最新初中数学一题多解例题优秀名师资料.docx
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初中数学一题多解例题
篇一:
初中数学一题多解题
初中数学一题多解题
例题一、两个连续奇数的积是323,求出这两个数
方法一、
设较小的奇数为x,另外一个就是x+2
x(x+2)=323
解方程得:
x1=17,x2=-19
所以,这两个奇数分别是:
17、19,或者-17,-19
方法二、
设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x
则有:
x-323/x=2
解方程得:
x1=19,x2=-17
同样可以得出这两个奇数分别是:
17、19,或者-17,-19
方法三、
设x为任意整数,则这两个连续奇数分别为:
2x-1,2x+1
1
(2x-1)(2x+1)=323
即4x-1=323
x=81
x1=9,x2=-9
2x1-1=17,2x1+1=19
2x2-1=-19,2x2+1=-17
所以,这两个奇数分别是:
17、19,或者-17,-19
方法四、
设两个连续奇数为x-1,x+1
则有x-1=323
x=324=4*81
x1=18,x2=-18
x1-1=17,x1+1=19
x2-1=-19,x2+1=-17
所以,这两个奇数分别是:
17、19,或者-17,-19
例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋,共用去9.25元;如果买2个鸡蛋,4个鸭蛋,3个鹌鹑蛋,则共用去3.20元,试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个,共需多少钱,
解:
设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元,则
2
根据题意,得
?
?
13x?
5y?
9z?
9.25
?
2x?
4y?
3z?
3.20?
1?
?
2?
分析:
此方程组是三元一次方程组,由于只有两个三元一次方程,因而要分别求出x、y、z的值是不可能的,但注意到所求的是x?
y?
z的代数和,因此,我们可通过变形变换得到多种解法。
1.凑整法
?
1?
?
?
2?
,得5x?
3y?
4z?
415.3
?
2?
?
?
3?
,得7(x?
y?
z)?
7.35
?
x?
y?
z?
105.解1:
?
3?
答:
只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个,共需1.05元(下面解法后的答均省略)解2:
原方程组可变形为
?
?
13(x?
y?
z)?
4(2y?
z)?
9.25?
2(x?
y?
z)?
(2y?
z)?
3.20
解之得:
x?
y?
z?
105.
2.主元法
解3:
视x、y为主元,视z为常数,解<1、<2
得x?
05.?
05.z.?
05.z,y?
055
?
x?
y?
z?
055.?
05.?
z?
z?
105.
解4:
视y、z为主元,视x为常数,解<1、<2
得y?
0.05?
x,z?
1?
2x
?
x?
y?
z?
105.?
x?
2x?
x?
105.
3
解5:
视z、x为主元,视y为常数,解<1、<2
.?
2y得x?
y?
0.05,z?
11
?
x?
y?
z?
y?
0.05?
y?
11.?
2y?
105.
3.“消元”法
解6:
令x?
0,则原方程组可化为
?
5y?
9z?
9.25?
y?
0.05?
?
?
4y?
3z?
3.2z?
1?
?
?
x?
y?
z?
105.
解7:
令y?
0,则原方程组可化为
?
13x?
9z?
9.25?
x?
?
0.05?
?
?
2x?
3z?
3.20z?
11.?
?
?
x?
y?
z?
105.
解8:
令z?
0,则原方程组可化为
?
13x?
5y?
9.25?
x?
0.5?
?
?
2x?
4y?
3.20y?
0.55?
?
?
x?
y?
z?
105.
4.参数法
解9:
设x?
y?
z?
k,则
?
1?
?
13x?
5y?
9z?
9.25?
?
2?
?
2x?
4y?
3z?
3.20
?
x?
y?
z?
k?
3?
?
?
?
1?
?
?
2?
?
3,得x?
y?
?
0.05?
4?
?
3?
?
3?
?
2?
,得x?
y?
3k?
32.
?
由<4、<5得3k?
32.?
?
005.
?
k?
105.
即x?
y?
z?
105.
4
5.待定系数法
解10.设
?
5?
x?
y?
z?
a(13x?
5y?
9z)?
b(2x?
4y?
3z)
?
(13a?
2b)x?
(5a?
4b)y?
(9a?
3b)z?
