第一章解析几何教案.docx
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第一章解析几何教案
《解析几何》教案
一、课程简介
本课程是大学数学系的主要基础课程之一。
主要讲述解析几何的基本内容和基本方法包括:
向量代数,空间直线和平面,常见曲面,坐标变换,二次曲线方程的化简等。
通过学习这门课程,学生可以掌握用代数的方法研究空间几何的一些问题,而坐标法、向量法正是贯穿全书的基本方法。
二、课程说明
(一)课程的地位和任务
本课程是大学数学系的主要基础课程之一,学好这门课为后续课程以及进一步学习数学和专业知识奠定必要的数学知识、方法和思维基础。
(二)课程的基本要求
1.理解向量的概念.熟悉向量、向量的模、方向余弦及单位向量的坐标表达式;
2.掌握用坐标表达式进行向量运算的方法,两个向量的夹角公式及平行、垂直的条件;
3.掌握平面和空间直线方程的各种形式、特点,以及点、线、面三者之间的各种度量关系,会求平面和直线的方程;
4.理解曲面方程的概念,掌握空间特殊二次曲面(如柱面、锥面、旋转曲面)的标准方程及其图形;掌握讨论二次曲面的方法,能熟练地利用平面截割的方法来认识空间曲面的形状以及它们的主要性质,并能根据曲面的标准方程画出它们的图形;
5.掌握二次曲线方程的几何特征与二次曲线方程的不同化简方法与分类知道空间曲线的参数方程和一般方程。
(三)课程内容的重点、深广度
本课程的基本思想是用代数的方法研究几何。
重点要求在前两章的基础掌握下,利用向量、坐标两大工具,去讨论空间平面与直线,去建立特殊二次曲面的方程,去掌握二次曲线的一般理论。
本课程论证严谨,叙述深入浅出,条理清楚,具有较好的广度与深度。
(四)与其它课程的联系与分工
先修课:
平面解析几何、线性代数
(五)对学生能力培养的要求和方法
学生除了参加闭卷考试外,关键是掌握一种解析分析方法,另外,培养学生对空间图形的直观想象能力。
(六)学时分配建议(具体见教学日历)
课程内容
讲课时数
习题课时数
矢量与坐标
18
2
轨迹与方程
8
2
平面与空间直线
16
2
柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
14
2
总计
64
一、课程内容
第一章矢量与坐标
【说明】:
学习目标
知识结构
一、知识网络
二、重点内容提示表,
1、矢量的概念
2,矢量的线性运算
运算
定义
性质
矢量的加法
设已知矢量a,b,以空间任意一点o为始点,做矢量OA=a,AB=b,得一折线OAB,从折线的端点o到另一端点的矢量OB=c,叫做矢量a,b的和,记做c=a+b。
把求两矢量和的运算叫做矢量加法。
1、交换律a+b=b+a
2、结合律(a+b)+c=a+(b+c)
3、矢量加法有三角形法则、平行四边形法则、多边形法则。
矢量减法
当矢量b与矢量c的和等于矢量a,即b+c=a时,我们把矢量c叫做矢量a,b的差,并记做c=a-b。
由两矢量a,b求它们的差的运算叫做矢量减法。
1、a-b=a+(-b)
2、a-(-b)=a+b
数量与矢量的乘法
实数λ与矢量a的乘积是一个矢量,记做λa,它的模是∣λa∣=∣λ∣∣a∣;λa的方向,当λ>0时,与a的方向相同,当λ<0时,与a的方向相反。
我们把这种运算叫做数量与矢量的乘法,简称数乘。
1、1·a=a
2、结合律
λ(μa)=(λμ)a
3、第一分配律
(λ+μ)a=λa+μa
4、第二分配律
λ(a+b)=λa+λb
3,矢量线性关系的概念
线性关系
定义
注释
矢量a1,a2,……an的线性组合
由矢量a1,a2,……an与数量λ1,λ2,…λn所组成的矢量a=λ1a1+λ2a2+….+λnan叫做矢量a1,a2,……an的线性组合。
1、当矢量a是矢量a1,a2,……an的线性组合时,也说:
矢量a可以分解为a1,a2,……an的线性组合
2、λa也称为矢量a的线性组合
矢量a1,a2,……an的线性相关
对于n(n≥1)个矢量a1,a2,……an,如果存在不全为零的n个数λ1,λ2…λn使得λ1a1+λ2a2+….+λnan=0,那么n个矢量a1,a2,……an叫做线性相关。
