学年七年级数学人教版下册 第5章《相交线与平行线》 全章综合训练题二.docx
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学年七年级数学人教版下册第5章《相交线与平行线》全章综合训练题二
七年级下册第5章《相交线与平行线》
全章综合训练题
(二)
1.如图,CD∥AB,∠DCB=70°,∠CBF=20°,∠EFB=130°,
(1)问直线EF与AB有怎样的位置关系?
加以证明;
(2)若∠CEF=70°,求∠ACB的度数.
2.如图,已知AB∥CD.
(1)发现问题:
若∠ABF=
∠ABE,∠CDF=
∠CDE,则∠F与∠E的等量关系为 .
(2)探究问题:
若∠ABF=
∠ABE,∠CDF=
∠CDE.猜想:
∠F与∠E的等量关系,并证明你的结论.
(3)归纳问题:
若∠ABF=
∠ABE,∠CDF=
∠CDE.直接写出∠F与∠E的等量关系.
3.已知点F、G分别在直线AB、CD上,且知AB∥CD.
(1)如图1,请用等式表示∠GEF、∠BFE、∠CGE之间的数量关系并给出证明;
(2)如图2,∠BFE的平分线FQ所在的直线与∠CGE的平分线相交于点P,探究∠GPQ与∠GEF之间的数量关系,请直接写出你的结论:
.
4.当光线经过镜面反射时,入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如:
在图①、图②中,都有∠1=∠2,∠3=∠4.设镜子AB与BC的夹角∠ABC=α.
(1)如图①,若α=90°,判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系,并说明理由.
(2)如图②,若90°<α<180°,入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH=β.探索α与β的数量关系,并说明理由.
(3)如图③,若α=120°,设镜子CD与BC的夹角∠BCD=γ(90°<γ<180°),入射光线EF与镜面AB的夹角∠1=m(0°<m<90°),已知入射光线EF从镜面AB开始反射,经过n(n为正整数,且n≤3)次反射,当第n次反射光线与入射光线EF平行时,请直接写出γ的度数.(可用含有m的代数式表示)
5.如图1,E是直线AB,CD内部一点,AB∥CD,连接EA,ED.
(1)探究猜想:
①若∠A=30°,∠D=40°,则∠AED等于多少度?
②若∠A=20°,∠D=60°,则∠AED等于多少度?
③猜想图1中∠AED,∠EAB,∠EDC的关系并证明你的结论.
(2)拓展应用:
如图2,射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E,与边CD交于点F,①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域(不含边界,其中区域③、④位于直线AB上方,P是位于以上四个区域上的点,猜想:
∠PEB,∠PFC,∠EPF的关系(不要求证明).
6.已知AB∥CD,AM平分∠BAP,CM平分∠PCD.
(1)如图①,当点P、M在直线AC同侧,∠AMC=60°时,求∠APC的度数;
(2)如图②,当点P、M在直线AC异侧时,直接写出∠APC与∠AMC的数量关系.
7.如图,直线AC∥BD,直线AB分别与它们相交于A,B,三条直线把平面分成①②③④⑤⑥六个部分(每个部分不包括边界).当动点P落在某个部分时,连结PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角.
(1)当动点P落在第①部分时,求证:
∠APB=∠PAC+∠PBD;
(2)当动点P落在第②部分时,∠PAC,∠APB,∠PBD三者之间的数量关系是 ;
(3)当动点P落在第③部分时,∠PAC,∠APB,∠PBD三者之间的数量关系是 ;
(4)当动点P落在第④部分时,∠PAC,∠APB,∠PBD三者之间的数量关系是 .
8.如图,DE∥BC,DF∥AC.
(1)说明∠EDF=∠C;
(2)探求∠A+∠B+∠C等于一定值.
9.已知:
如图①,AB∥CD,∠1+∠3与∠2的关系是 ;
如图②,AB∥CD,∠1+∠3+∠5与∠2+∠4的关系是 ,证明你的结论.
说明理由:
如图③,AB∥CD,∠1+∠3+∠5+∠7与∠2+∠4+∠6的关系是 ;
如图④,AB∥CD,∠1+∠3+∠5+…+∠(2n+1)与∠2+∠4+∠6+…+∠2n的关系.
10.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,已知AB∥CD,分别探讨下面三个图形中∠BAP与∠APC、∠DCP的关系,请任选一个加以说明.
参考答案
1.解:
(1)EF和AB的关系为平行关系.理由如下:
∵CD∥AB,∠DCB=70°,
∴∠DCB=∠ABC=70°,
∵∠CBF=20°,
∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=50°,
∵∠EFB=130°,
∴∠ABF+∠EFB=50°+130°=180°,
∴EF∥AB;
(2)∵EF∥AB,CD∥AB,
∴EF∥CD,
∵∠CEF=70°,
∴∠ECD=110°,
∵∠DCB=70°,
∴∠ACB=∠ECD﹣∠DCB,
∴∠ACB=40°.