1?
则比较两边对应项系数,得
?
13a?
2b?
1?
a?
1?
?
?
21?
5a?
4b?
1?
?
4?
9a?
3b?
1?
b?
?
?
21?
将其代入<1中,得
x?
y?
z?
141?
9.25?
?
32.?
?
22.05?
105.212121
附练习题
1.有大小两种货车,2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨;5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。
求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨,(答案:
24.5吨)
2.有甲、乙、丙三种货物,若购甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元;若购甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元。
问若购甲、乙、丙各1件共需多少元,(答案:
1.05元)
平面几何
在完成一个数学题的解答时,有必要对该题的内容、形式、条件、结论,做进一步的探讨,以真正掌握该题所反映的问题的实质。
如果能对一个普通的数学题进行一题多变,从变中总结解题方法;从变中发现解题规律,从变中发现“不变”,必将使人受益匪浅。
“一题多变”的常用方法有:
1、变换命题的条件与结论;2、
5
保留条件,深化结论;
3、减弱条件,加强结论;4、探讨命题的推广;5、考查命题的特例;6、生根伸枝,图形变换;7、接力赛,一变再变;8、解法的多变等。
19、(增加题1的条件)AE平分?
BAC交BC于E,求证:
CE:
EB=CD:
CB
20、(增加题1的条件)CE平分?
BCD,AF平分?
BAC交BC于F
篇二:
初中数学一题多变、一题多解
一题多解、一题多变
原题条件或结论的变化
所谓条件或结论的变化,就是对某一问题的条件或结论进行变化探讨,并针对问题的内涵与外延进行深入与拓展,从而得到一类变式题组。
通过对问题的分析解决,使我们掌握某类问题的题型结构,深入认识问题的本质,提高解题能力。
例1求证:
顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。
变式1求证:
顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。
变式2求证:
顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。
变式3求证:
顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。
变式4顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形,变式5顺次连接什么四边
6
形各边中点可以得到矩形,变式6顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形,?
?
通过这样一系列变式训练,使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念,强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等,极大地拓展了学生的解题思路,活跃了思维,激发了兴趣。
一、几何图形形状的变化
如图1,分别以Rt?
ABC的三边为边向外作三个正方形,其面积分别为S1、S2、S3,则
S1、S2、S3之间的关系是
S1
C
S2
A
B
C
S1
A
S3
S2
B
A
7
S1
S2B
S3
S3
图1图2图3
变式1:
如图2,如果以Rt?
ABC的三边为直径向外作三个半圆,其面积分别为S1、S2、S3,则S1、S2、S3之间的关系是变式2:
如图3,如果以Rt?
ABC的三边为边向外作三个正三角形,其面积分别为
S1、S2、S3,则S1、S2、S3之间的关系是变式3:
如果以Rt?
ABC的三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别为S1、S2、S3,为使S1、S2、S3之间仍具有上述这种关系,所作三角形应满足什么条件,证明你的结论。
变式4:
如图4,梯形ABCD中,AB//DC,?
ADC?
?
BCD?
90?
且DC?
2AB,分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,则S1、S2、S3
之间的关系是
S2
S1
S3
S1
S2
8
S3C
DSS2
S3C
D
EC
D
图4图5图6
变式5:
如图5,梯形ABCD中,AB//DC,?
ADC?
?
BCD?
90?
且DC?
2AB,分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正三角形,其面积分别为S1、S2、S3,则S1、S2、S3
之间的关系是
变式6:
如图6,梯形ABCD中,
AB//DC,?
ADC?
?
BCD?
90?
且DC?
2AB,分别以DA、AB、BC为直径向梯形外作半圆,其面积分别为S1、S2、S3,则S1、S2、S3
之间的关系是
上述题组设置由易到难,层次分明,把学生的思维逐渐引向深入。
这样的安排不仅使学生复习了勾股定理,又在逐渐深入的问题中品尝到成功的喜悦;既掌握了基础知识,也充分认识了问题的本质,可谓是一举两得。
二、图形内部结构的变化
例2.已知:
如图7,点C为线段AB上一点,?
ACM、?
CBN
9
是等边三角形。
求证:
AN=BM
图7图8
证明:
?
?
ACM和?
