专题二勾股定理与探究性问题.docx
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专题二勾股定理与探究性问题.docx
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专题二勾股定理与探究性问题
勾股定理的运用二
——与分类讨论、最短路径、坐标问题、三角形的存在性问题等探究问题
一、勾股定理与分类讨论思想的运用
(1)边的属性不确定,是直角边还是斜边;
1、(易错)已知一个直角三角形的两边长分别为5和12,则第三边长是_________
(2)高的位置不确定,在三角形内还是三角形外,这种情况也等同于这个三角形是锐角、直角、钝角三角形中的哪一种?
2、(易错)在△ABC中,AB=10,AC=
,BC边上的高AD=6,则BC等于()
A、10B、8C、6或10D、8或10
(3)等腰三角形的腰和底不确定时
3、已知等腰三角形的两边为10和12,则这个三角形的面积是____________
(4)没有图形,且点的位置不确定,重点语句如:
在直线AB上,包含两层意思,在线段AB上,或线段AB的延长线上
4、在△ABC中,AB=
,BC=1,∠ABC=45°,以AB为一边作等腰三角形ABD,使∠ABD=90°,连接CD,则线段CD的长为__________
5、Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,以AC为一边在△ABC外部(点D与点B不在AC的同侧)作等腰直角三角形ACD,则线段BD的长为___________
6、Rt△ABC中,∠A=90°,BC=4,且∠ACB=60°,点P是直线AB上不同于A,B的一点,且∠ACP=30°,则PB的长为________________
二、最短路径
类型一:
立体图形上求最短路径,需把立体图形展开,连接起点与终点,构造两点之间线段最短;
图例
圆柱
长
方
体
阶梯
问题
基本
思路
将立体图形展开成平面图形¡ú利用¡°两点之间,线段最短¡±确定最短路线¡ú构造直角三角形¡ú利用勾股定理求解.
1、如图,有一圆柱形油罐,已知:
油罐的底面周长是12m,高AB是5m,要从A点环绕油罐建梯子,正好到A的正上方B点,梯子最短需要()
A、12mB、13mC、17mD、20m
变式:
(2018·黄冈)如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为__________cm.(杯壁厚度不计)
2、如图,长方体的长为5cm,宽为4cm,高为3cm,一只蚂蚁在长方体的表面爬行,从点A爬到点B的最短路径是多少厘米?
类型二:
利用垂线段最短求线段和最短,特征:
已知一定点确定两动点求线段和最短,常常有或隐含有角平分线,需过定点作对边的垂线段,得最短线段;
3、如图,在锐角三角形ABC中,BC=
,∠ABC=45°,BD平分∠ABC,M,N分别是BD,BC上的动点,则CM+MN的最小值是___________
4、如图,在△ABC中,AB=AC=5,D为BC中点,AD=4,P为AD上任意一点,E为AC上任意一点,则PC+PE的最小值是___________________
第3题第4题第5题
类型三:
利用轴对称构造两点之间线段最短,常有两定点确定一动点或两定点确定两动点或一定点确定两动点等情形,主要方法是把起点和终点利用轴对称转化要经过的直线的两侧形成两点之间线段最短。
5、如图,∠AOB=30°,OC=5,OD=12,点E,F分别是射线OA,OB上的动点,则CF+EF+DE的最小值是_________________________
6、如图,∠AOB=30°,点M、N分别是射线OA、OB
上的动点,OP平分∠AOB,且OP=6,当△PMN的周长
取最小值时,四边形PMON的面积为___________
三、在坐标中求距离或求点的坐标
1、如图,在平面直角坐标系中有两点A(5,0)和B(0,4),则这两点之间的距离是________
变式1:
若点A(2,5),点B(5,1),则AB两点之间的距离是_________________
方法归纳:
把点的横纵坐标转化为直角三角形的直角边长度,利用构建的直角三角形求两点之间的距离。
由此可以推广:
任意两点间的距离公式为:
若点A(
),点B(
),则AB两点之间的距离是_________________
2、如图,在平面直角坐标系中,A(1,3),试在x轴上找一点P,使△OAP为等腰三角形,求出P点的坐标.(提供了三个备用图形,分别以线段的两个端点为圆心,线段的长为半径画圆,弧与坐标轴的交点即为所求;再以线段为底作底的垂直平分线,垂直平分线与坐标轴的交点即为所求,即为“两圆一线”法确定等腰三角形)
四、勾股定理与直角三角形、等腰三角形的存在性问题
1、如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A. C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为_____________
2、如图,Rt△ABC纸片中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点D在边BC 上,以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D,AB′与边BC交于点E.若△DEB′为直角三角形,则BD的长是___.
3、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动,设运动的时间为ts.
(1)求BC边的长;
(2)当△ABP为直角三角形时,求t的值.(提示:
哪个角可能是直角?