1、只有当λ1=λ2=…=λn=0时,λ1a1+λ2a2+….+λnan=0才能成立,则称矢量a1,a2,……an线性无关。
2、矢量a1,a2,……an线性相关的充要条件是其中一个矢量是其余矢量的线性组合(n≥2)
3、一个矢量线性相关的充要条件是a=0
4、如果一组矢量中的一部分矢量线性相关,那么这一组矢量就线性相关
5、一组矢量如果含有零矢量,那么这组矢量必线性相关。
4,矢量间的线性关系
矢量关系
线性表示
线性相关
注
矢量r,e共线
r=xe
R与e线性相关
X被r,e唯一确定(e≠0,称为共线矢量的基底)
矢量r与e1,e2共面
R=xe1+ye2
R与e1,e2线性相关
x,y被e1,e2,r唯一确定(e1,e2不共线,e1,e2叫平面上矢量的基底)
四个矢量r,e1,e2e3共体
R=xe1+ye2+ze3
R与e1,e2e3线性相关
1、e1,e2e3不共面
2、x,y,z被r,e1,e2e3唯一确定(e1,e2e3不共面,叫空间矢量的基底)
四个以上矢量r,a1,a2,……an
R=x1a1+x2a2+….+xnan
R与a1,a2,……an总是线性相关的
5,矢量的乘法运算
运算
定义
几何意义
性质
典型应用
两矢量的数性积(a·b)
两矢量a,b的模和它们夹角的余弦的乘积叫做矢量a,b的数性积(内积),记做a·b或ab即a·b=∣a∣∣b∣cos∠(a,b)
矢量a与b间的夹角cos∠(a,b)=
1、交换律
a·b=b·a
2、数因子的结合律
(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)
3、分配律
(a+b)·c=a·c+b·c
判断两矢量是否相互垂直,若a·b=0,则a⊥b
两矢量的矢性积(a×b)
两矢量a,b的矢性积是一个矢量,记做a×b或[ab]它的模是∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin∠(a,b).它的方向与a,b都垂直,并按a,b,a×b这个顺序构成右手标架
两矢量a,b不共线时.∣a×b∣等于以a,b为邻边的平行四边形的面积
1,a×b=-(b×a)
2,λ(a×b)=(λa)×b=a×(λb)
3,(a+b)×c=a×c+b×c
判断两矢量是否共线,若a×b=0,则a与b共线.
三矢量的混合积(abc)
给定空间的三个矢量a,b,c,如果先做前两个的矢性积a×b,再作所得的矢量与第三个矢量c的数性积,最后得到的这个数叫做三个矢量a,b,c的混合积,记做(a×b)·c或(a,b,c)或(abc)
三个不共线矢量a,b,c的混合积的绝对值等于以a,b,c为棱的平行六面体的体积,即V=
(abc)=(bca)=cab)=-(bac)=-(acb)=-(cba)
判断三个矢量是否共面,若(abc)=0,则矢量a,b,c共面.
三矢量的双重矢性积(a×b)×c
给定空间三矢量,先做其中两个矢量的矢性积,再作所得矢量与第三个矢量的矢性积,那么最后的的结果仍然是一矢量,叫做所给三矢量的双重矢性积,简称三矢矢积.
(a×b)×c
1,它与a,b共面
2,它与c垂直
3,它与a×b垂直
1.(a×b)×c=(a·c)b-(b·c)a
2.(a×b)×c=(a·c)b-(a·b)c
§1.3数量乘矢量
一、定义1.3.1实数λ与矢量a的乘积是一个矢量,记做λa.它的模是λa=λa;λa的方向,当λ>0时与a相同,当λ<0时,与a的方向相反.我们把这种运算叫做数量与矢量的乘法.简称为数乘.
二、定理1.3.1数量与矢量的乘法满足下面的运算规律:
1、1·a=a
2、结合律λ(μa)=(λμ)a
3、第一分配律(λ+μ)a=λa+μa
4、第二分配律λ(a+b)=λa+λb
这里a,b为矢量,λ,μ为任意实数.
三、例题
例1,设AM是ABC的中线,求证AM=1/2(AB+AC)
例2,用矢量法证明:
连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.
