第5章二次型.docx
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第5章二次型
二次型与对称矩阵
、二次型及其矩阵
1定义:
含有n个变量的二次齐次函数:
2a12X1X22ai3XiX^'2a(n_1)nxn/xn
称为二次型。
为便于用矩阵讨论二次型,令aij=aji,则二次型为:
a2xx2ax2222anxxn22
+‘
n
八ajXjXj
i,j弓
a11
a12…
a1n1
/X
X1
a21
a22
a2n
,x=
X2
费
_an1
an2…
ann-
则f(x「x2,xn)=xtAx,且A为对称矩阵。
由于对称矩阵A与二次型f是对应关系,故称对称矩阵A为二次
型f的矩阵,也称二次型f为对称矩阵A的二次型,R(A)也称为二次型
f的秩
1定义:
xi=qiyi+Ci2y2+…+%丫.
关系式严虫21**22"…“心称为由变量Xi*,…xn到变量[xn=5诃1+^2丫2+…+cnnyn
y1,y2^yn的一个线性变量替换,简称线性变换。
、线性变换
c12
c22
…%〕
…c2n
_Cll
c21
称为线性变换的矩阵。
cn2
若C-0,称线性变换为非退化的,否则,称为退化的。
f(x)=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yTCTACy=yTBy,其中B=CTAC,而BT=(CTAC)T=CTAC=B
若线性变换是非退化的,便有:
y=C_1x
2标准形
定义:
只含有平方项的二次型称为标准形。
显然:
其矩阵为对角阵。
三、矩阵的合同
1定义:
设A,B为n阶方阵,如果存在n阶非奇异矩阵C,使得CTAC二B,则称矩阵A与B合同,记为:
A:
B。
容易知道:
二次型f(x)=xTAx的矩阵A与经过非退化线性变换x=Cy得到的矩阵ctac是合同的。
2合同的性质
1反身性:
对任意方阵A都有A:
A
2对称性:
如果A:
B,则B:
A
3传递性:
如果A:
B,B:
C,则AC
3定理:
任何一个实对称矩阵a都合同于一个对角阵上(上是以A的n个特
征根为对角元的对角阵)。
即存在非奇异矩阵C,使得ctac二上。
四、用配方法化二次型为标准形
1二次型中含有平方项
例化二次型x:
+2x2-3x2+4x〔x2-4X[X3-4x2x3为标准形,并求出非奇异线性变换。
解:
X124(X2-X3)X14(X2-X3)2-4(X2-X3)22(x;-2X2X3X()-5x3
222
=(X12X2-2X3)~4x2-X3)乂2(-X3)-X35
222
-(X12X2-2X3)~2x2-X3)-X3
y^xi
+2x2-2x3
i1
'1
2
-21
1
令」
y2=
x2-x3,即
y2
=
0
1
-1
X2
$3二
X3
10
0
1J
一1
2-21
■1
1
-2
01
1
令C_
-iL
=0
1-1,则C=
0
1
1,
于是作非奇异的线性变
Io
01一
10
0
1j
_1
-2
0"%、
换x=Cy,即
X2
=|0
1
1y2
10
0
1Jlysj
则原实二次型xTAx化为标准形:
y12-2y|-5y|
2二次型中不含平方项
例用配方法化二次型x1x2x1x3x2x3为标准形,并求出相应的满秩线性变换。
'*17宀2
解:
令*2=、、-y,则原二次型化为:
f=y:
-y;*2y1y3
x3二y3
再按前例的方法有:
yi2-yf2河3
222
二yi2yiy3y3-y3-y2
222
=(yiy3)-y2-y3
乜=yi+y3
令'z2=y2,则原二次型化为:
f=z2-z;-zf
y3
其中的满秩变换为两变换的合成,即:
尢=%+Y2
I1
ii01
由第一次变换」
x2=旳-y2得:
X2
iT0!
y2
2=出
*丿
i
00ij
鳥3丿
+Y3
/、
yi
_i0-们
/、
z
由第二次变换』
Z2=
y2得:
y2
=0i0
Z2
厶=
y3
必丿
〔00ij
lz3丿
所以有合成的满秩变换为:
%、
j
1
10
-1
1
110■
1
0
11'
X2
-1
打
10
-10
011
Y2
¥3J
-1
-11
10
-10|
0J1
0
0
1
0
z
Z
20
31丿
一11-1"冇
即ILL彳」
即X?
—1-1—1Z?