)
五、利用勾股定理证线段关系
类型一:
直角三角形+倍长中线型
1、
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,E,F分别在AC和BC上,且DE⊥DF。
求证:
.
类型二:
双等腰三角形的共顶点旋转型
2、如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,
ACB=
ECD=90°.D为AB边上一点.求证:
(1)△ACE
△BCD;
(2)AD
+DB
=DE
.
3、已知:
△ABC是等腰直角三角形,动点P在斜边AB所在的直线上,以PC为直角边作等腰三角形PCQ,其中∠PCQ=90°,探究并解决下列问题:
(1)如图1,若点P在线段AB上,且AC=1+
,PA=
,则:
①线段PB=_________,PC=_________;
②猜想:
PA2,PB2,PQ2三者之间的数量关系为___________________________;
(2)如图2,若点P在AB的延长线上,在
(1)中所猜想的结论仍然成立,请你利用图2给出证明过程.
类型三:
半角模型中的45°与90°;60°与120°【从构造辅助线到构造辅助形】
4、如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,试说明理由.
(1)思路梳理:
∵AB=AD,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合.
∵∠ADC=∠B=90°,∴∠FDG=180°,点F、D、G共线.
根据_______,易证△AFG≌________,得EF=BE+DF.
(2)类比引申:
如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系___________ 时,仍有EF=BE+DF.
(3)联想拓展:
如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°.猜想BD、DE、EC应满足的等量关系,并写出推理过程.
5、阅读下面材料,并解决问题:
(1)如图①等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A.B. C的距离分别为3,4,5,求∠APB的度数。
为了解决本题,我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,此时△ACP′≌△ABP,这样就可以利用旋转变换,将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中,从而求出∠APB=___;
(2)基本运用
请你利用第
(1)题的解答思想方法,解答下面问题
已知如图②,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:
EF2=BE2+FC2;
(3)能力提升
如图③,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,点O为Rt△ABC内一点,连接AO,BO,CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,求OA+OB+OC的值。
6、如图1,在正方形ABCD中,点E、F是BC、CD边上的点,且∠EAF=45°,对角线BD交AE于点M,交AF于点N。
(1)求证:
∠AMD=∠NAB;
(2)探究BM、MN、ND三者之间的数量关系;
(3)连接EF,试探究BE、EF、DF之间的数量关系;
7、阅读下面的材料
(1)如图①,在等边三角形ABC内,点P到顶点A,B,C的距离分别是3、4、5,则∠APB=___°,由于PA,PB,PC不在同一三角形中,为了解决本题,我们可以将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACP′处,连接PP′,此时,△ACP′≌___,就可以利用全等的知识,进而将三条线段的长度转化到一个三角形中,从而求出∠APB的度数;
(2)请你利用第
(1)题的解答方法解答:
如图②,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,D、E为BC上的点,且∠DAE=45°,求证:
BD2+EC2=DE2;
(3)如图③,在△ABC中,∠CAB=120°,AB=AC,∠EAD=60°,BC=3+
,若以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形时,求BE的长。
8、勾股定理是数学史上非常重要的一个定理,2000多年来,人们对它进行了大量的研究,它的证明方法多达300余种.下面是欧几里得编纂的《原本》中证明勾股定理的几个步骤,请同学们仔细阅读并解答相关问题:
如图,分别是以Rt△ABC的三边为边长向外作正方形ABDE、正方形BCFG、正方形ACHI,
(1)连接BI、CE,求证:
△ABI≌△AEC.
(2)过点B作AC的垂线,交AC于点M,交IH于点N.
①试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等;
②请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形。
(3)由第
(2)题可得:
正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积=_________________
即在Rt△ABC中,AB2+BC2=_____________________
勾股定理的运用二
——与分类讨论、最短路径、坐标问题、三角形的存在性问题
一、勾股定理与分类讨论思想的运用
(1)边的属性不确定,是直角边还是斜边;
1、(易错)已知一个直角三角形的两边长分别为5和12,则第三边长是_________
(2)高的位置不确定,在三角形内还是三角形外,这种情况也等同于这个三角形是锐角、直角、钝角三角形中的哪一种?
