《数字信号处理》第三版课后习题答案.docx

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《数字信号处理》第三版课后习题答案

数字信号处理课

答案

1.2教材第一章习题解答

1.用单位脉冲序列（n）及其加权和表示题1图所示的序列。

解：

x（n）（n4）2（n2）（n1）2（n）（n1）2（n2）4（n3）

0.5（n4）2（n6）

2n5,4n1

2.给定信号：

x（n）6,0n4

0,其它

（1）画出x（n）序列的波形，标上各序列的值；

（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示x（n）序列；

（3）令xi（n）2x（n2），试画出Xi（n）波形；

（4）令x2（n）2x（n2），试画出x2（n）波形；

（5）令x3（n）2x（2n），试画出x3（n）波形。

解：

（1）x（n）的波形如题2解图

（一）所示。

（2）

x（n）3（n4）（n3）（n2）3（n1）6（n）6（n1）6（n2）6（n3）6（n4）

（3）X1（n）的波形是x（n）的波形右移2位，在乘以2,画出图形如题

2解图

（二）所示。

⑷X2（n）的波形是x（n）的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题

2解图（三）所示。

（5）画X3（n）时，先画x（-n）的波形，然后再右移2位，X3（n）波形如题2解图（四）所示。

3.判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

（1）x（n）Acos（3n），A是常数；

78

j（ln）

（2）x（n）e8

解：

（1）w-,-14，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；

7w3

（2）w-,-16，这是无理数，因此是非周期序列。

8w

5.设系统分别用下面的差分方程描述，x（n）与y（n）分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

（1）

y（n）

x（n）2x（n

1）3x（n2）；

（3）

y（n）

x（nn°）,

n。

为整常数；

（5）

y（n）

x2（n）；

（7）

y（n）

n

x（m）。

m0

解：

（1）

令:

输入为x（n

no），输出为

y'（n）

x（n

n°）2x（ni

no1）3x（nno2）

y（nno）x（nn°）2x（nn°1）3x（nn°2）y（n）

故该系统是时不变系统。

y（n）T[ax1（n）bx2（n）]

a%（n）bx2（n）2（a%（n1）bx2（n1））3（a%（n2）bx2（n2））

T[ax1（n）]ax1（n）2ax1（n1）3ax1（n2）

T[ax1（n）bx2（n）]aT[x1（n）]bT[x2（n）]

故该系统是线性系统。

面予以证

bT[x2（n）]

（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，明。

令输入为x（nn1），输出为y'（n）x（nn1n0），因为

Iy（nn1）x（nn1n0）y'（n）

故延时器是一个时不变系统。

又因为

T[ax1（n）bx2（n）]ax1（nn0）bx2（nn0）aT[x1（n）]

故延时器是线性系统。

2

（5）y（n）x2（n）

令：

输入为x（nn0），输出为y'（n）x2（nn0），因为2'

y（nn0）x（nn0）y（n）

故系统是时不变系统。

又因为

2T[ax1（n）bx2（n）]（ax1（n）bx2（n））

aT[x1（n）]bT[x2（n）]22

ax1（n）bx2（n）

因此系统是非线性系统。

n（7）y（n）x（m）

m0

n令：

输入为x（nn0），输出为y'（n）x（mn0），因为

m0

nn0

y（nn0）x（m）y'（n）

m0

故该系统是时变系统。

又因为

T[axj（n）bx2（n）]（ax1（m）bx2（m））aT[xMn）]bT[x2（n）]

m0

故系统是线性系统。

6.给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。

1N1

（1）y（n）-x（nk）；

Nko

nn。

（3）y（n）x（k）；

knn°

（5）y（n）ex（n）。

解：

（1）只要N1,该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n

时刻以前的输入有关。

如果x（n）M，则y（n）M，因此系统是稳定

系统。

nn。

（3）如果x（n）M，|y（n）x（k）2n。

1M，因此系统是稳定的。

knn。

系统是非因果的，因为输出还和x（n）的将来值有关.

（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x（n）的未来值。

如

果x（n）M，则y（n）ex（n）同eM，因此系统是稳定的。

7.设线性时不变系统的单位脉冲响应h（n）和输入序列x（n）如题7图所示，要求画出输出输出y（n）的波形。

解：

解法

（1）采用图解法

y（n）x（n）h（n）

x（m）h（nm）

图解法的过程如题7解图所示。

解法

（2）采用解析法。

按照题7图写出x（n）和h（n）的表达式：

x（n）（n2）（n1）2（n3）

1h（n）2（n）（n1）（n2）

2

因为x（n）*（n）x（n）

x（n）*A（nk）Ax（nk）

1y（n）x（n）*[2（n）（n1）二（n2）]

