北京市西城区九年级一模数学试题及答案解析.docx
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北京市西城区九年级一模数学试题及答案解析
2020 年北京市西城区九年级一模数学试题
一、选择题
1.北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场,2019 年,9 月 25 日正式通航,预计到 2022 年机场旅
客吞吐量将达到 45 000 000 人次,将 45 000 000 用科学记数法表示为()
A. 45×106
B. 4.5×107 C. 4.5×10 8 D. 0.45×109
【答案】B
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,
小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.
【详解】解:
将数据 45000000 用科学记数法可表示为:
4.5×107.
故答案选:
B.
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
2.如图是某个几个几何体的三视图,该几何体是()
A. 圆锥
B. 圆柱 C. 长方体 D. 正三棱柱
【答案】B
【解析】
【分析】
由主视图和俯视图确定是柱体,由左视图确定具体形状.
.
【详解】解:
从主视图和俯视图可以确定是柱体,然后由左视图可以确定此物体为一个横放着的圆柱
故答案为:
B.
【点睛】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象能力方面的考查.主视图、
左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.
3.下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一进行判断即可.
【详解】解:
A、是轴对称图形,不是中心对称图形.故选项错误;
B、不是轴对称图形,是中心对称图形.故选项错误;
C、是轴对称图形,也是中心对称图形.故选项正确;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形.故选项错误,
故选:
C.
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念:
轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿
对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后与原图重合.
4.在数轴上,点 A,B 表示的数互为相反数,若点 A 在点 B 的左侧,且 AB=2 2 ,则点 A,点 B 表示的数
分别是()
A. - 2 , 2
B. 2 ,- 2 C. 0,2 2 D. -2 2 ,2 2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相反数的定义即可求解.
【详解】解:
由 A、B 表示的数互为相反数,且 AB=2 2 ,点 A 在点 B 的左侧,得
点 A,点 B 表示的数分别是- 2 , 2 .
故选:
A.
【点睛】本题考查了相反数的知识,属于基础题,注意熟练掌握相反数的概念是解题的关键.
5.如图,AB 是⊙O 的直径,C,D 是⊙O 上的两点.若∠CAB= 65 ,则∠ADC 的度数为()
A. 65︒
B. 35︒ C. 32.5︒ D. 25︒
【答案】D
【解析】
【分析】
首先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°,然后根据∠CAB=65°求得∠ABC 的度数,利用同弧所
对的圆周角相等即可得到答案.
【详解】解:
∵AB 是直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠CAB=65°,
∴∠ABC=∠ACB -∠CAB=90°-65°=25°,
∵∠ADC 和∠ABC 所对的弧相同
∴∠ADC=∠ABC=25°,
故选:
D.
【点睛】本题考查了圆周角的知识,解题的关键是掌握直径所对的圆周角为直角.
6.甲、乙两名运动员 10 次射击成绩(单位,环)如图所示.甲、乙两名运动员射击成绩平均数记为 x , x ,
甲
乙
则下列关系中完全正确的是()
甲乙甲乙
A. x = x , S 2 > S 2B. x = x , S 2 < S 2
甲乙甲乙
C. x > x , S 2 > S 2
甲乙
【答案】A
【解析】
D. x < x , S 2 < S 2
甲 乙
【分析】
分别求出甲、乙两名运动员 10 次射击成绩的平均数和方差即可.
【详解】解:
x = 8 ⨯ 4 + 9 ⨯ 2 + 10 ⨯ 4 = 9
甲
8 ⨯ 3 + 9 ⨯ 4 + 10 ⨯ 3
x == 9
乙
∴ x = x
甲
S 2 =
甲
乙
(8 - 9)2 ⨯ 4 + (9 - 9)2 ⨯ 2 + (10 - 9 )2 ⨯ 4
10
= 4
5
S 2 =
乙
(8 - 9)2 ⨯ 3 + (9 - 9)2 ⨯ 4 + (10 - 9 )2 ⨯ 3
10
=
3
5
∴ S 2 > S 2
甲乙
故选:
A.
