全国高中数学联赛A卷试题和答案.docx
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全国高中数学联赛A卷试题和答案
2017年全国高中数学联赛A卷
一试
一、填空题
1.设f(x)
是定义在R上的函数,对任意实数
x有f(x3)
f(x4)
1.又当0
x7
时,f(x)
log2(9
x),则f(
100)的值为__________.
2.若实数x,y满足x2
2cosy
1,则x
cosy的取值范围是__________.
3.在平面直角坐标系
x2
y2
xOy中,椭圆C的方程为:
1,F为C的上焦点,A为C的
9
10
右顶点,P是C上位于第一象限内的动点,
则四边形OAPF的面积的最大值为__________.
4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过
1,则称其为“平稳数”
.平稳数的个数是
5.正三棱锥PABC中,AB
1,AP
2,过AB的平面
将其体积平分,则棱
PC与
平面
所成角的余弦值为__________.
6.在平面直角坐标系
xOy中,点集K
(x,y)x,y
1,0,1
.在K中随机取出三个点,则这
三点中存在两点之间距离为
5的概率为__________.
7.在
ABC中,M是边BC的中点,N是线段BM的中点.若A
,ABC的面积为
3
3,则AMAN的最小值为__________.
8.设两个严格递增的正整数数列
an,bn
满足:
a10
b10
2017,对任意正整数
n,有
an2
an
1an,bn1
2bn,则a1
b1的所有可能值为__________.
二、解答题
9.设k,m为实数,不等式x2kxm1对所有xa,b成立.证明:
ba22.
10.设x1,x2,x3是非负实数,满足x1x2
x31,求(x13x25x3)(x1
x2
x3)的最
3
5
小值和最大值.
11.设复数z1,z2满足Re(z1)0,Re(z2)0,且Re(z12)Re(z22)2(其中Re(z)表示
复数z的实部).
(1)求Re(z1z2)的最小值;
(2)求z12z22z1z2的最小值.
2017年全国高中数学联赛A卷
二试
一.如图,在ABC中,ABAC,I为ABC的内心,以A
为圆心,AB为半径作圆1,以I为圆心,IB为半径作圆2,
过点B,I的圆3与1,2分别交于点P,Q(不同于点B).设
IP与BQ交于点R.证明:
BRCR
二.设数列an
定义为a1
1,an1
an
n,an
n,
2017
an
n,an
n1,2,.求满足arr3
n,
的正整数r的个数.
三.将3333方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等.若相
邻连个小方格的颜色不同,则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.
四.设m,n均是大于
1的整数,mn,a1,a2,,an是n个不超过m的互不相同的正整数,
且a1,a2,,an
互素.证明:
对任意实数x,均存在一个i(1i
n),使得
2
x,这里y表示实数y到与它最近的整数的距离.
aix
m(m1)
2017年全国高中数学联赛A卷
一试答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
2017年全国高中数学联赛A卷
二试答案
一.
二.
三.
四.
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