专题06 全等三角形动点型问题解读解析版.docx

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专题06全等三角形动点型问题解读解析版

专题06全等三角形动点型问题解读

一、基础知识点综述

动点型问题是近几年来中考的一个热点问题.其中的几何动态问题是以几何基础知识与具体图形为背景，将运动变化的观点渗透其中，通过点、线、形的运动，以及图形的翻折、旋转、平移等，对相关图形的性质、数量关系、位置关系等进行探究.

全等三角形的动态问题是将几何、代数相结合，数形结合，具有较强的综合性，题目灵活多变，能考查学生的想象能力以及综合分析问题的能力.

全等三角形的动态问题有单动点、双动点等类型问题，通过动点在运动过程中引起的角度变化，线段长度变化，探究其中不变的量（角度、长度、性状等），在解题过程中，要善于抓住图形中的变与不变，以不变解决变.

本专题从浅入深，由简单到复杂，以三角形为载体，以动态问题展开，借以提高学生的思维能力，让不同层次的学生都有收获.

二、典型例题解析

例1.（2018·江苏期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=8cm，BD是△ABC的高，动点P在线段AB上由A向B运动，速度为1cm/s；动点Q从点B出发沿射线BC运动，速度为2cm/s.动点P、Q同时出发，当点P停止运动时，点Q随之停止.连接AQ，交射线BD于点E，设点P的运动时间为t秒，

（1）在运动过程中，△BQE的面积始终是△APE面积的2倍，为什么？

（2）当点Q在线段BC上运动时，t为何值时，∠BPE和∠BQE相等.

【答案】见解析.

【解析】解：

（1）过E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，

∵∠ABC=90°，AB=BC=8cm，BD是△ABC的高，

∴BD平分∠ABC，

∵EN⊥BC，EM⊥AB，

∴EN=EM，

∵AP=t，BQ=2t，

∴S△BEQ=2S△APE;

（2）由

（1）知，∠PBE=∠QBE，

在△BPE和△BQE中，

∵∠PBE=∠QBE，∠BPE=∠BQE，BE=BE，

∴△BPE≌△BQE，

∴BP=BQ，

即8－t=2t，

解得，t=

，

当t=

时，∠BPE和∠BQE相等.

例2.如图，在平面直角坐标系中，点B（a,0），点C（0,b），点A在第一象限，若a、b满足（a－t）2+|b－t|=0（t>0）.

（1）求证：

OB=OC；

（2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE=AB，连接EC，取EC的中点F，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，求证：

∠OAF的大小不变；

（3）如图2，B’与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB’的延长线上，且BM=NB’，连接MN交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，求点Q的坐标.

图1图2

【答案】见解析.

【解析】解：

（1）证明：

∵（a－t）2+|b－t|=0，（a－t）2≥0，|b－t|≥0，

∴a－t=0，b－t=0，

∴a=b=t，

即OB=OC；

（2）证明：

延长AF至点P，使PF=AF，连接PC,OP,OF，

在△AEF和△PCF中，

∵EF=CF，∠AFE=∠PFC，AF=PF，

∴△AEF≌△PCF

∴AE=PC=AB，∠AEF=∠PCF，

∴AE∥PC，∠PCO=∠CDA=180°－∠ODA，

∵∠ABO=360°－∠BOD－∠BAD－∠ADO=180°－∠ADO

∴∠PCO=∠ABO，

在△PCO和△ABO中，

∵OC=OB,∠PCO=∠ABO，PC=AB，

∴△PCO≌△ABO，

∴OP=OA，∠POC=∠AOB，

∴∠AOP=90°，

即△AOP是等腰直角三角形，

∴∠OAF=45°，大小不变.

（3）过N作NP∥BM，交x轴于P，连接QN，MQ，BQ，B’Q，

∵△BOC是等腰直角三角形，B、B’关于y轴对称，

∴BC=BC’，BB’=2OB，

∴△BB’C是等腰直角三角形，∠BB’C=∠B’BC=45°，

∵NP∥BM，

∴∠B’PN=∠PB’N，

∴NP=NB’=BM，

∴△PTN≌△BTM，

∴NT=MT，即T为MN中点，

∵QT⊥MN，

∴QT是MN的垂直平分线，

∴MQ=NQ，

∴BQ=B’Q，

∴△BQM≌△B’QN，

∴∠NB’Q=∠MBQ，

在△BCQ和△B’CQ中，

BC=B’C，∠BCQ=∠B’CQ，CQ=CQ，

∴△BCQ≌△B’CQ，

∴∠MBQ=∠CB’Q=∠NB’Q，

∵∠CB’Q+∠NB’Q=180°，

∴∠MBQ=∠NB’Q=90°，

∴∠OBQ=45°，

即△OBQ是等腰直角三角形，

∴OQ=OB=t，

即Q（0,－t）.