【点睛】此题考查了平均数和方差,掌握平均数和方差公式是解题的关键.
7.如图,在数学实践活动课上,小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度,阳光下他测得长1m 的竹竿
落在地面上的影长为 0.9m,在同一时刻测量树的影长时,他发现树的影子有一部分落在地面上,还有一部
分落在墙面上,他测得这棵树落在地面上的影长 BD 为 2.7m,落在墙面上的影长 CD 为 1.0m,则这棵树的
高度是()
A. 6.0m
B. 5.0m C. 4.0m D. 3.0m
【答案】C
【解析】
【分析】
根据在同一时刻物高和影长比值相同,即在同一时刻的两个物体,影子,经过物体顶部的太阳光线三者构
成的两个直角三角形相似进而解答即可.
【详解】解:
延长 AC 交 BD 延长线于点 E,
根据物高与影长成正比得:
∵CD=1,
CD 1
= ,
DE 0.9
∴
1 1
=
DE 0.9
解得:
DE=0.9,
则 BE=2.7+0.9=3.6 米,
∵AB∥CD,
∴△ABE∽△CDE,
∴
即
AB BE
= ,
CD DE
AB 3.6
= ,
1 0.9
解得:
AB=4,即树 AB 的高度为 4 米,
故选:
C.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质,解决本题的关键是作出辅助线得到 AB 的影长.
8.设 m 是非零实数,给出下列四个命题:
①若-1 1 1 m m m< 1 1 < m2 ,则 m<0;④ m2 m m A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 逐个进行一次判断即可,判断一个命题是假命题,只需举出一个反例. 【详解】解: ①若-1<m<0,则 1 m ②若 m>1,取 m=2 时,m2=4, m<m2,原命题不成立; ③若 m< 1 1 1 1 < m2 ,取 m=- 时, =-2,m> ,原命题不成立; m 2 m m 1 ④ m2 m 成立的有①④, 故选: B. 【点睛】此题考查了命题和不等式,解题的关键是理解不等式的性质. 二、填空题 9.若代数式 x - 1 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是_______. 【答案】 x ≥ 1 【解析】 先根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式,求出 x 的取值范围即可. 解: ∵ x - 1 在实数范围内有意义, ∴x-1≥0, 解得 x≥1. 故答案x≥1. 本题考查的是二次根式有意义的条件,即被开方数大于等于 0. 10.一个多边形的内角和是外角和的 2 倍,则这个多边形的边数为________. 【答案】6. 【解析】 【分析】 由多边形的外角和等于 360°,可得多边形的内角和为 720°,根据多边形的内角和公式,即可求解. 【详解】∵多边形的外角和是 360 度,多边形的内角和是外角和的 2 倍, ∴内角和是 720 度, ∵720÷180+2=6, ∴这个多边形是六边形. 故答案为: 6. 【点睛】本题主要考查多边形的内角和与外角和,掌握多边形的外角和等于 360°以及多边形的内角和公式, 是解题的关键. 11.已知 y 是以 x 为自变量的二次函数,且当 x=0 时,y 的最小值为-1,写出一个满足上述条件的二次函数表 达式_______. 【答案】y=x2-1. 【解析】 【分析】 直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标为(0,-1),然后写出一个满足题意的二次函数即可. 【详解】解: ∵y 是以 x 为自变量的二次函数,且当 x=0 时,y 的最小值为-1, ∴二次函数对称轴是 y 轴,且顶点坐标为: (0,-1),抛物线开口向上, 故满足上述条件的二次函数表达式可以为: y=x2-1. 故答案为: y=x2-1. 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质,正确得出其顶点坐标是解题关键. 12.如果 a 2 + a = 1 ,那么代数式 【答案】1 【解析】 【分析】 1 a - 1 - a a 2 - 1 的值是______. 先根据分式的运算法则将 1a - 1 - 【详解】解: aa 2 - 1 a - 1 - a + 1a = - 1 = a (a + 1) 1 a - 1 - a a 2 - 1 进行化简,再将 a 2 + a = 1 的值代入即可. =1 a 2 + a ∵ a 2 + a = 1 ∴原式 =1= 1 a 2 + a 故答案为: 1. 