图形的相似知识点总结和练习.docx

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图形的相似知识点总结和练习

相似三角形基本知识点总结及练习

知识点一：

比例线段有关概念及性质

（1）有关概念

1、两条线段的比：

选用同一长度单位量得两条线段量得AB、CD的长度分别是m、n，那

么就说这两条线段的比是AB:

CD＝m：

n

例：

已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm，求线段AB与CD的比。

2.比例线段：

四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a

c（或a：

b

d

b=c：

d），那么，这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。

（注意：

在求线段

比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。

）

例：

b,a,d,c是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d的长度。

（2）比例性质

1.

基本性质:

a

c

ad

bc

（两外项的积等于两内项积）

b

d

2.

反比性质：

a

c

b

d

把比的前项、后项交换）

b

d

a

（

c

3.更比性质（交换比例的内项或外项）：

ab，（交换内项）cd

acdc，（交换外项）

bdba

db．（同时交换内外项）ca

4.等比性质：

（分子分母分别相加，比值不变.）

如果a

c

e

m（b

df

n0），那么a

c

e

m

a．

b

d

f

n

b

d

f

n

b

注意：

（1）

此性质的证明运用了“设

k法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．

（2）应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．

（3）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成

立．

-1-

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例：

已知a

c

e

4（bdf

0）,求ac

e的值

b

d

f

5

bd

f

5.合比性质：

a

c

ab

cd（分子加（减）分母,分母不变）

b

d

b

d

．

知识点二：

平行线分线段成比例定理

1.平行线分线段成比例定理：

两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。

用符号语言表示：

∵AD//BE//CF,

∴

2.推论:

平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。

（1）是“A”字型

（2）是“8”字型经常考，关键在于找

几何语言：

由DE∥BC可得：

更加广泛,条件是平行.

AD

AE或BD

EC或AD

AE.此推论较原定理应用

DB

ECAD

EAAB

AC

例：

如图，在四边形ABCD中，AD//BC,EF//BC,，则=_______。

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知识点三：

相似形多边形

1.定义：

各角分别相等、各边成比列的两个多边形叫做相似多边形。

2.相似多边形的性质：

如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。

3.判定：

如果两个多边形的对应边成比列，对应角相等，那么这两个多边形相似。

（注意：

判断两个多边形相似时，一要看各个角是否对应相等，二要看各条边是否对应成比列，这两个条

件缺一不可。

）

4.任意两个等边三角形相似，任意两个正方形相似，任意两个正n边形相似。

例1：

下列判断正确的是（）

A.两个矩形一定相似。

B.两个平行四边形一定相似。

C.两个正方形一定相似。

D.两个菱形一定相似。

例2：

小明将一张报纸对折，发现对折后的半张报纸与整张报纸相似，你能算出报纸的长与宽的比吗？

知识点四：

黄金分割

（1）定义：

在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC

BC

2

×

，

，即AC=

AB

AC

那么称线段AB被点C黄金分割，点

C叫做线段AB的黄金分割点，

AC与AB的比叫做黄

金比。

AC

51

AB

0.618

2

所以：

AC

5

1AB≈0.618AB。

BC

35AB

2

2

例：

已知线段AB=10cm,点C是AB的黄

金分割点，且AC＞BC，求AC和BC的长。

（2）黄金分割的几何作图：

已知：

线段AB.求作：

点C使C是线段AB的黄金分割点.

作法：

①过点B作BD⊥AB，使；

②连结AD，在DA上截取DE=DB；

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③在AB上截取AC=AE，则点C就是所求作的线段AB的黄金分割点.黄金分割的比值为：

.

（3）黄金矩形：

在矩形中，如果宽与长的比是黄金比，那么这个矩形叫做黄金矩形。

（4）黄金三角形：

顶角为36。

的等腰三角形叫做黄金三角形，因为该三角形的

底边比上腰长等于

例：

如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是角平分线．

2

（1）求证：

AD=CD·AC；

（2）若AC=a，求AD．

知识点五：

相似三角形

1、相似三角形

（1）定义：

三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。

几种特殊三角形的相似关系：

两个全等三角形一定相似（相似比为1）。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

（2）性质：

两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

（3）相似比：

两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。

相似比为k。

（4）判定：

①定义法：

对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②三角形相似的预备定理：

平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

2.三角形相似的判定定理：

判定定理1：

两角对应相等的两个三角形相似。

（此定理用的最多）

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几何语言：

在△ABC和△DEF中

如果

判定定理2：

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

几何语言：

（如上图）在△ABC和△DEFF中

如果

判定定理3：

三边对应成比例的两个三角形相似。

几何语言：

（如上图）在△ABC和△DEF中

如果

，那么△ABC∽△DEF

例1：

如图，

（1）若AE

________,则△ABC∽△AEF；

（2）若∠E＝________，

AB

则△ABC∽△AEF。

直角三角形相似判定定理:

○1.有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

○2.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

3.补充：

直角三角形中的相似问题：

斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.

射影定理：

CD2=AD·BD，

AC2=AD·AB，

BC2=BD·BA

（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.

例：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，

（1）

2

2

求证：

AC=AD·AB；BC=BD·BA；

（2）

2

求证：

CD=AD·AD；

（3）

求证：

AC·BC=AB·CD．

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4.相似图形中常见的基本图形：

5.相似三角形的性质①相似三角形对应角相等、对应边成比例.