例3.（2019·江苏期末）如图，点P是∠MON内的一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，且OA=OB，

图1图2图3

（1）如图1，求证：

PA=PB；

（2）如图2，点C是射线AM上一点，点D是线段OB是一点，且∠CPD+∠MON=180°，若OC=8，OD=5，求OA的长；

（3）如图3，若∠MON=60°，将PB绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，12秒后，PA开始绕点P以每秒10°的速度顺时针旋转，PA旋转270°后停止，此时PB也随之停止旋转.在旋转过程中，PA所在直线与OM所在直线的交点记为G，PB所在直线与ON所在直线的交点记为H，问PB旋转几秒时，PG=PH?

【答案】见解析.

【解析】解：

（1）连接OP，

∵PA⊥OM，PB⊥ON，

∴∠OAP=∠ABP=90°，

在Rt△AOP和Rt△BOP中，

∵OP=OP，OA=OB，

∴Rt△AOP≌Rt△BOP

∴PA=PB；

（2）∵∠CPD+∠MON=180°，

∴∠ACP+∠ODP=180°，

∵∠BDP+∠ODP=180°，

∴∠ACP=∠BDP，

∵PA=PB，∠PAC=∠PBD=90°，

∴△ACP≌△BDP，

∴AC=BD，

∵OC=8，OD=5，

∴OA=OC－AC=OC－BD=OC－（OB－OD）=OC－OA+OD，

∴OA=（OC+OD）÷2=6.5；

（3）

（3）如图3，若∠MON=60°，将PB绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，12秒后，PA开始绕点P以每秒10°的速度顺时针旋转，PA旋转270°后停止，此时PB也随之停止旋转.在选择过程中，PA所在直线与OM所在直线的交点记为G，PB所在直线与ON所在直线的交点记为H，问PB旋转几秒时，PG=PH?

（3）①当0≤t<12时，PA未开始运动，故不存在PG=PH；

②当G、P、B三点共线时，t=21，当12

∠APG=∠BPH时，△APG≌△BPH，此时，PG=PH，如下图所示，

由题意知，10t－120=2t，解得，t=15；

③当H与点O重合时，t=30，当21≤t<30时，

∠APG=∠BPH时，△APG≌△BPH，此时，PG=PH，如下图所示，

由题意知，180－（10t－120）=2t，

解得：

t=25；

④当PA旋转270°时，t=39，同理，∠APG=∠BPH时，△APG≌△BPH，此时，PG=PH，

∴10t－300=2t，

解得：

t=37.5；

综上所述，当t=15秒,25秒,37.5秒时，PG=PH.

例4.（2018·济南期末）如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点D是直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，AD=AE.

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，

①当点D在线段BC上时，如图1，判断线段CE、BD的位置关系及数量关系.

②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，判断线段CE、BD的位置关系及数量关系.

（2）如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动，探究：

当∠ACB为多少度时，CE⊥BC？

图1图2图3

【答案】见解析.

【解析】解：

（1）①CE⊥BD，CE=BD，理由如下，

∵∠BAD+∠DAC=90°，∠CAE+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE，

∴∠ACE=∠B=45°，BD=CE，

∴∠ECB=90°，即CE⊥BD.

②CE⊥BD，CE=BD，理由如下，

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，

即∠BAD=∠CAE，

∵AD=AE，AB=AC，

∴△ABD≌△ACE，

∴CE=BD，∠B=∠ACE，BD=CE，

∴∠ACE+∠ACB=90°，

即CE⊥BD，CE=BD；

（2）当∠ACB=45°时，CE⊥BC，理由如下，

过点A作AG⊥AC交CB延长线于G，∠GAC=90°，

∵∠ACB=45°，

∴∠G=45°，

∴AG=AC，

在△GAD和△CAE中，

∵AG=AC，∠DAG=∠EAC，AD=AE，

∴△GAD≌△CAE，

∴∠ACE=∠AGC=45°，

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，即CE⊥BC.

例5.（2019·山东期末）如图，已知△BAD≌△BCE，∠BAD=∠BCE=90°，∠ABD=∠BEC=30°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N，

如图，当点A、B、E三点在同一直线上时，

①求证：

△MEN≌△MDA；

②判断AC与CN的数量关系，并说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：

①∵△BAD≌△BCE，

∴BC=AD，EC=AB，

∵EN∥AD，

∴∠MEN=∠MDA，

∵ME=MD，∠EMN=∠DMA,

∴△MEN≌△MDA；

②AC=CN，

由△MEN≌△MDA，得EN=AD，

∴EN=BC，

∵∠ABD=∠BEC=30°

∴∠ABC=∠CEN=120°，

∵AB=EC，

∴△ABC≌△CEN，

∴AC=CN.

例6.如图1，已知C是线段AB的中点，过点C作AB的垂线CN，在射线CN上有一动点P（不与C重合），连接PB，过点A作PB的垂线，垂足为D，在射线AD上取点E，使得AE=BP，已知∠CPB=α，AB=8，

（1）当α=15°时，求∠BAE的度数.

（2）过E作EF⊥AB于F，在点P的运动过程中，α的大小随点P的运动而变化，在这个变化过程中线段EF的长度是否发生变化？

若不变求出EF的长，若变化，说明理由.

（3）如图2，当0°<α<45°时，设直线PE与直线AB相交于点G，求∠G的度数.

【答案】见解析.