【点睛】本题主要考查分式的化简求值,解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则. 13.如图,在正方形 ABCD 中,BE 平分∠CBD,EF⊥BD 于点 F,若 DE=2 ,则 BC 的长为_________. 【答案】 2 + 1 【解析】 【分析】 根据正方形的性质,角平分线的性质可得到△DEF 为等腰直角三角形,然后设 BC=CD=x,利用勾股定理解 答即可. 【详解】解: ∵四边形 ABCD 为正方形, ∴∠C=90°,∠CDB=45°,BC=CD. ∴EC⊥CB. 又∵BE 平分∠CBD,EF⊥BD, ∴EC=EF. ∵∠CDB=45°,EF⊥BD, ∴△DEF 为等腰直角三角形, ∴DF=EF, 设 BC=CD=x, ∵DE= 2 , ∴EC=x- 2 ,即 DE =EF=x- 2 , 在 DEF 中, DE 2 = DF 2 + EF 2 , 222 解得 x= 2 + 1 ∴BC= 2 + 1 故答案为: 2 + 1 . 【点睛】本题考查了正方形性质,角平分线的性质,勾股定理,熟练掌握相关图形的性质是解题的关键. 14.如图,△ABC 的顶点 A,B,C 都在边长为 1 的正方形网格的格点上,BD⊥AC 于点 D,则 AC 的长为 的 ________,BD 的长为_________. 【答案】 (1). 5 (2). 3 【解析】 【分析】 根据图形和三角形的面积公式求出△ABC 的面积,根据勾股定理求出 AC,根据三角形的面积公式计算即可. 【详解】如图所示: 由勾股定理得: AC= 32 + 42 =5, 1 △ ∵AE=3,BC=5, 1 ×3×5=×5BD, 22 解得: BD=3. 故答案为: 5;3. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识,解题的关键是利用勾股定理求出 AC 的长,此题难度一般. 15.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A,B,C 的坐标分别是(0,4),(4,0),(8,0),⊙M 是△ABC 的外接圆,则点 M 的坐标为___________. ( 【答案】 6,6) 【解析】 【分析】 如图: 由题意可得 M 在 AB、BC 的垂直平分线上,则 BN=CN;证得 ON=OB+BN=6,即△OMN 是等腰直 角三角形,得出 MN=ON=6,即可得出答案. 【详解】解: 如图∵圆 M 是△ABC 的外接圆 ∴点 M 在 AB、BC 的垂直平分线上, ∴BN=CN, ∵点 A,B,C 的坐标分别是(0,4),(4,0),(8,0) ∴OA=OB=4,OC=8, ∴BC=4, ∴BN=2, ∴ON=OB+BN=6, ∵∠AOB=90°, ∴△AOB 是等腰直角三角形, ∵OM⊥AB, ∴∠MON=45°, ∴△OMN 是等腰直角三角形, ∴MN=ON=6,点 M 的坐标为(6,6). 故答案为(6,6). 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识,其 中判定△OMN 为等腰直角三角形是解答本题的关键. 16.某景区为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了某月(30 天)接待游客人数(单 位: 万人)的数据,绘制了下面的统计图和统计表: 根据以上信息,以下四个判断中,正确的是_________.(填写所有正确结论的序号) ①该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”天数仅有 4 天; ②该景区这个月每日接待游客人数的中位数在 5~10 广域网人之间; ③该景区这个月平均每日接待游客人数低于 5 万人; 的 ④这个月 1 日至 5 日的五天中,如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩,那么他“这两天游玩环境 评价均为好”的可能性为 3 10 . 【答案】①④ 【解析】 【分析】 利用统计图与统计表获取的信息逐项判定即可. 