CBN是等边三角形
?
MC?
AC,CN?
CB,?
ACN?
?
MCB?
?
ACN?
?
MCB
?
AN?
BM
变式1:
在例2中,连接DE,求证:
(1)?
DCE是等边三角形
(2)DE//AB
分析:
(1)可证?
ADC?
?
MEC,则DC=EC,因为?
DCE=60?
所以?
DCE是等边三角形。
(2)由
(1)易证?
EDC=?
ACM=60?
所以DE//AB变式2:
例2中,连接CF,求证:
CF平分?
AFB
分析:
过点C作CG?
AN于G,CH?
BM于H,由?
ACN?
?
MCB,可得到CG=CH,所以CF平分?
AFB
变式3:
如图8,点C为线段AB上一点,?
ACM、?
CBN是等边三角形,P是AN的中点,Q是BM的中点,求证:
?
CPQ是等边三角形证明:
?
?
ACN?
?
MCB
?
AN?
BM,?
ABM?
?
ANC
又?
P、Q分别是AN、BM的中点
?
?
BCQ?
?
NCP
?
CQ?
CP,?
BCQ?
?
NCP
?
?
PCQ?
?
NCP?
?
NCQ?
?
BCQ?
?
NCQ?
?
NCB?
60?
10
?
?
CPQ是等边三角形
图7是一个很常见的图形,其中蕴含着很多的关系式,此题还可适当引导学生探索当点C不在线段AB上时所产生的图形中的一些结论,通过该题的变式训练,让学生利用自己已有的知识去探索、猜想,进而培养了学生思维的创造性。
三、因某一基本问题迁移的变化
例4如图9,要在燃气管道L上修建一个泵站,分别向A、B两镇
供气,问泵站修在什么地方使所用的输气管线最短,图9
分析:
设泵站应建在P处。
取点B关于L的对称点B’,如图1,PB’=PB,要使PA+PB最小只要PB’+PA最小,而两点之间距离最短,连接AB’与L的交点P即是泵站所建的位置。
本题特点:
一直线同旁有两定点,关键要在直线上确定动点的位置,使动点到定点的距离之和最短,我们常常把这类问题称作“泵站问题”。
变式1:
如图2,在?
ABC中,AC=BC=2,?
ACB=90?
D是BC的中点,E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值是
图2
解:
C、D是两定点,E是在直线AB上移动的一动点,以CA、CB为边作正方形ACBF,则C关于AB的对称点
11
一定是F,连接DF交AB于E,这时EC+ED最小。
因为D是BC的中点,在直角三角形FBD中,
B
A
L
P
B'
AF
C
D
B
EC?
ED?
ED?
EF?
DF?
BD2?
BF2?
22?
12?
5.
变式2:
如图3,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一动点,M、N分别是AB、BC边上的中点,则PM+PN的最小值
分析:
M、N是两定点,P是在直线AC上移动的一动点,作N关于AC的对称点G,由于四边形ABCD是菱形,所以G一定在DC上,且为DC的中点,连接MG交AC于P,四边形AMGD为平行四边形,连接PM、
D
A
BN
12
C
PN,则PM+PN最小,PM+PN=PM+PG=MG=BC=1
变式3:
如图,梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD=AD=1,?
B=60?
直
线MN为梯形的对称轴,P为MN上一点,那么PC+PD的最小值为
解:
C、D是两定点,P是直线MN上一动点,因为图形ABCD中,
AD//BC,AB=CD=AD=1,所以四边形ABCD为等腰梯形,而直线MN为梯形ABCD的对称轴,则D关于MN的对称点是A点,连接AC交MN于点P,
连接PD,则有PA=PD,要使PC+PD的值最小,就要使PA+PC最小,所以PC+PD=PA+PC=AC,因为?
B=60?
,可证得?
ABC为直角三角形,AC=ABtan?
B=1?
tan60?
=3,则PC+PD的最小值为3.
变式4:
如图,已知?
O的半径为r,C、D是直径AB同侧圆周上的两点,弧AC的度数为96?
,弧BD的度数为36?
动点P在AB上,则CP+PD的最小值为解:
如图,设D’是D关于直径AB的对称点,连接CD’交AB于P,则P点使CP+PD最小。
弧CD的度数为180?