§1.4矢量的线性关系与矢量的分解
一,概念
定义1.4.1由矢量a1,a2,……an与数量λ1,λ2,…λn所组成的矢量
a=λ1a1+λ2a2+….+λnan叫做矢量a1,a2,……an的线性组合。
当矢量a是矢量a1,a2,……an的线性组合时,也说:
矢量a可以分解为a1,a2,……an的线性组合。
λa也称为矢量a的线性组合。
定义1.4.2对于n(n≥1)个矢量a1,a2,……an,如果存在不全为零的n个数λ1,λ2…λn使得λ1a1+λ2a2+….+λnan=0,那么n个矢量a1,a2,……an叫做线性相关。
不是线性相关的矢量叫做线性无关。
只有当λ1=λ2=…=λn=0时,λ1a1+λ2a2+….+λnan=0才能成立,称矢量a1,a2,……an线性无关.
推论:
一个矢量线性相关的充要条件是a=0.
二,基本定理
定理1.4.1如果矢量e≠0,那么矢量r与矢量e共线的充要条件是r可以用矢量e线性表示,或者说r是e的线性组合,即r=xe,并且x被r,e唯一确定。
这时e称为用线性组合来表示共线矢量的基底。
定理1.4.2如果矢量e1,e2不共线,那么矢量r与e1,e2共面的充要条件是r可以用e1,e2线性表示,或者说矢量r可以分解为e1,e2的线性组合,即r=xe1+ye2。
并且x,y被e1,e2,r唯一确定。
这时e1,e2叫平面上矢量的基底。
定理1.4.3如果矢量e1,e2,e3不共面,那么任意矢量r可以由e1,e2e3线性表示,或者说空间任意矢量r可以分解为e1,e2,e3的线性组合,即R=xe1+ye2+ze3。
并且系数x,y,z被r,e1,e2,e3唯一确定。
这时e1,e2,e3叫空间矢量的基底。
定理1.4.4当n≥2时,矢量a1,a2,……an线性相关的充要条件是其中一个矢量是其余矢量的线性组合
定理1.4.5如果一组矢量中的一部分矢量线性相关,那么这一组矢量就线性相关
推论:
一组矢量如果含有零矢量,那么这组矢量必线性相关。
定理1.4.6两矢量共线的充要条件是它们线性相关.
定理1.4.7三矢量共线的充要条件是它们线性相关.
定理1.4.8空间任何四个矢量总是线性相关.
推论:
空间四个以上的矢量总是线性相关.
三、应用
例1,已知三角形ABC,其中OA=a,OB=b,而M,N分别是三角形两边OA,OB上的点,且有OM=λa,(0<λ<1).ON=μb(0<μ<1),设AN与BM相交于P,试把矢量OP=p分解成a,b的线性组合。
例2,证明四面体对边中点的连线交于一点,且互相平分。
例3,设Opi=ri(i=1,2,3),试证P1,P2,P3三点共线的充要条件是存在不全为零的实数λ1,λ2,λ3使得λ1r1+λ2r2+λ3r3=0且λ1+λ2+λ3=0.
例4,设a,b为两不共线矢量,证明矢量u=a1a+b1b,v=a2a+b2b共线的充要条件是
。
§1.5标架与坐标
一.概念
定义1.5.1标架{o;e1,e2,e3}:
空间中任一点o,和三个不共面的有序矢量e1,e2,e3的全体.一般叫仿射标架.
笛卡儿标架{o;e1,e2,e3}:
e1,e2,e3都是单位矢量的标架.
笛卡儿直角标架(简称直角标架):
e1,e2,e3为两两相互垂直的笛卡儿标架.
右旋标架(右手标架)左旋标架(左手标架)
定义1.5.2r=xe1+ye2+ze3中,x,y,z叫做矢量r关于标架{o;e1,e2,e3}的分量或称为坐标,记做r{x,y,z}或{x,y,z}.
定义1.5.3对于取定了标架{o;e1,e2,e3}的空间中任意点P,矢量OP叫做点P的径矢,径矢OP关于标架{o;e1,e2,e3}的分量x,y,z叫做点P关于标架{o;e1,e2,e3}的坐标,记做P(x,y,z)或(x,y,z).