【详解】解: ①根据统计表可得日接待游客人数10≤x< 15 为拥挤,15≤x< 20 为严重拥挤,由统计图可知, 游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”,1 日至 5 日有 2 天,25 日-30 日有 2 天,共 4 天,故①正确; ②本题中位数是指将 30 天的游客人数从小到大排列,第 15 与第 16 位的和除以 2,根据统计图可知 0≤x < 5 的有 16 天,从而中位数位于 0≤x< 5 范围内,故②错误; ③从统计图可以看出,接近 10 的有 6 天,大于 10 而小于 15 的有 2 天,15 以上的有 2 天, 10 上下的估算为 10,则(10×8+15×2-5×10)÷16=3.25,可以考虑为给每个 0 至 5 的补上 3.25,则大部 分大于 5,而 0 至 5 范围内有 6 天接近 5,故平均数一定大于 5,故③错误; 323 ④由题意可知“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为 ⨯=,故④正确. 5410 故答案为①④. 【点睛】本题考查了中位数、平均数及可能性等知识,利用统计图与统计表获取的有效信息是解答本题的 关键. 三、解答题 1 17.计算: ( )-1 + (1- 3) 0 + | - 3 | -2sin 60 °. 2 【答案】3 【解析】 【分析】 先运用负整数次幂、零次幂、取绝对值和特殊角的三角函数对原式化简,然后进行计算即可. 1 【详解】解: ( )-1 + (1- 3) 0 + | - 3 | -2sin 60 ° 2 =2+1+ 3 - 3 =3 【点睛】本题主要考查了负整数次幂、零次幂、取绝对值和特殊角的三角函数等知识点,灵活应用相关运 算法则是解答本题的关键. ⎧3(x - 2) < 2 x - 2 ⎪ 18.解不等式组 ⎨ 2 x + 5. < x 【答案】 5 2 <x<4 < x② 【解析】 【分析】 先分别求出各不等式的解析,然后各不等式解集的公共部分即为不等式组的解集. ⎧3(x - 2) < 2 x - 2① ⎪ 【详解】解: ⎨ 2 x + 5 ⎪⎩4 由①得 x<4 由②得 x> 5 2 所以不等式组的解集为: 5 2 <x<4 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组,根据不等式的解集确定不等式组的解集是解答本题的关键. 19.关于 x 的一元二次方程 x2 - (2m + 1)x + m2 = 0 有两个实数根 (1)求 m 的取值范围; (2)写出一个满足条件的 m 的值,求此时方程的根. ( 【答案】 1)m≥ - 1 4 ; (2) 当 m=0 时,方程的根为 x1=1,x2=0. 【解析】 【分析】 (1)根据根的判别式列出不等式并求解即可; (2)确定一个满足条件且方便计算的 m,然后解一元二次方程即可. 【详解】解: (1)由题意得 =(2m+1)2-4m2≥0,解得: m≥ - 1 4 ; (2)当 m=0 时,原方程为: x 2 - x = 0 ,解得 x1=1,x2=0. 【点睛】本题主要考查了根的判别式,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠ )的根与=b2-4ac 有如下关系: ① 当 0 时,方程有两个不相等的实数根;②当 时,方程有两个相等的实数根;③当 0 时,方程无 实数根. 20.如图,在 Y ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,OA=OB,过点 B 作 BE⊥AC 于点 E. (1)求证: Y ABCD 是矩形; (2)若 AD= 2 5 ,cos∠ABE= 2 5 ,求 AC 的长. 5 ( 【答案】 1)见解析; (2)5. 【解析】 【分析】 (1)先说明.OA=OC,OB=OD,再证得 AC=BD,即可证明 Y ABCD 是矩形; (2)先说明∠BAD=∠ADC=90°,再求得∠CAD=∠ABE,最后解直角三角形即可. 【详解】 (1)证明: ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴OA=OC,OB=OD 又∵OA=OB, ∴OA=OB=OC=OD, ∴AC=BD, ∴ Y OABCD 是矩形; (2)解∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠BAD=∠ADC=90°, ∴∠BAC+∠CAD=90°, ∵BE⊥AC, ∴∠BAC+∠ABE=90°, ∴∠CAD=∠ABE, 在 ACD 中,AD= 2 5 ,cos∠CAD= AD AC =cos∠ABE= 2 5 5 ∴AC=5. 