?
96?
?
36?
?
48?
,弧CD’的度数为120?
,所以?
COD’=120?
从而易求CP+PD=CD’=r,所以
13
CP+PD的最小值为r.
本例利用“泵站问题”进行迁移变式,逐步探究了几种常见的图形中两条线段之和最短问题,这样有利于学生解题思想方法的形成、巩固,达到了透彻理解该基本问题的目的。
A
P
D'C
DB
篇三:
初中数学一题多变一题多解(五)
一题多解,一题多变(五)
原题条件或结论的变化
所谓条件或结论的变化,就是对某一问题的条件或结论进行变化探讨,并针对问题的内涵与外延进行深入与拓展,从而得到一类变式题组。
通过对问题的分析解决,使我们掌握某类问题的题型结构,深入认识问题的本质,提高解题能力。
例1求证:
顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。
变式1求证:
顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。
变式2求证:
顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。
变式3求证:
顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。
变式4顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形,变式5顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形,变式6顺次连接什么四边形
14
各边中点可以得到菱形,?
?
通过这样一系列变式训练,使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念,强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等,极大地拓展了学生的解题思路,活跃了思维,激发了兴趣。
一、几何图形形状的变化
如图1,分别以Rt?
ABC的三边为边向外作三个正方形,其面积分别为S1、S2、S3,则
S1、S2、S3之间的关系是
S1
C
S2
A
B
C
S1
A
S3
S2
B
A
S1
15
S2B
S3
S3
图1图2图3
变式1:
如图2,如果以Rt?
ABC的三边为直径向外作三个半圆,其面积分别为S1、S2、S3,则S1、S2、S3之间的关系是变式2:
如图3,如果以Rt?
ABC的三边为边向外作三个正三角形,其面积分别为
S1、S2、S3,则S1、S2、S3之间的关系是变式3:
如果以Rt?
ABC的三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别为S1、S2、S3,为使S1、S2、S3之间仍具有上述这种关系,所作三角形应满足什么条件,证明你的结论。
变式4:
如图4,梯形ABCD中,AB//DC,?
ADC?
?
BCD?
90?
且DC?
2AB,分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,则S1、S2、S3
之间的关系是
S2
S1
S3
S1
S2
S3C
16
DSS2
S3C
D
EC
D
图4图5图6
变式5:
如图5,梯形ABCD中,AB//DC,?
ADC?
?
BCD?
90?
且DC?
2AB,分别以
DA、AB、BC为边向梯形外作正三角形,其面积分别为S1、S2、S3,则S1、S2、S3
之间的关系是
变式6:
如图6,梯形ABCD中,AB//DC,?
ADC?
?
BCD?
90?
且DC?
2AB,分别以DA、AB、BC为直径向梯形外作半圆,其面积分别为S1、S2、S3,则S1、S2、S3
之间的关系是
上述题组设置由易到难,层次分明,把学生的思维逐渐引向深入。
这样的安排不仅使学生复习了勾股定理,又在逐渐深入的问题中品尝到成功的喜悦;既掌握了基础知识,也充分认识了问题的本质,可谓是一举两得。
二、图形内部结构的变化
例2.已知:
如图7,点C为线段AB上一点,?
ACM、?
CBN是等边三角形。
17
求证:
AN=BM
图7图8
证明:
?
?
ACM和?
CBN是等边三角形?
MC?
AC,CN?
CB,?
ACN?
?
MCB
?
?
ACN?
?
MCB
?
AN?
BM
变式1:
在例2中,连接DE,求证:
(1)?
DCE是等边三角形
(2)DE//AB
分析:
(1)可证?
ADC?
?
MEC,则DC=EC,因为?
DCE=60?
所以?
DCE是等边三角形。
(2)由
(1)易证?
EDC=?
ACM=60?
所以DE//AB变式2:
例2中,连接CF,求证:
CF平分?
AFB
分析:
过点C作CG?
AN于G,CH?
BM于H,由?
ACN?
?
MCB,可得到CG=CH,所以CF平分?
AFB
变式3:
如图8,点C为线段AB上一点,?
ACM、?
CBN是等边三角形,P是AN的中点,Q是BM的中点,求证:
?