所以2

1

2x（n）x（n1）x（n2）

2

将x（n）的表达式代入上式，得到

y（n）2（n2）（n1）0.5（n）2（n1）（n2）

4.5（n3）2（n4）（n5）

8.设线性时不变系统的单位取样响应h（n）和输入x（n）分别有以下三

种情况，分别求出输出y（n）。

（1）

h（n）

Rdn）,x（n）

R5（n）；

（2）

h（n）

2Ri（n）,x（n）

（n）

（n2）；

（3）

h（n）

0.5nu（n）,Xn

R5（n）。

解：

（1）

y（n）

x（n）*h（n）R4（m）R5（nm）

m

先确定求和域，由Ri（m）和Rs（nm）确定对于m的非零区间如下:

0m3,n4mn

根据非零区间，将

n分成四种情况求解:

①n0,y（n）0

②0

n3,y（n）1n1

m0

③4

3

n7,y（n）18n

mn4

④7

n,y（n）0

最后结果为

0,

n0,n7

y（n）

n1,

0n3

8n,

4n7

y（n）的波形如题8解图

（一）

所示。

（2）

y（n）2R4（n）*[（n）

（n2）]2R4（n）2R4（n2）

2[（n）（n1）（n4）（n5）]

y（n）的波形如题8解图

（二）所示.

（3）

y（n）x（n）*h（n）

R5（m）0.5n

mu（nm）

n

0.5

m

R5（m）0.5mu（n

m）

y（n）对于m的非零区间为

m4,m

0,y（n）0

n4,y（n）0.5

n

n0.5

m0

10.5n1

10.51

0.5n

（10.5n1）0.5n

20.5n

n,y（n）0.5n

4

0.5

m0

°^0.5n31

0.5

n

0.5

最后写成统一表达式:

y（n）

（2

0.5n）R5（n）31

0.5nu（n5）

11.设系统由下面差分方程描述:

11

y（n）gy（n1）x（n）㊁乂⑴1）；

设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应

解：

令：

x（n）（n）

11

h（n）才（n1）（n）㊁（n1）

11

n0,h（0）2h

（1）（0）-

（1）1

11

n1,h

（1）?

h（0）

（1）1（0）1

11

n2,h

（2）h

（1）—

22

112

n3,h（3）2h

（2）Q

归纳起来，结果为

h（n）

（1）n1u（n1）（n）

12.有一连续信号Xa（t）cos（2ft）,式中，f20Hz,—

2

（1）求出Xa（t）的周期。

（2）用采样间隔T0.02s对Xa（t）进行采样，试写出采样信号%（t）的表达式。

（3）画出对应％（t）的时域离散信号（序列）X（n）的波形，并求出x（n）的

周期。

第二章

教材第二章习题解答

1.设X（ejw）和Y（ejw）分别是x（n）和y（n）的傅里叶变换，试求下面序列的

傅里叶变换：

（1）

x（nn0）；

（2）

x（n）；

（3）

x（n）y（n）；

（4）

x（2n）。

解：

（1）

FT[x（nn0

）]

n

x（n

令n

nn0,nn

'n0，

则

FT[x（n

n0）

（2）

FT[x*（n）]

*

x*（n

n）e

（3）

FT[x（n）]

x（

n

n）e

令n'

n，则

n

jwn

jwn

n0）e

[

n

jwn

'jw（nn0）

x（n）e0

ejwn0X（ejw）

FT[x（

n）]

4）

证明：

令k=n-m，则

x（n）ejwn]*

X*（ejw）

jwn

I

x（n'）e

X（ejw）

FT[x（n）*

x（n）*y（n）

FT[x（n）*y（n）]

y（n）]

X（ejw）Y（ejw）

x（m）y（nm）

m

x（m）y（nm）]ejwn

FT[x（n）*y（n）]

jwkjwn

[x（m）y（k）]ee

km

jwkjwn

y（k）ex（m）e

km

X（ejw）Y（ejw）

2.已知X（ejw）

1,w

0,Wo

Wo

w

求X（ejw）的傅里叶反变换

x（n）

解:

3.线性时不变系统的频率响应

x（n）丄woejwndwsnwn

2won

（传输函数）H（ejw）H（ejw）ej（w）,如果单

位脉冲响应h（n）为实序列，试证明输入x（n）Acos（w°n）的稳态响应为

y（n）AH（ejw）cos[w°n（w。

）]。

解：

假设输入信号x（n）ejw0n，系统单位脉冲相应为h（n）,系统输出为

jw°n

y（n）h（n）*x（n）h（m）ejwo（nm）ejw0nh（m）ejw0mH（ejw0）e

mm

上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。

x（n）Acos（W0n）丄A[ejw°nejejw）nej]

2

y（n）】A[ejejw°nH（ejw0）ejejw°nH（ejw°）]