也丿P01
化二次型为标准形
、用矩阵的初等变换法化二次型为标准形
由于对任何方阵都存在非奇异矩阵C,使CtAC为对角阵;因而C是
cT二pT…p2Tp1,所以
ctac=町p2ptarp2Ps
c=P\PrR=ipp'2Ps
①式表示对实对称矩阵A施行初等列变换就同时也施行相应的行变换,
将A化为对角阵,②表示单位阵在相同的初等列变换下就化为C
例:
用初等变换法化二次型x1x2x1x3x2x3为标准形,并求出相应的满秩线性变换。
原二次型x1x2x1x3-XX化为2y2-舟y-2谚
、用正交化方法
n
定理:
任给aaijxiXj,总有正交变换x=Cy使f化为标准形:
i,j=1
^xf■'2x2'nx2(其中「,・2,…’n是对称矩阵A特征根)
例求一正交变换x=Cy,化二次型x1x2x1x3x2x3为标准形。
*0
1
2
1、
2
解:
二次型的矩阵为:
A=
1
2
0
1
2
1
1
0丿
<2
2
由A-人I=0,求得A的特征根为:
州=1,九2=几3=-"2,T
特征根人=1对应的特征向量为:
S=1;
<1>
r-r
r-n
11
特征根)^-^--1对应的特征向量为:
匕2=
1
芦1C
「3=0
0丿
U丿
显然1与2,3都正交,但2与3不正交
r-r
2
2
正交化:
取P-飞百与厂2—
0
-1
2
1
=
<1丿
10丿
<1丿
使原二次型化为:
yj_y|_1y;2
注意:
二次型的标准形并不唯一,这与施行的正交线性变换有关。
三、二次型的规范形
虽然二次型的标准形不唯一,但是其规范形是唯一的。
在二次型的标准形中,将带正号的项与带负号的项相对集中,使标准
形为如下形式:
d1xf•d2x;—"pXp-dp.[X;订"-dr\
ixi=dyi(i=1,2,,r)
再令线性变换:
di,则原二次型化为:
凶=yj(j=r+1,r+2,…,n)
22…22...2
%y2yp-ypi--y「
定义:
形如上式的标准形称为二次型的规范形。
注:
规范形是由二次型所唯一决定的,与所作的非退化线性变换无关。
定义:
称规范形中正项的个数p称为二次型的正惯性指标,负项个数r-p称为二次型的负惯性指标。
r是二次型的秩。
定理:
二次型都可以经非退化线性变换化为规范形;合同的对称矩阵有相同的规范形,其正惯性指标和秩就相等。
二次型与对称矩阵的有定性
、正(负)定二次型的概念
定义:
若对任意不全为零的实数人梯2,xn,总有f(x)二xtAx0(:
:
0)则称实二次型为正(负)定二次型;其矩阵a为正(负)定矩阵。
定义:
若对任意不全为零的实数为公2,…xn,总有f(x)二xTAx—0(空0)则称实二次型为半正(负)定二次型;其矩阵a为半正(负)定矩阵。
、判定方法
定理1:
若A:
B且A为正定矩阵,则B也为正定矩阵。
定理2:
对角阵D=d2r正定的充要条件是:
IdnJ
di0(i=1,2,,n)o
定理3:
对称矩阵A正定的充要条件是:
存在非奇异矩阵C,使得A二CTC
推论:
如果a为正定,则A0
定理4:
实二次型f(x)二xTAx正定的充要条件是其矩阵的各阶顺序主子式均为正。
例判定实二次型x22x1x22x1x32xf6x2x3•6x3是否正定。
所以实二次型f是正定的
例当t取何值时二次型xf+2x|+3x2+2tX[X2-2x^3+4x2x3是正定的?
1t-1
解:
因二次型的矩阵为:
A二t22,为使所给二次型正定,A的各阶
||-123
顺序主子式应大于零,从而有:
=1>0,d2=1七=2_t2>0,
1t2
1t-1
d3=t22=-(3t2+4t)>0,
-123
丄2_t2°存4
由得:
一4t:
:
:
0
3
3t24t:
0
所以当-3■■-1:
:
:
o时,所给实二次型是正定的
定理5:
实二次型f(X)二xTAx正定的充要条件是其矩阵的特征根均大于零
例判定实二次型xj-x2
xf
-x1x2■x2x3是否正定。
1
1
2
0
1
解:
因
A…土
1
1
2,
_0
1
2
1
其特征根为:
1=1,2:
=1-
今,'3叮乎均大于零
所以实二次型
f是正定的。
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