【解析】解：

（1）∵PC⊥AB，AD⊥PB，

∴∠B+∠BAE=90°，α+∠B=90°，

∴∠BAE=α=15°；

（2）线段EF的长度不变，EF=4，理由如下，

由

（1）知，∠FAE=∠BPC，

∵EF⊥AB，PC⊥AB，

∴∠EFA=∠BCP=90°，

∵AE=BP，

∴△EFA≌△BCP，

∴EF=BC，

∵C是AB中点，

∴BC=

AB=4.

即EF=4，长度不变.

（3）连接PA，PE并延长交直线AB于点G，

∵C是AB中点，PC⊥AB，

∴PC是线段AB的垂直平分线，

∴PA=PB=AE，

∴∠APC=∠CPB=∠EAG，

∠APG=2∠APC+∠BPG，

∵∠PEA=∠EAG+∠EGA=∠BPC+∠EGA，

∠PEA=∠APE=2∠BPC+∠BPG，

∴∠EGA=∠BPC+∠BPG=∠CPG，

∵PC⊥AB，

∴∠EGA=45°.

例7.（2019·福建期末）如图，在△ABC中，∠A<∠C，BD⊥AC，垂足为D，点E是BC边上的一个动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交AB的延长线于点F，连接DF交BC于点G，

（1）请根据题意补全示意图；

（2）当△ABD和△DEF全等时，

①若AD=FE，∠A=30°，∠AFD=40°，求∠C的度数；

②探究GF、AF、DF之间的数量关系，并说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：

（1）如图所示.

（2）①∵△ABD与△DEF全等，

∴AB=DF，

∵DE⊥EF，BD⊥AC，

∴∠DEF=∠ADB=90°，

∵AD=EF，

∴∠ABD=∠EDF，BD=DE，

∴∠ABD=90°－∠A=60°=∠EDF，

∴∠ABD=∠BDF+∠AFD，

∠AFD=40°，

∴∠BDF=20°，

∴∠BDE=80°，

∴∠BED=∠DBE=50°，

在Rt△BCD中，∠C=90°－∠DBE=40°；

②GF+DF=AF，理由如下，

∵AB=DF，

（i）若BD=DE，

∵△ABD与△DEF全等，

∴∠ABD=∠FDE，

∵BD=DE，

∴∠BED=∠DBE，

∴∠FBG=180°－∠ABD－∠DBE，

∵∠DGE=180°－∠FDE－∠DEB，

∴∠FBG=∠DGE，

∵∠DGE=∠FGB，

∴∠FBG=∠FGB，

∴FB=FG，

∴AF=AB+BF=DF+GF；

（ii）若AD=DE，延长FE交AC于H，在CD上截取DI=DE，连接BI，

∵DE⊥FH，

∴DH>DE，

∵AD=DE=DI，BD⊥AI，

∴BD平分∠ABI，∠A=∠BID，AB=BI，

∵∠BID=∠C+∠IBC>∠C，

∴∠A>∠C，

与题意不符.

综上所述，AF=DF+FG.

例8.（2018·四川期末）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过B、C两点作过点A的直线l的垂线，垂足为D、E.

（1）如图1，当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系，并说明理由.

（2）如图2，当D、E两点在直线BC的异侧时，猜想BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系，并说明理由.

（3）如图3，∠BAC=90°，AB=22，AC=28，点P从点B出发沿B→A→C路径向终点C运动；点Q从C点出发沿C→A→B路径向终点B运动；点P和点Q分别以2单位/秒和3单位/秒的速度同时开始运动，只要有一个点到达终点时两点同时停止运动，在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G.问：

点P运动多少秒时，△PFA和△QAG全等？

图1图2图3

【答案】见解析.

【解析】解：

（1）DE=BD+CE，理由如下，

∵∠BAC=90°，

∴∠DAB+∠EAC=90°，

∵BD⊥l，CE⊥l，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∴∠ACE+∠EAC=90°，

∴∠DAB=∠ACE，

∵AB=AC，

∴△ABD≌△CAE，

∴CE=AD，BD=AE，

∴DE=AD+AE=CE+BD；

（2）DE=CE－BD，理由如下，

∵∠BAC=90°，

∴∠DAB+∠EAC=90°，

∵BD⊥l，CE⊥l，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∴∠ACE+∠EAC=90°，

∴∠DAB=∠ACE，

∵AB=AC，

∴△ABD≌△CAE，

∴CE=AD，BD=AE，

∴DE=AD－AE=CE－BD；

（3）设运动时间为t，

①当0≤t<

时，如下图所示，

当AP=AQ时，△PFA≌△AGQ，

即22－2t=28－3t，解得：

t=6；

②当

≤t<11时，如下图所示，

当P与Q重合时，△PFA≌△QGA，

即AP=AQ，

22－2t=3t－28，解得：

t=10；

③当11≤t≤

时，如下图所示，

当AP=AQ时，△PFA≌△AGQ，

即2t－22=3t－28，解得：

t=6（不合题意，舍去）；

综上所述，当点P运动6秒、10秒时，△PFA和△QAG全等.