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、解直角三角形等知识点,掌握矩形的判定和 性质定理是解题答本题的关键. 21.先阅读下列材料,再解答问题. 尺规作图 已知 ABC,D 是边 AB 上一点,如图 1, 求作: 四边形 DBCF,使得四边形 DBCF 是平行四边形. 小明的做法如下: 请你参考小明的做法,再设计一一种尺规作图的方法(与小明的方法不同),使得画出的四边形 DBCF 是平行 四边形,并证明. 【答案】见解析 【解析】 【分析】 利用平行四边形的判定方法作图证明即可. 【详解】解: (1)设计方案 先画一个符合题意的草图,再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形. (2)设计作图步骤完成作图 作法: 如图: ①以点 C 为圆心,BC 长为半径画弧; ②以点 D 为圆心,BC 长为半径画弧,; ③两弧交于点 F,四边形 DBCF 即为所求. (3)推理论证 证明: ∵CF=BD,DF=BC ∴四边形 DBCF 是平行四边形. 【点睛】本题考查了尺规作图、平行四边形的判定等知识点,灵活应用平行四边形的判定方法是解答本题 的关键. 22.运用语音识别输入统计可以提高文字输入的速度,为了解 A,B 两种语音识别输入软件的可读性,小秦 同学随机选择了 20 段话,其中每段话都含有 100 个字(不计标点符号),在保持相同条件下,标准普通话来 测试两种语音识别输入软件的准确性,整个测试分析过程如下,请补充完整. (1)收集数据: 两种软件每次识别正确的字数记录如下: (2)整理,描述数据: 根据上面得到的两组样本数据,绘制了分布直方图 (3)分析数据: 两组样本数据的平均数,众数,中位数,方差如下表所示 平均数 众数 中位数 方差 A 84.7 84.5 88.91 B 83.7 96 184.01 (4)得出结论: 根据以上信息.判断____种语音识别输入软件准确性较好,理由如下._______________(至 少从两个不同的角度说明判断的合理性) . ( 【答案】 2)见解析;(3)92,88.5;(4)见解析. 的 【解析】 【分析】 (2)先统计数据,再补全频数分布直方图即可; (3)根据众数和中位数的定义计算即可; (4)从平均数、方差两个角度分析即可. ( 【详解】解: 2)统计 B 组数据得到: 60-70 的频数为 2,70-80 的频数为 4,则补全频数分布直方图如图所示: (3)在 A 组数据中 92 出现的次数最多,故 A 组的众数为 92;B 组的中位数为第 10 个和第 11 个数分别为 88 和 89,则中位数为(88+89)÷2=88.5.故答案如图: (4)A 种语音识别输入软件的准确性较好,理由如下: ∵A 种语音的平均数=84.7,B 种语音的平均数=83.7, ∴84.7> 83.7,故 A 种语音识别输入软件的准确性较好, ∵A 种语音的方差=88.91,B 种语音的方差=184.01, ∴88.91< 184.01,故 A 种语音识别输入软件的准确性较好. 【点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表、方差等知识,明确题意、灵活应用所学知识是解答本题 的关键. 23.如图,四边形 OABC 中, ∠OAB = 90︒ .OA=OC, BA=BC.以 O 为圆心,以 OA 为半径作☉O (1)求证: BC 是☉O 的切线: » ①补全图形; ②求证: OF=OB. 【答案】 (1)证明见解析 (2)①图见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】 (1)连接 AC,根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠OCA,∠BAC=∠BCA,得到∠OCB=∠OAB=90°, 根据切线的判定定理证明; (2)①根据题意画出图形; ②根据切线长定理得到 BA=BC,得到 BD 是 AC 的垂直平分线,根据垂径定理、圆心角和弧的关系定理得 到∠AOC=120°,根据等腰三角形的判定定理证明结论. 【详解】 (1)证明: 如图 1,连接 AC, ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA, ∵BA=BC, ∴∠BAC=∠BCA, ∴∠OAC+∠BCA=∠OCA+∠BCA,即∠
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