CPQ是等边三角形证明:
?
?
ACN?
?
MCB
?
AN?
BM,?
ABM?
?
ANC又?
P、Q分别是AN、BM的中点
?
?
BCQ?
?
NCP
?
CQ?
CP,?
BCQ?
?
NCP
?
?
PCQ?
?
NCP?
?
NCQ?
?
BCQ?
?
NCQ?
?
NCB?
60?
18
?
?
CPQ是等边三角形
图7是一个很常见的图形,其中蕴含着很多的关系式,此题还可适当引导学生探索当点C不在线段AB上时所产生的图形中的一些结论,通过该题的变式训练,让学生利用自己已有的知识去探索、猜想,进而培养了学生思维的创造性。
三、因某一基本问题迁移的变化
例4如图9,要在燃气管道L上修建一个泵站,分别向A、B两镇
供气,问泵站修在什么地方使所用的输气管线最短,图9
分析:
设泵站应建在P处。
取点B关于L的对称点B’,如图1,PB’=PB,要使PA+PB最小只要PB’+PA最小,而两点之间距离最短,连接AB’与L的交点P即是泵站所建的位置。
本题特点:
一直线同旁有两定点,关键要在直线上确定动点的位置,使动点到定点的距离之和最短,我们常常把这类问题称作“泵站问题”。
变式1:
如图2,在?
ABC中,AC=BC=2,?
ACB=90?
D是BC的中点,E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值是
图2
解:
C、D是两定点,E是在直线AB上移动的一动点,以CA、CB为边作正方形ACBF,则C关于AB的对称点
19
一定是F,连接DF交AB于E,这时EC+ED最小。
因为D是BC的中点,在直角三角形FBD中,
B
A
L
P
B'
AF
C
D
B
EC?
ED?
ED?
EF?
DF?
BD2?
BF2?
22?
12?
5.
变式2:
如图3,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一动点,M、N分别是AB、BC边上的中点,则PM+PN的最小值
分析:
M、N是两定点,P是在直线AC上移动的一动点,作N关于AC的对称点G,由于四边形ABCD是菱形,所以G一定在DC上,且为DC的中点,连接MG交AC于P,四边形AMGD为平行四边形,连接PM、
D
A
BN
20
1、20以内退位减法。
C
PN,则PM+PN最小,PM+PN=PM+PG=MG=BC=1
①垂直于切线;②过切点;③过圆心.变式3:
如图,梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD=AD=1,?
B=60?
直
线MN为梯形的对称轴,P为MN上一点,那么PC+PD的最小值为
二次方程的两个实数根解:
C、D是两定点,P是直线MN上一动点,因为图形ABCD中,
AD//BC,AB=CD=AD=1,所以四边形ABCD为等腰梯形,而直线MN为梯形ABCD的对称轴,则D关于MN的对称点是A点,连接AC交MN于点P,
6.方向角:
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。
如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是;北偏东30°,南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°,北偏西60°。
连接PD,则有PA=PD,要使PC+PD的值最小,就要使PA+PC最小,所以PC+PD=PA+PC=AC,因为?
B=60?
,可证得?
ABC为直角三角形,AC=ABtan?
B=1?
tan60?
=,则PC+PD的最小值为.
(1)二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1,x2是对应一变式4:
如图,已知?
O的半径为r,C、D是直径AB同侧圆周上的两点,弧AC的度数为96?
,弧BD的度数为36?
动点P在AB上,则CP+PD的最小值为解:
如图,设D’是D关于直径AB的对称点,连接CD’交AB于P,则P点使CP+PD最小。
(4)直线与圆的位置关系的数量特征:
弧CD的度数为180?
?
96?
?
36?
?
48?
,弧CD’的度数为120?
,所以?
COD’=120?
从而易求CP+PD=CD’=3r,所
8.直线与圆的位置关系21
1、熟练计算20以内的退位减法。
以CP+PD的最小值为r.
本例利用“泵站问题”进行迁移变式,逐步探究了几种常见的图形中两条线段之和最短问题,这样有利于学生解题思想方法的形成、巩固,达到了透彻理解该基本问题的目的。
A
②tanA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比;P
分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:
D'C
DB
22
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