自由度为n的2分布,记为W2(n),其中 n-1 x2exdx. 20 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量分布中的一个重要参数。 2分布满足可加性: 设 Yi2(nJ, 则 k 2 ZYi~(n1n2nk). i1 t分布 设X,Y是两个相互独立的随机变量,且 2 X~N(0,1),Y〜(n), 可以证明函数 TX T芹 的概率密度为 n1n1 2t2— f(t)——2—1t(t). vVnn 2 我们称随机变量T服从自由度为n的t分布,记为T〜t(n)。 t1(n)t(n) F分布 设X~2(n1),Y~2(n2),且X与Y独立,可以证明FX;n1的概率密度函数 Y/n2 为 n1n2比叫匕 2小2聲1n12 f(v)y1y,y0 f(y丿n1n2n2n2 22 0,y0 我们称随机变量F服从第一个自由度为nt,第二个自由度为n2的F分布,记为F〜f(n1,n2). 1 F1(n1,n2) F(n2,nJ 第四章随机变量的数字特征 离 散型续型 期望 (期望就是平均值) 设X是离散型随机变量,其分布律为P(XXk)= Pk‘k=1,2,…,n, 设X是连续型机变量,其概率度为f(x), E(X)xf(x) (要求纟1收敛) E(X) (要对收敛) n XkPk k1 昙求绝 Y=g(X 一维随机变量的函 ) (X) (1) 数的期望 n E(Y) k1 g(Xk)Pk E(Y)g(x)f 维 方差 随机 D(X)=E[X-E(X) D(X)[xE(X)]2f 变量 ]2, D(X)[Xk k E(X)]2pk 的数 标准差 字特 (X)TD(xy, 征 ①对于正整数 ①对于正整数 k,称随机变量X 称随机变量X 的k次幂的数学 次幂的数学期 期望为X的k阶 为X的k阶原 原点矩,记为 矩,记为Vk,即 Vk,即 v vk=E(X> k=E(X)=xkf(x k XiPi, k=1,2,… 矩 i k=1,2,… ②对于正整数k,称随机变量X与E(X)差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩,记为k, ②对于正整数称随机变量X (X)差的k次的数学期望为的k阶中心矩为k,即 kE(XE(X 即 =(XE(X))kf( kE(XE(X))k k=1,2,・ k =(XiE(X))Pi, i -1 k=1,2,・・・ ■ 设随机变量X的数学期望E(卩,方差D(X)=u2,则对于任正数&,有下列切比雪夫不等式 2 切比雪夫不等 式 P(|x|)P 切比雪夫不等式给出了在未知分布的情况下,对概率 P(|xI) 的一种估计,它在理论上有重要义。 (1) (2) 期望 的性 质 E(C)=C (2)E(CX)=CE(X) nn (3)E(X+Y)=E(X)+E(Y),e(gx」ge(xj i1i1 (4)E(XY)=E(X)E(Y),充分条件: X和丫独立; 充要条件: (3)方差的性质 (1)D(C)=0;E(C)=C (2)D(aX)=a2D(X);E(aX)=aE(X) (3)D(aX+b)=a2D(X);E(aX+b)=aE(X)+b (4)D(X)=E(X2)-E2(X) (5)D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件: X和丫独立 充要条件: X和Y不关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) 2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。 (4)常见分布的期望和 期望 方差 0-1分布B(1,P) p p(1p) 二项分布B(n,P) np 叩(1p) 泊松分布P() 几何分布G(p) 1 p 1p 2p 超几何分布H(n,M,N) nM N nMMNr 1 NNN1 均匀分布U(a,b) ab 2 (b
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