2

上式中

H（ejw）

XA[ejejw0n

2

H（ejw0）e

j（W°）jjw°n

ee

H（ejw0）e

j（w°）]

是w的偶函数，相位函数是w的奇函数,

H（ejw）H（ejw）,（w）（w

y（n）舟AH（ejw0）[ejejw0nej（w0）ejejw°nej他）]

AH（ejw0）cos（w0n（w0））

4.设x（n）

1,\0,1将x（n）以4为周期进行周期延拓，形成周期序列

0,其它

%n），画出x（n）和％n）的波形，求出％n）的离散傅里叶级数X（k）和傅

里叶变换。

解：

画出x（n）和%n）的波形如题4解图所示。

焰k）DFS[%n）]

j4\j4ke4（e4

3j^kn

%n）e4

n0

j"4k

4）2cos（k）?

e

4

1j-kn

e2

0

j4k

X（k）以4为周期，或者

1..

X（k）ej2

n0

j1kj1kj」k

e2（e2e2）

j1kj1kj-k

e4（e4e4）

.1.

sink

2

.1.

sink

4

X（k）以4为周期

2

X（ejw）FT[%n）]

2

檢）（wk）

4

5.设如图所示的序列

成下列运算:

（1）X（ej0）；

（2）X（ejw）dw；

X%k）（w

2k

尹）

匕k

cos（—k）e4（wk）

k4"27

x（n）的FT用X（ejw）表示，不直接求出X（ejw），完

（5）X（ejw）dw

解：

7

（1）X（ej0）x（n）6

n3

（2）

X（ejw）dwx（0）?

24

（5）

22

X（ejw）dw2x（n）28

6•试求如下序列的傅里叶变换：

（2）X2（n）

（3）X3（n）

1

1（n1）（n）

anu（n）,0a1

1（n1）；

解:

（2）

X2（ejw）

x2（n）ejwn

1.

jw

e

2

1.

jw

e

2

cosw

（3）

X3（ejw）

n

njwn

au（n）e

njwnae

n0

1_

jwae

7.设:

（1）x（n）是实偶函数，

（2）

x（n）的傅里叶

x（n）是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下,

变换性质。

解:

令X（ejw）

x（n）e

jwn

（1）x（n）是实、偶函数,

X（ejw）

jwnx（n）e

两边取共轭，得到

*jw

X*（ejw）

n

x（n）ejwn

x（n）ej（w）nX（ejw）

因此X（ejw）X*（ejw）

上式说明x（n）是实序列,

X（ejw）具有共轭对称性质。

X（ejw）

n

x（n）ejwnx（n）[coswnjsinwn]

n

由于x（n）是偶函数，x（n）sinwn是奇函数，那么

x（n）sinwn0

n

因此X（ejw）x（n）coswn

n

该式说明x（ejw）是实函数，且是w的偶函数。

总结以上x（n）是实、偶函数时，对应的傅里叶变换x（ejw）是实、偶函

数。

（2）x（n）是实、奇函数。

上面已推出，由于x（n）是实序列，X（ejw）具有共轭对称性质，即

jw*jw

x（ejw）x*（ejw）

x（ejw）x（n）ejwnx（n）[coswnjsinwn]

nn

由于x（n）是奇函数，上式中x（n）coswn是奇函数，那么x（n）coswn0

n

因此x（ejw）jx（n）sinwn

这说明X（e”）是纯虚数，且是w的奇函数。

10.若序列h（n）是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:

HR（ejW）1cosw

求序列h（n）及其傅里叶变换

H（ejw）。

解:

HR（eJw）1

cosw

1.

JW—e

2

1.jw—e

2

FT[he（n）]

Jwn

he（n）e

2,n1

he（n）

1,n0

如1

0,n0

1,n0

h（n）

he（n）,n0

1,n1

2he（n）,n0

0,其它n

1

H（ejw）

Jwn

n

h（n）e

1ejw2e

jw/2w

cos—

2

12.设系统的单位取样响应h（n）

anu（n）,0a

1，输入序列为

x（n）

（n）2（n2），完成下面各题:

（1）

求出系统输出序列y（n）；

（2）

分别求出x（n）、h（n）和y（n）的傅里叶变换。

解:

y（n）h（n）*x（n）anu（n）*[（n）2（n2）]

anu（n）2an2u（n2）

n

H（ejw）

Y（ejw）

njwn1

aejw

n01ae

12ej2w

jwjwI2e

H（e）gX（e）w

1ae

njwn

au（n）e

13.已知Xa（t）2cos（2

f°t），式中f。

100Hz，以采样频率fs400Hz对

Xa（t）进行采样，得到采样信号％（t）和时域离散信号x（n），试完成下面

各题:

（1）

写出Xa（t）的傅里叶变换表示式Xa（j）；

（2）

写出%（t）和x（n）的表达式;

（3）

Xa（j）Xa（t）ejtdt

2cos（0t）ejtdt

分别求出％（t）的傅里叶变换和x（n）序列的傅里叶变换。

解:

（1）

（ej0tej0t）ejtdt

上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅

里叶变换可以

表示成:

Xa（j

）2[（0）

（0）]）

（2）

?

a（t）

Xa（t）（tnT）

2cos（0nT）（tnT）

x（n）

2cos（°nT）,

02f0200rad,T

12.5ms

（3）

只有引入奇异

（2）

2nu（n1）；

（3）

nu（n）；

（6）

n[u（n）u（n10）]

^?

a（j）

1

-Xa（j

1k

；[（

jks）

0ks）

（0ks）]

式中s2

fs800

rad/s

X（ejw）

x（n）e

n

jwn

2cos（

n

0nT）ejwn

2cos（w0n）ejwn

n

[ejw°n

n

ejw°n]ejwn2

[（w

k

w02k）（ww02k）]

式中w0

0T0.5rad

上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在,

函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。

14.求以下序列的Z变换及收敛域:

解:

（2）

ZT[2nu（n）]

nn

2u（n）z

n

121z

1，z

（3）

ZT[2nu（n1）]

2

n

2z

12z

nu（

1）zn

2nzn

1

ZT[2nu（n）u（n

9

10）]2nz

n0

1210z

121z1

10

0

16.已知:

求出对应X（z）的各种可能的序列的表达式

解:

有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情

况：

三种收敛域对应三种不同的原序列

（1）当收敛域z0.5时,

x（n）

1

肓?

cX（Z）Z'

dz

令F（z）X（z）zn1

5z7

（z0.5）（z2）

57zn1

11z

（10.5z1）（12z1）

n0,因为c内无极点，x（n）=0；

n1,C内有极点0,但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数,

圆外极点有Z1

0.5,z2，那么

x（n）

Res[F（z）,0.5]Res[F（z）,2]

（5z7）zn（z0.5）|z05（5z7）zn（z2）z2

（z0.5）（z2）（z0.5）（z2）

1

[3g^-）n2g2n]u（n1）

2

（2）当收敛域

0.5z2时，

F⑵（5z7）zn

（z0.5）（z2）

n0，C内有极点0.5;

n0,C内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点，改成求c外极点留

数，c外极点只有一个，即2,

x（n）Res[F（z）,2]2g2nu（n1）

最后得到x（n）3c（-1）nu（n）20u（n1）

（3）当收敛域2z时，

（5z7）zn

（z0.5）（z2）

n0，C内有极点0.5,2；

1

x（n）Res[F（z）,0.5]Res[F（z）,2]3g（^）n2c2n

*0,由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x（n）=0

或者这样分析，C内有极点0.5,2,0,但0是一个n阶极点，改成

求c外极点留数，c外无极点，所以x（n）=0

最后得到

1

x（n）[3g（-）n2g2n]u（n）

17.已知x（n）anu（n）,0a1，分别求:

（1）x（n）的Z变换；

（2）nx（n）的Z变换；

（3）anu（n）的z变换

解:

（1）X（z）ZT[anu（n）]

n

anu（n）z

1

az

a

-J

⑵ZT[nx（n）]zdzX（z）

1

az

1\2（1az）

（3）ZT[anu（n）]

nnnn1

azaz,z

n0n01az

18.已知x（z）

1

打冷，分别求:

（1）

收敛域0.5z2对应的原序列x（n）；

（2）

收敛域z2对应的原序列x（n）。

解:

F（z）X（z）zn1

（1）

当收敛域0.5z

2时，n0,c内有极点0.5,

1n1

x（n）?

X（z）zdz

2j-c

3?

zn

3z1n1

x（n）

Res[F（z）,0.5]0.5n2n,n0,

c内有极点0.5,0但0是

个n阶极点，改求c外极点留数,c外极点只有

2,

x（n）Res[F（z）,2]2n,

最后得到

x（n）2nu（n）

2nu（n1）2

（2（当收敛域z2时,

n0,c内有极点0.5,2,

x（n）Res[F（z）,0.5]Res[F（z）,2]

3?

zn

0.5n——（z2）

2（z0.5）（z2）

0.5n2n

n0,C内有极点0.5,2,0但极点0是

个n阶极点，改成求c外极点留数,

可是C外没有极点，因此x（n）0,最后得到

x（n）（0.5n2n）u（n）

25.已知网络的输入和单位脉冲响应分别为

x（n）anu（n）,h（n）

bnu（n）,0

a1,0b

试:

（1）

用卷积法求网络输出y（n）

（2）

用ZT法求网络输出y