2.解:
(1)∠BED=2∠BFD.
证明:
连接FE并延长,
∵∠BEG=∠BFE+∠EBF,∠DEG=∠DFE+∠EDF,
∴∠BED=∠BFD+∠EBF+∠EDF,
∵BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE,
∴∠ABE+∠CDE=2(∠EBF+∠EDF),
∵∠BED=∠ABE+∠CDE,
∴∠EBF+∠EDF=
∠BED,
∴∠BED=∠BFD+
∠BED,
∴∠BED=2∠BFD;
(2)过点E、F分别作AB的平行线EG、FH,由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD,
∵AB∥FH,
∴∠ABF=∠BFH,
∵FH∥CD,
∴∠CDF=∠DFH,
∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF;
同理可得∠BED=∠DEG+∠BEG=∠ABE+∠CDE;
∵∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF=
(∠ABE+∠CDE)=
∠BED,
∴∠BED=3∠BFD.
(3)由
(1)
(2)可得∠BED=n∠BFD.
3.解:
(1)∠GEF=∠BFE+180°﹣∠CGE,证明如下:
如图1,过E作EH∥AB,
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EH,
∴∠HEF=∠BFE,∠HEG+∠CGE=180°,
∴∠HEF+∠HEG=∠BFE+180°﹣∠CGE,
∴∠GEF=∠BFE+180°﹣∠CGE;
(2)∠GPQ+
∠GEF=90°,理由是:
∵FQ平分∠BFE,GP平分∠CGE,
∴∠BFQ=
∠BFE,∠CGP=
∠CGE,
△PMF中,∠GPQ=∠GMF﹣∠PFM=∠CGP﹣∠BFQ,
∴∠GPQ+
∠GEF=
∠CGE﹣
∠BFE+
∠GEF=
×180°=90°.
故答案为:
∠GPQ+
∠GEF=90°.
4.解:
(1)EF∥GH,理由如下:
在△BEG中,∠2+∠3+α=180°,α=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∵∠1+∠2+∠FEG=180°,
∠3+∠4+∠EGH=180°,
∴∠FEG+∠EGH=180°,
∴EF∥GH
;
(2)β=2α﹣180°,理由如下:
在△BEG中,∠2+∠3+α=180°,
∴∠2+∠3=180°﹣α,
∵∠1=∠2,∠1=∠MEB,
∴∠2=∠MEB,
∴∠MEG=2∠2,
同理可得,∠MGE=2∠3,
在△MEG中,∠MEG+∠MGE+β=180°,
∴β=180°﹣(∠MEG+∠MGE)
=180°﹣(2∠2+2∠3)
=180°﹣2(∠2+∠3)
=180°﹣2(180°﹣α)
=2α﹣180°;
(3)90°+m或150°.
理由如下:
①当n=3时,如下图所示:
∵∠BEG=∠1=m,
∴∠BGE=∠CGH=60°﹣m,
∴∠FEG=180°﹣2∠1=180°﹣2m,
∠EGH=180°﹣2∠BGE=180°﹣2(60°﹣m),
∵EF∥HK,
∴∠FEG+∠EGH+∠GHK=360°,
则∠GHK=120°,
则∠GHC=30°,
由△GCH内角和,得γ=90°+m.
②当n=2时,如果在BC边反射后与EF平行,则α=90°,
与题意不符;
则只能在CD边反射后与EF平行,
如下图所示:
根据三角形外角定义,得
∠G=γ﹣60°,
由EF∥HK,且由
(1)的结论可得,
∠G=γ﹣60°=90°,
则γ=150°.
综上所述:
γ的度数为:
90°+m或150°.
5.解:
(1)①∠AED=70°;
②∠AED=80°;
③猜想:
∠AED=∠EAB+∠EDC,
证明:
延长AE交DC于点F,
∵AB∥DC,
∴∠EAB=∠EFD,
∵∠AED为△EDF的外角,
∴∠AED=∠EDF+∠EFD=∠EAB+∠EDC;
(2)根据题意得:
点P在区域①时,∠EPF=360°﹣(∠PEB+∠PFC);
点P在区域②时,∠EPF=∠PEB+∠PFC;
点P在区域③时,∠EPF=∠PEB﹣∠PFC;
点P在区域④时,∠EPF=∠PFC﹣∠PEB.
6.解:
(1)如图1,延长AP交CD于点Q,则可得到∠BAP=∠AQC,
则∠APC=∠BAP+∠DCP=2(∠MAP+∠MCP),
连接MP并延长到点R,则可得∠APR=∠MAP+∠AMP,∠CPR=∠MCP+∠CMP,
所以∠APC=∠AMC+∠MAP+∠MCP,
所以∠APC=∠AMC+
∠APC,
所以∠APC=2∠AMC=120°.