②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比（对应边的比）.

③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.④两个相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根⑤任意两个相似多边形的周长比都等于相似比，面积比都等于相似比的平

方。

例1：

已知△ABC∽△DEF，BD和EG是它们的对应中线，，，求BD的长。

例2：

如果两个相似三角形的面积比为16:

25，那么这两个相似三角形对应边的比是_______。

例3：

如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC上的点，DE//BC,AD=3BD,S⊿ABC=48

求S⊿ADE

相似的应用：

位似

（1）定义：

如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

需注意：

①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。

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②两个位似图形的位似中心只有一个。

③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。

④位似比就是相似比。

（2）性质：

①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（相似比）。

②位似图形上任意位似对应点和位似中心在同一条直线上。

③位似图形上的对应线段平行或在同一条直线上。

④位似图形是特殊的相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。

画位似图形的一般步骤：

（1）确定位似中心（位似中心可能在图形内部也可能在图形外部也可能在图形上）

（2）确定原图形的关键点（通常是多边形的顶点）

（3）确定位似比

（4）根据位似比，找出新图形的关键点，最后将各点顺次连接。

坐标变换与图形的关系：

在直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，他们的相似比为∣k∣。

例1：

下列说法中正确的有（）

（1）位似多边形一定是相似多边形。

（2）相似多边形一定是位似多边形

（3）两个位似多边形每一对对应点到位似中心的距离之比为2︰3，则两个

多边形的面积之比为4︰9。

（4）两个位似多边形的对应边互相平行或在同一直线上。

例2：

若△ABC与△DEF关于点O位似，其位似比是1:

2，AO=5，则对应点A、Ｄ之间的距

离是。

例3：

在平面直角坐标系中，已知A（6，3）、B（6，0）两点，以坐标原点O为位似

11，

11，

。

中心，相似比为，把线段AB缩短后得到线段AB则AB的长度等于

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历年中考试题练习

一、选择题

1、如图1,已知AD与BC相交于点O,AB//CD,如果∠=4°,∠=°,则∠O的大小为（）

.6°.7°.8°.°

C

D

A

O

D

E

A

B

B

图1

C

2、如图，已知D、E分别是

ABC的AB、AC边上的点，DEBC,且SADE

S四边形DBCE1

那么AE:

AC等于（

）

A．1:

9

B．1:

3

C．1:

8

D．1

:

3、如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点

O是位似中心，

D，E，F分别

是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（

）

A．1:

6

B．1:

5

C．1:

4

D．1:

2

第3题图第4题图

4、如上图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC

＝90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC

＝5，CF＝3，则DM:

MC的值为（）

A.5:

3B.3:

5C.4:

3D.3:

4

5、如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，若BC6，则DE等于（）

A．5B．4

C．3D．2

A

DE

BC

第5题

6、已知△ABC∽△DEF，相似比为3，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为

（）

A．2B．3C．6D．54

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7、如图,Rt△

中,

⊥

=3,

=4,

P

是

ABC

AB

ACAB

AC

D,设BP=x,则PD+PE=（

）

A.x

3

B.4

x

C.

7

D.

12x

5

5

2

5

边上一点,作

⊥

于E,⊥

于

BC

PEAB

PDAC

A

D

12x2

C

25

E

P

B

8、如图，在Rt△ABC内有边长分别为

a,b,c的三个正方形，则a,b,c满足的关系式是（

）

A、b

a

c

B、bac

C、b2

a2

c2

D、b2a2c

9、如图，△ABC是等边三角形，被一平行于

BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影

部分的面积是△ABC的面积的

（

）

A

Ａ．1

Ｂ．2

Ｃ．1

Ｄ．4

E

H

9

9

3

9

FG

BC

10、下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）

（第10题）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

A

1、如图，D，E两点分别在△ABC的边AB，AC上，DE与BC

D

不平行，当满足

条件（写出一个即可）时，

△ADE∽△ACB．

E

2、如果两个相似三角形的相似比是

1:

3，那么这两个三角形面积的

C

比是

．

B

C

3、如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D,

BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是

和

；

B

A

并写出它的面积比

.

D

第3题图

4、两个相似三角形的面积比S1:

S2与它们对应高之比h1:

h2之间的关系为．

5、如图4，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=

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第9题

9、如图，要测量A、B两点间距离，在O点打桩，取OA的中点C，OB的中点D，测得CD=30

米，则AB=______米．

11、在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，

则树的高度为______米．

三、解答题

1、如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分线CF交AD于F，

点E是AB的中点，连结EF.

（1）求证：

EF∥BC.

（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.

2、如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．

求证：

（1）

（2）

AECG；

ANDNCNMN.

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3、如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分

别交AC，CD于点P，Q．

（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；AD

（2）求BP:

PQ:

QR．

O

R

P

B

C

E

4、如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE1CD。

2

⑴求证：

△ABF∽△CEB;

⑵若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积。

E

AF

D

BC

5、如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，

EF⊥DE交BC于点F．

（1）求证：

∽

；

ADE

BEF

（2）设正方形的边长为

4，=

，=

y

．当

x

取什么值时，

y

有最大值?

并求出

AEx

BF

这个最大值．

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