坐标系:
当空间取定标架{o;e1,e2,e3}后,空间全体矢量的集合或全体点的集合与全体有序三数组x,y,z的集合具有一一对应的关系。
标架坐标系卦限
平面上的类似概念
坐标系中有关定理
二.定理
1)用矢量的始点和终点坐标表示矢量的分量。
定理1、5、1矢量的分量等于其终点坐标减去其始点的坐标。
P1P2={x2-x1,y2-y1,z2-z1}
2)用矢量的分量进行矢量的线性运算。
定理1、5、2两矢量的和的分量等于两矢量对应的分量的和。
a+b={x2+x1,y2+y1,z2+z1}
定理1、5、3数乘矢量的分量等于这个数与矢量的对应分量的积。
λa={λx,λy,λz}
3)两矢量共线、三矢量共面的条件
定理1、5、4两个非零矢量a{X1,Y1,Z1},b{X2,Y2,Z2}共线的充要条件是对应分量成比例。
即
=
=
推论:
三点A{x1,y1,z1},B{x2,y2,z2},C{x3,y3,z3}共线的充要条件是
定理1、5、5三个非零矢量a{X1,Y1,Z1},b{X2,Y2,Z2}c{X3,Y3,Z3},共面的充要条件是
推论:
四个点Ai(xi,yi,zi)(i=1,2,3,4)共面的充要条件是
或
4)线段的定比分点坐标
对于有向线段P1P2(P1≠P2),如果点P满足P1P=λPP2我们称点P是把有向线段P1P2分成定比λ的分点。
可以看出,给定了点P1P2,分点由λ唯一确定。
定理1、5、6设有向线段P1P2的始点P1P2终点P1P2,那么分有向线段P1P2成定比λ(λ≠-1)的分点P的坐标是
推论:
设Pi(xi,yi,zi)(i=1,2)那么线段P1P2的中点坐标是
三.应用
例、已知三角形三顶点为Pi(xi,yi,zi)(i=1,2,3)求
的重心坐标。
G
§1.6矢量在轴上的射影
一、基本概念
1、点在轴上的射影:
已知空间一点A与一轴l,过点A作垂直于轴l的平面α,这个平面与轴l的交点A`叫做点A在轴l上的射影。
2、定义1、6、1设矢量AB的始点A和终点B在轴l上的射影分别为点A`,B`,那么矢量A`B`叫做矢量AB在轴l上的射影矢量。
记做射影矢量lAB。
3、取轴上与轴同方向的单位矢量e,那么有
射影矢量lAB=A`B`=xex就叫做矢量AB在轴l上的射影,记作射影lAB,即射影lAB=x
射影矢量lAB和射影lAB可以分别写作射影矢量eAB和射影eAB.
4、矢量的夹角:
设a,b为两非零矢量,自空间任一点O做OA=a,OB=b,,我们把由射线OA和OB构成在0与
之间的角,叫做矢量a与b的夹角,记做∠(a,b).
二、定理
定理1、6、1矢量AB在轴l上的射影等于矢量的模乘以轴与该矢量的夹角的余弦:
射影lAB=∣AB∣cosθ,θ=∠(l,AB)
推论:
相等矢量在同一轴上的射影相等。
定理1、6、2对于任何矢量a,b有射影l(a+b)=射影la+射影lb
定理1、6、3对于任何矢量与任意实数λ有:
射影l(λa)=λ射影la。
三、应用
例:
设在直角坐标系{O;i,j,k}下,矢量a=Xi+Yj+Zk,试证明射影ia=X射影ja=Y射影ka=Z
§1.7两矢量的数性积
一、引入
二、定义:
定义1、7、1两个矢量a,b的模和它们夹角的余弦的乘积叫做矢量a和b的数性积(也称内积)。
记做a•b或ab即
a•b=∣a∣∣b∣cos∠(a,b)
方向角:
矢量与坐标轴(或坐标矢量)所成的角叫矢量的方向角。
方向余弦:
方向角的余弦叫做方向余弦。
一个矢量的方向完全可由它的方向角来决定。
三、定理
定理1、7、1两矢量a,b相互垂直的充要条件是a•b=0
定理1、7、2矢量的数性积满足下面的运算规律
1)交换律a•b=b•a
2)关于数因子的结合律(λa)•b=λ(a•b)=a•(λb)
3)分配律(a+b)•c=a•c+b•c
定理1、7、3设a=X1i+Y1j+Z1k,b=X2i+Y2j+Z2k那么a•b=X1X2+Y1Y2+Z1Z2
推论:
设a=Xi+Yj+Zk,那么a•i=Xa•j=Ya•k=Z
定理1、7、4设a=Xi+Yj+Zk,那么
定理1、7、5空间两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离是
定理1、7、6非零矢量的a=Xi+Yj+Zk方向余弦是