2、(易错)在△ABC中,AB=10,AC=
,BC边上的高AD=6,则BC等于()
A、10B、8C、6或10D、8或10
(3)等腰三角形的腰和底不确定时
3、已知等腰三角形的两边为10和12,则这个三角形的面积是____________
(4)没有图形,且点的位置不确定,重点语句如:
在直线AB上,包含两层意思,在线段AB上,或线段AB的延长线上
4、在△ABC中,AB=
,BC=1,∠ABC=45°,以AB为一边作等腰三角形ABD,使∠ABD=90°,连接CD,则线段CD的长为__________
5、Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,以AC为一边在△ABC外部(点D与点B不在AC的同侧)作等腰直角三角形ACD,则线段BD的长为___________
6、Rt△ABC中,∠A=90°,BC=4,且∠ACB=60°,点P是直线AB上不同于A,B的一点,且∠ACP=30°,则PB的长为________________
二、最短路径
类型一:
立体图形上求最短路径,需把立体图形展开,连接起点与终点,构造两点之间线段最短;
图例
圆柱
长
方
体
阶梯
问题
基本
思路
将立体图形展开成平面图形¡ú利用¡°两点之间,线段最短¡±确定最短路线¡ú构造直角三角形¡ú利用勾股定理求解.
1、如图,有一圆柱形油罐,已知:
油罐的底面周长是12m,高AB是5m,要从A点环绕油罐建梯子,正好到A的正上方B点,梯子最短需要()
A、12mB、13mC、17mD、20m
变式:
(2018·黄冈)如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为__________cm.(杯壁厚度不计)
2、如图,长方体的长为5cm,宽为4cm,高为3cm,一只蚂蚁在长方体的表面爬行,从点A爬到点B的最短路径是多少厘米?
类型二:
利用垂线段最短求线段和最短,特征:
已知一定点确定两动点求线段和最短,常常有或隐含有角平分线,需过定点作对边的垂线段,得最短线段;
3、如图,在锐角三角形ABC中,BC=
,∠ABC=45°,BD平分∠ABC,M,N分别是BD,BC上的动点,则CM+MN的最小值是___________
4、如图,在△ABC中,AB=AC=5,D为BC中点,AD=4,P为AD上任意一点,E为AC上任意一点,则PC+PE的最小值是___________________
第3题第4题第5题
类型三:
利用轴对称构造两点之间线段最短,常有两定点确定一动点或两定点确定两动点或一定点确定两动点等情形,主要方法是把起点和终点利用轴对称转化要经过的直线的两侧形成两点之间线段最短。
5、如图,∠AOB=30°,OC=5,OD=12,点E,F分别是射线OA,OB上的动点,则CF+EF+DE的最小值是_________________________
6、如图,∠AOB=30°,点M、N分别是射线OA、OB
上的动点,OP平分∠AOB,且OP=6,当△PMN的周长
取最小值时,四边形PMON的面积为___________
三、在坐标中求距离或求点的坐标
1、如图,在平面直角坐标系中有两点A(5,0)和B(0,4),则这两点之间的距离是________
变式1:
若点A(2,5),点B(5,1),则AB两点之间的距离是_________________
方法归纳:
把点的横纵坐标转化为直角三角形的直角边长度,利用构建的直角三角形求两点之间的距离。
由此可以推广:
任意两点间的距离公式为:
若点A(
),点B(
),则AB两点之间的距离是_________________
2、如图,在平面直角坐标系中,A(1,3),试在x轴上找一点P,使△OAP为等腰三角形,求出P点的坐标.(提供了三个备用图形,分别以线段的两个端点为圆心,线段的长为半径画圆,弧与坐标轴的交点即为所求;再以线段为底作底的垂直平分线,垂直平分线与坐标轴的交点即为所求,即为“两圆一线”法确定等腰三角形)
四、勾股定理与直角三角形、等腰三角形的存在性问题
1、如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A. C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为_____________
2、如图,Rt△ABC纸片中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点D在边BC 上,以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D,AB′与边BC交于点E.若△DEB′为直角三角形,则BD的长是___.
3、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动,设运动的时间为ts.
(1)求BC边的长;
(2)当△ABP为直角三角形时,求t的值.(提示:
哪个角可能是直角?
)
五、利用勾股定理证线段关系
类型一:
直角三角形+倍长中线型
1、
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,E,F分别在AC和BC上,且DE⊥DF。
求证:
.
类型二:
双等腰三角形的共顶点旋转型
2、如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,
ACB=
ECD=90°.D为AB边上一点.求证:
(1)△ACE
△BCD;
(2)AD
+DB
=DE
.
3、已知:
△ABC是等腰直角三角形,动点P在斜边AB所在的直线上,以PC为直角边作等腰三角形PCQ,其中∠PCQ=90°,探究并解决下列问题:
(1)如图1,若点P在线段AB上,且AC=1+
,PA=
,则:
①线段PB=_________,PC=_________;
②猜想:
PA2,PB2,PQ2三者之间的数量关系为___________________________;
(2)如图2,若点P在AB的延长线上,在
(1)中所猜想的结论仍然成立,请你利用图2给出证明过程.
类型三:
半角模型中的45°与90°
4、如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,试说明理由.
(1)思路梳理:
∵AB=AD,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合.
∵∠ADC=∠B=90°,∴∠FDG=180°,点F、D、G共线.
