届广东省深圳实验珠海一中等六校高三第一次联考数学理试题.docx
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届广东省深圳实验珠海一中等六校高三第一次联考数学理试题
广东省六校(广州二中,深圳实验,珠海一中,中山纪念,东莞中学,惠州一中)
2019届高三第一次联考
理科数学
本试卷共6页,23小题,满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时,选项出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目定区域内相应位置上;如需要改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合
,
,则
∁
A.
B.
C.
D.
2.若复数
满足
,则
的共轭复数的虚部为
A.
B.
C.
D.
3.记
为等差数列
的前
项和.若
,
,则
A.
B.
C.
D.
4.在区间
上随机取两个实数
,记向量
,
,则
的
概率为
A.
B.
C.
D.
5.已知直线
的倾斜角为
,直线
与双曲线
(
)的左、右两支分别交
于
、
两点,且
、
都垂直于
轴(其中
、
分别为双曲线
的左、右焦点),则该双曲线的离心率为
A.
B.
C.
D.
6.在△
中,
为
的中点,点
满足
,则
A.
B.
C.
D.
7.某几何体的三视图如右图所示,数量单位为
,它的体积是
A.
B.
C.
D.
8.已知
是函数
的最大值,
若存在实数
使得对任意实数
总有
成立,则
的最小值为
A.
B.
C.
D.
9.定义在
上的函数
满足
及
,且在
上有
,
则
A.
B.
C.
D.
10.抛物线
上有一动弦
,中点为
,且弦
的长度为
,则点
的纵坐标的最小值为
A.
B.
C.
D.
11.已知三棱锥
中,
,
,
,
,且二面角
的大小为
,则三棱锥
外接球的表面积为
A.
B.
C.
D.
12.已知数列
满足
.设
,
为数列
的前
项和.若
(常数),
,则
的最小值是
A.
B.
C.
D.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若
满足约束条件
则
的最大值为.
14.若
,则
的展开式中常数项为.
15.已知点
及圆
,一光线从点
出发,经
轴上一点
反射后与圆相切于点
,则
的值为.
16.已知函数
满足
,则
的单调递减区间是
.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
在△
中,角
,
,
的对边分别为
,
,
,且
.
(1)求角
;
(2)若
,
,求△
的面积.
18.(12分)
如图甲,设正方形
的边长为3,点
、
分别在
、
上,且满足
,
.如图乙,将直角梯形
沿
折到
的位置,使得点
在平面
上的射影
恰好在
上.
(1)证明:
平面
;
(2)求平面
与平面
所成二面角的余弦值.
19.(12分)
某市大力推广纯电动汽车,对购买用户依照车辆出厂续驶里程
的行业标准,予以地方财政补贴.其补贴标准如下表:
出厂续驶里程
(公里)
补贴(万元/辆)
3
4
4.5
2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车,统计其出厂续驶里程
,得到频率分布直方图如上图所示.用样本估计总体,频率估计概率,解决如下问题:
(1)求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值;
(2)某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数,得如下的频数分布表:
辆数
天数
20
30
40
10
(同一组数据用该区间的中点值作代表)
2018年2月,国家出台政策,将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来.该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备.现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台,每台每天最多可以充电30辆车,每天维护费用500元/台;交流充电桩1万元/台,每台每天最多可以充电4辆车,每天维护费用80元/台.
该企业现有两种购置方案:
方案一:
购买100台直流充电桩和900台交流充电桩;
方案二:
购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.
假设车辆充电时优先使用新设备,且充电一辆车产生25元的收入,用2017年的统计数据,分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.(日利润
日收入
日维护费用).
20.(12分)
已知圆
与定点
,动圆
过
点且与圆
相切.
(1)求动圆圆心
的轨迹
的方程;
(2)若过定点
的直线
交轨迹
于不同的两点
、
,求弦长
的最大值.
21.(12分)
已知函数
.
(1)求函数
在
上的值域;
(2)若
,
恒成立,求实数
的取值范围.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4―4:
坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系中,将曲线
向左平移2个单位,再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的
,得到曲线
,以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,
的极坐标方程为
.
(1)求曲线
的参数方程;
(2)已知点
在第一象限,四边形
是曲线
的内接矩形,求内接矩形
周长的最大值,并求周长最大时点
的坐标.
23.[选修4―5:
不等式选讲](10分)
已知
,
.
(1)当
时,求不等式
的解集;
(2)若
,且当
时,
恒成立,求
的取值范围.
2019届高三六校第一次联考理科数学试题参考答案
一、选择题
1.A2.C3.D4.B5.D6.A7.C8.B9.D10.A11.D12.C
二、填空题
13.
14.
15.
16.
(注意:
写闭区间也给分)
三、解答题
17.解析:
(1)因为
,由余弦定理,得
,所以……………………………………………………2分
,由正弦定理,得
,……………………………4分
又
,
,所以
,
,……………………………………………………5分
所以
.……………………………………………………6分
(2)由
,
,得
,
,……………………7分
所以
,………8分
由正弦定理
,得
,……………………………………………………10分
所以△
的面积为
.……………………………12分
18.解析:
(1)在图甲中,易知
,从而在图乙中有
,
平面
,
平面
,
平面
.……………………………………………………4分
(2)法一:
(传统几何法)略解如下:
过点
作
于
,连接
,
易证(略),
即为所求二面角的平面角,
易求得:
,
,
,
在
中,
.……………………………………………………12分
法二:
(向量法)
如图,在图乙中作
垂足为
连接
由于
平面
,则
平面
则
,图甲中有
,
又
,则
、
、
三点共线.
设
的中点为
则
可证
,
,则
,
又由
,得,
,
于是,
,
在
中,
,………………………………………………8分
作
交
于点
,则
.
以点
为原点,分别以
、
、
所在直线为
、
、
轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,
则
,
则
是平面
的一个法向量,
易求得平面
的一个法向量
…………………………………………10分
设平面
与平面
所成二面角为
,可以看出,
为锐角,
,
所以,平面
与平面
所成二面角的余弦值为
.………………………………12分
19.解析:
(1)依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为:
补贴(万元/辆)
3
4
4.5
概率
0.2
0.5
0.3
……………………………………………………3分
纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为
(万元).
……………………………………………………4分
(2)由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列:
辆数
6000
7000
8000
9000
概率
0.2
0.3
0.4
0.1
若采用方案一,100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为
(辆);……………………………………………………6分
可得实际充电车辆数的分布列如下表:
实际充电辆数
6000
6600
概率
0.2
0.8
于是方案一下新设备产生的日利润均值为
(元);……………………………8分
若采用方案二,200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为
(辆);……………………………………………………10分
可得实际充电车辆数的分布列如下表:
实际充电辆数
6000
7000
7600
概率
0.2
0.3
0.5
于是方案二下新设备产生的日利润均值为
(元).………………12分
20.解析:
(1)设圆
的半径为
,题意可知,点
满足:
,
,
所以,
,……………………………………………………3分
由椭圆定义知点
的轨迹为以
为焦点的椭圆,且
进而
,故轨迹
方程为:
.……………………………………………5分
(2)当直线
斜率不存在时,
,
或
,
,
此时弦长
.……………………………………………6分
当直线
斜率存在时,设
的方程为:
,
由
消去
得:
,
由△
得
,
设
、
,可得:
,
,……………………………………………………7分
,………9分
令
,则
,
,
,
当
时,此时
,
.…………………………………………11分
综上,弦长
的最大值为
.……………………………………………………12分
21.解析:
(1)易知
,…………………………………………1分
在
上单调递减,
,…………………………………………3分
时,
,…………………………………………4分
在
上的值域为
.…………
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