(2)如图2,过P作PQ∥AB于Q,MN∥AB于N,
则AB∥PQ∥MN∥CD,
∴∠APQ=180°﹣∠BAP,∠CPQ=180°﹣∠DCP,∠AMN=∠BAM,∠CMN=∠DCM,
∵AM平分∠BAP,CM平分∠PCD,
∴∠BAP=2∠BAM,∠DCP=2∠DCM,
∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=180°﹣∠BAP+180°﹣∠DCP=360°﹣2(∠BAM+∠DCM)=360°﹣2(∠BAM+∠DCM)=360°﹣2∠AMC,即∠APC=360°﹣2∠AMC.
7.
(1)证明:
过点P作AC的平行线,交AB于点E,如图1.
∵PE∥AC,AC∥BD,
∴PE∥BD,
∴∠PAC=∠APE,∠PBD=∠EPB,
∴∠APB=∠APE+∠EPB=∠PAC+∠PBD;
(2)解:
∠APB+∠PAC+∠PBD=360°.理由如下:
过点P作EF∥AC,如图2,
因为AC∥BD,
所以EF∥BD,
所以∠BPF+∠PBD=180°.
同理∠APF+∠PAC=180°,
因此∠APF+∠BPF+∠PAC+∠PBD=360°,
即∠APB+∠PAC+∠PBD=360°;
(3)解:
∠PAC=∠APB+∠PBD.理由如下:
如图3,∵AC∥BD,
∴∠PBD=∠PQC.
∵∠PAC=∠APB+∠PQC,
∴∠PAC=∠APB+∠PBD;
(4)解:
∠PAC+∠APB=∠PBD.
如图4,∵AC∥BD,
∴∠PBD=∠PQC.
∵∠PAC+∠APB=∠PQC,
∴∠PAC+∠APB=∠PBD.
故答案为
(2)∠APB+∠PAC+∠PBD=360°;
(3)∠PAC=∠PBD+∠APB;
(4)∠PAC+∠APB=∠PBD.
8.证明:
(1)∵DE∥BC,
∴∠EDF+∠1=180°,
∵DF∥AC,
∴∠1+∠C=180°,
∴∠EDF=∠C;
(2)∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,
∵DF∥AC,
∴∠BDF=∠A,
∵∠EDF=∠C,且∠BDF+∠EDF+∠ADE=180°,
∴∠A+∠B+∠C=180°.
9.解:
如图①,AB∥CD,∠1+∠3与∠2的关系是∠2=∠1+∠3;
如图②,AB∥CD,∠1+∠3+∠5与∠2+∠4的关系是∠2+∠4=∠1+∠3+∠5,
证明:
作EF∥AB,GH∥AB,MN∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥EF∥GH∥DC∥MN,
∴∠1=∠BEF,∠FEM=∠EMN,∠NMG=∠MGH,∠HGD=∠5,
∵∠2=∠MEF+∠FEM,∠3=∠EMN+∠NMG,∠4=∠MGH+∠HGD,
∴∠2+∠4=∠MEF+∠FEM+∠MGH+∠HGD=∠BEF+∠EMN+∠NMG+∠HGD=∠1+∠3+∠5;
如图③,AB∥CD,∠1+∠3+∠5+∠7与∠2+∠4+∠6的关系是∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7;
如图④,AB∥CD,∠1+∠3+∠5+…+∠(2n+1)与∠2+∠4+∠6+…+∠2n的关系为:
∠2+∠4+∠6+…+∠2n=∠1+∠3+∠5+…+∠(2n+1).
故答案为:
∠2=∠1+∠3;∠2+∠4=∠1+∠3+∠5;∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7;∠2+∠4+∠6+…+∠2n=∠1+∠3+∠5+…+∠(2n+1)
10.答:
(1)∠BAP+∠DCP+∠APC=360°.
证明:
过P作PE∥AB,则AB∥CD,
∵AB∥PE,
∴∠PAB+∠APE=180°,
∵PE∥CD,
∴∠DCP+∠CPE=180°,
∴∠PAB+∠APE+∠DCP+∠CPE=360°,
即∠BAP+∠DCP+∠APC=360°;
(2)∠BAP+∠DCP=∠APC,
证明:
过P作PF∥AB,则PF∥CD.
∵PF∥AB,
∴∠APF=∠BAP,
同理∠CPF=∠DCF,
又∵∠APC=∠APF+∠CPF,
∴∠BAP+∠DCP=∠APC;
(3)∠BAP﹣∠DCP=∠APC,
证明:
过P作PF∥AB,则PF∥CD.
∵PF∥AB,
∴∠APF=∠BAP,
同理∠CPF=∠DCF,
又∵∠APC=∠APF﹣∠CPF,
∴∠BAP﹣∠DCP=∠APC.
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