根据_______,易证△AFG≌________,得EF=BE+DF.
(2)类比引申
如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系___________ 时,仍有EF=BE+DF.
(3)联想拓展
如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°.猜想BD、DE、EC应满足的等量关系,并写出推理过程.
5、阅读下面材料,并解决问题:
(1)如图①等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A.B. C的距离分别为3,4,5,求∠APB的度数。
为了解决本题,我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,此时△ACP′≌△ABP,这样就可以利用旋转变换,将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中,从而求出∠APB=___;
(2)基本运用
请你利用第
(1)题的解答思想方法,解答下面问题
已知如图②,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:
EF2=BE2+FC2;
(3)能力提升
如图③,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,点O为Rt△ABC内一点,连接AO,BO,CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,求OA+OB+OC的值。
(1)∵△ACP′≌△ABP,
∴AP′=AP=3、CP′=BP=4、∠AP′C=∠APB,
由题意知旋转角∠PA P′=60°,
∴△AP P′为等边三角形,
P P′=AP=3,∠A P′P=60°,
易证△P P′C为直角三角形,且∠P P′C=90°,
∴∠APB=∠AP′C=∠A P′P+∠P P′C=60°+90°=150°;
故答案为:
150°;
(2)如图2,把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′,
由旋转的性质得,AE′=AE,CE′=CE,∠CAE′=∠BAE,∠ACE′=∠B,∠EAE′=90°,
∵∠EAF=45°,
∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC−∠EAF=90°−45°=45°,
∴∠EAF=∠E′AF,
在△EAF和△E′AF中,
AE=AE′,∠EAF=∠E′AF,AF=AF
∴△EAF≌△E′AF(SAS),
∴E′F=EF,
∵∠CAB=90°,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠E′CF=45°+45°=90°,
由勾股定理得,E′F2=CE′2+FC2,
即EF2=BE2+FC2.
(3)如图3,将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处,连接OO′,
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,
∴AB=2,
∴BC=AB2−AC2−−−−−−−−−−√=3√,
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,
∴△A′O′B如图所示;
∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°
∵∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,
∴AB=2AC=2,
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,得到△A′O′B,
∴A′B=AB=2,BO=BO′,A′O′=AO,
∴△BOO′是等边三角形,
∴BO=OO′,∠BOO′=∠BO′O=60°,
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°,
∴C、O、A′、O′四点共线,
在Rt△A′BC中,A′C=BC2+A′B2−−−−−−−−−−−√=(3√)2+22−−−−−−−−−−√=7√
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=7√.
阅读下面的材料
(1)如图①,在等边三角形ABC内,点P到顶点A,B,C的距离分别是3、4、5,则∠APB=___°,由于PA,PB,PC不在同一三角形中,为了解决本题,我们可以将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACP′处,连接PP′,此时,△ACP′≌___,就可以利用全等的知识,进而将三条线段的长度转化到一个三角形中,从而求出∠APB的度数;
(2)请你利用第
(1)题的解答方法解答:
如图②,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,D、E为BC上的点,且∠DAE=45°,求证:
BD2+EC2=DE2;
(3)如图③,在△ABC中,∠CAB=120°,AB=AC,∠EAD=60°,BC=3+
,若以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形时,求BE的长。
(1)将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,
∴△BAP≌△CAP′,
∴AB=AC,AP=AP′,∠BAP=∠CAP′,
∴∠BAC=∠PAP′=60°,
∴△APP′是等边三角形,
∴∠APP′=60°,
∵P′C=PB=4,PP′=PA=3,PC=5,
∴PC2=25=P'P2+P'C2=9+16,
∴∠PP′C=90°,
∴△PP′C是直角三角形,
∴∠APB=∠AP′C=∠APP′+∠P′PC=60°+90°=150°,
∴∠BPA=150°;
故答案为:
150,△ABP
(2)如图2,把△ACE绕点A顺时针旋转90°,得到△ABG.连接DG,
则△ACE≌△ABG.
∴AG=AE,BG=CE,∠ABG=∠ACE=45°.
∵∠BAC=90°,∠GAE=90°.
∴∠GAD=∠DAE=45°,
在△ADG和△ADE中,
AG=AE
∠GAD=∠DAE
AD=AD,
∴△ADG≌△ADE(SAS).
∴ED=GD,
又∵∠GBD=90°,
∴BD2+BG2=DG2,
即BD2+EC2=DE2;
(3)如图3,将△AEC绕点A顺时针旋转120°,得到△AFB,
∴△AEC≌△AFB,
∴AF=AE,∠ABF=∠ACB,EC=BF,∠EAF=120°
∵∠CAB=120°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=∠ABF=30°
∴∠FBD=6
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- 专题 勾股定理 探究性 问题