且cos2α+cos2β+cos2γ=1
式中的α,β,γ分别是矢量a与x轴,y轴,z轴的交角,即矢量a的三个方向角。
定理1、7、7设空间中两个非零矢量为a{X1,Y1,Z1}和b{X2,Y2,Z2},那么他们夹角的余弦是
cos∠(a,b)=
推论矢量a{X1,Y1,Z1}与b{X2,Y2,Z2}相互垂直的充要条件是X1X2+Y1Y2+Z1Z2=0
三、应用
1、以上结论在平面直角坐标系中的推广。
2、解决问题
例1:
证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和。
例2:
证明如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么它就和平面内的任何直线都垂直,即它垂直于平面。
例3:
试证三角形的三条高交于一点。
例4:
已知三点A(1,0,0),B(3,1,1),C(2,0,1),且BC=a,CA=b,AB=c,求
(1)a与b的夹角;
(2)a在c上的射影。
例5:
利用数性积证明柯西-施瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式
§1.8两矢量的数矢性积
一、定义
定义1、8、1两矢量a与b的矢性积(也称外积)是一个矢量,记做a×b或[ab].它的模是
,它的方向与a,b都垂直,并且按a,b,a×b这个顺序构成右手标架{O;a,b,a×b}
二、定理
定理1、8、1两不共线矢量a,b的矢性积的模,等于以a,b为边所构成的平行四边形的面积。
定理1、8、2两矢量a,b共线的充要条件是a×b=0
定理1、8、3矢量积是反交换的,即a×b=-(b×a)
定理1、8、4矢性积满足关于数因子的结合律,即
λ(a×b)=(λa)×b=a×(λb)
式中a,b为任意矢量,λ为任意实数。
推论设λ,μ为任意实数,那么
(λa)×(μb)=(λμ)a×b
定理1、8、5矢性积满足分配律,即
(a+b)×c=a×c+b×c
推论c×(a+b)=c×a+c×b
定理1、8、6如果a=X1i+Y1j+Z1k,b=X2i+Y2j+Z2k,那么
a×b=
或写为a×b=
三、举例应用
例1:
证明(a-b)×(a+b)=2(a×b),并说明它的几何意义。
例2:
证明:
(a×b)2+(a·b)2=a2b2
例3:
已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5),试求
(1)△ABC的面积;
(2)△ABC的AB边上的高。
§1.9三矢量的混合积
一、定义
定义1、9、1给定空间的三个矢量a,b,c,如果先做前两个矢量a与b的矢性积,再做所得矢量与第三个矢量c的数性积,最后所得的这个数叫做三矢量a,b,c的混合积,记做(a×b)·c或(a,b,c)或(abc).
二、性质
定理1、9、1三个不共面矢量a,b,c的混合积的绝对值等于以a,b,c为棱的平行六面体的体积V,并且当a,b,c构成右手系时,混合积是正数;当a,b,c构成左手系时,混合积是负数,也就是有(abc)=εV。
当a,b,c构成右手系时,ε=1;当a,b,c构成左手系时,ε=-1。
定理1、9、2三矢量a,b,c共面的充要条件是(a,b,c)=0。
定理1、9、3轮换混合积的三个因子,并不改变它的值,对调任何两个因子要改变乘积符号,即
(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(acb)=-(cba)
推论:
(a×b)·c=a·(b×c)
定理1、9、4如果a=X1i+Y1j+Z1k,b=X2i+Y2j+Z2k,c=X3i+Y3j+Z3k,那么
推论:
三矢量a{X1,Y1,Z1}、b{X2,Y2,Z2}c{X3,Y3,Z3}共面的充要条件是
三、例题
例1设三矢量a,b,c满足a×b+b×c+c×a=0,试证三矢量a,b,c共面。
例2已知四面体ABCD的顶点坐标A(0,0,0),B(6,0,6),C(4,3,0).
D(2,-1,3),求它的体积。
例3设a,b,c为三个不共面的矢量,求矢量d对于a,b,c的分解式。
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