趣味数学之行程问题.docx
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趣味数学之行程问题
趣味数学之行程问题
行程问题
(一)
一、专题简析:
我们把研究路程、速度、时间这三者之间关系的问题称为行程问题。
行程问题主要包括相遇问题、相背问题和追及问题。
这一周我们来学习一些常用的、基本的行程问题。
解答行程问题时,要理清路程、速度和时间之间的关系,紧扣基本数关系“路程=速度×时间”来思考,对具体问题要作仔细分析,弄清出发地点、时间和运动结果。
例1:
甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行,甲每小时走6千米,乙每小时走4千米。
两人几小时后相遇?
分析与解答:
这是一道相遇问题。
所谓相遇问题就是指两个运动物体以不同的地点作为出发地作相向运动的问题。
根据题意,出发时甲乙两人相距20千米,以后两人的距离每小时缩短6+4=10千米,这也是两人的速度和。
所以,求两人几小时相遇,就是求20千米里面有几个10千米。
因此,两人20÷(6+4)=2小时后相遇。
二、精练
练习一
1,甲乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发相向而行,甲船每小时行驶18千米,乙船每小时行驶15千米,经过6小时两船在途中相遇。
两地间的水路长多少千米?
2,一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两地出发,汽车每小时行40千米,摩托车每小时行50千米。
8小时后两车相距多少千米?
3,甲乙两车分别从相距480千米的A、B两城同时出发,相向而行,已知甲车从A城到B城需6小时,乙车从B城到A城需12小时。
两车出发后多少小时相遇?
【答案】
1.(18+15)×6=198(千米)
2.
(1)相向而行:
900-(40+50)×8=180(千米)
(2)背向而行:
900+(40+50)×8=1620(千米)
(3)摩托车追汽车:
900-(50-40)×8=820(千米)
(4)汽车追摩托车:
900+(50-40)×8=980(千米)
3.480÷[(480÷6)+(480÷12)]=4(小时)
例2:
王欣和陆亮两人同时从相距2000米的两地相向而行,王欣每分钟行110米,陆亮每分钟行90米。
如果一只狗与王欣同时同向而行,每分钟行500米,遇到陆亮后,立即回头向王欣跑去;遇到王欣后再回头向陆亮跑去。
这样不断来回,直到王欣和陆亮相遇为止,狗共行了多少米?
分析与解答:
要求狗共行了多少米,一般要知道狗的速度和狗所行的时间。
根据题意可知,狗的速度是每分钟行500米,关键是要求出狗所行的时间,根据题意可知:
狗与主人是同时行走的,狗不断来回所行的时间就是王欣和陆亮同时出发到两人相遇的时间,即2000÷(110+90)=10分钟。
所以狗共行了500×10=5000米。
练习二
1,甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发相向而行。
一个同学骑自行车以每小时15千米的速度在两队之间不停地往返联络。
甲队每小时行5千米,乙队每小时行4千米。
两队相遇时,骑自行车的同学共行多少千米?
2,A、B两地相距400千米,甲、乙两车同时从两地相对开出,甲车每小时行38千米,乙车每小时行42千米。
一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去,遇到乙车又折回向甲车飞去。
这样一直飞下去,燕子飞了多少千米,两车才能相遇?
3,甲、乙两个车队同时从相隔330千米的两地相向而行,甲队每小时行60千米,乙队每小时行50千米。
一个人骑摩托车以每小时行80千米的速度在两车队中间往返联络,问两车队相遇时,摩托车行驶了多少千米?
【答案】
1.15×[18÷(5+4)]=30(千米)
2.50×[400÷(38+42)]=250(千米)
3.80×[330÷(60+50)]=240(千米)
例3:
甲每小时行7千米,乙每小时行5千米,两人于相隔18千米的两地同时相背而行,几小时后两人相隔54千米?
分析与解答:
这是一道相背问题。
所谓相背问题是指两个运动的物体作背向运动的问题。
在相背问题中,相遇问题的基本数量关系仍然成立,根据题意,甲乙两人共行的路程应该是54-18=36千米,而两人每小时共行7+5=12千米。
要求几小时能行完36千米,就是求36千米里面有几个12千米。
所以,36÷12=3小时。
练习三
1,甲车每小时行6千米,乙车每小时行5千米,两车于相隔10千米的两地同时相背而行,几小时后两人相隔65千米?
2,甲每小时行9千米,乙每小时行7千米,甲从南庄向南行,同时乙从北庄向北行。
经过3小时后,两人相隔60千米。
南北两庄相距多少千米?
3,东西两镇相距20千米,甲、乙两人分别从两镇同时出发相背而行,甲每小时的路程是乙的2倍,3小时后两人相距56千米。
两人的速度各是多少?
【答案】
1.(65-10)÷(6+5)=5(小时)
2.60-(9+7)×3=12(千米)
3.乙的速度:
[(56-20)÷3]÷(1+2)=4(千米/小时)甲的速度:
4×2=8(千米/小时)
例4:
甲乙两人分别从相距24千米的两地同时向东而行,甲骑自行车每小时行13千米,乙步行每小时走5千米。
几小时后甲可以追上乙?
分析与解答:
这是一道追及问题。
根据题意,甲追上乙时,比乙多行了24千米(路程差)。
甲骑自行车每小时行13千米,乙步行每小时走5千米,甲每小时比乙多行13-5=8千米(速度差),即甲每小时可以追上乙8千米,所以要求追上乙所用的时间,就是求24千米里面有几个8千米。
因此,24÷8=3小时甲可以追上乙。
练习四
1,甲乙两人同时从相距36千米的A、B两城同向而行,乙在前甲在后,甲每小时行15千米,乙每小时行6千米。
几小时后甲可追上乙?
2,解放军某部从营地出发,以每小时6千米的速度向目的地前进,8小时后部队有急事,派通讯员骑摩托车以每小时54千米的速度前去联络。
多长时间后,通讯员能赶上队伍?
3,小华和小亮的家相距380米,两人同时从家中出发,在同一条笔直的路上行走,小华每分钟走65米,小亮每分钟走55米。
3分钟后两人相距多少米?
【答案】
1.36÷(15-6)=4(小时)
2.6×8÷(54-6)=1(小时)
3.
(1)相对而行:
380-(55+65)×3=20(米)
(2)相背而行:
380+(55+65)×3=740(米)
(3)同向而行:
380-(65-55)×3=350(米)380+(65-55)×3=410(米)
例5:
甲、乙两沿运动场的跑道跑步,甲每分钟跑290米,乙每分钟跑270米,跑道一圈长400米。
如果两人同时从起跑线上同方向跑,那么甲经过多长时间才能第一次追上乙?
分析与解答:
这是一道封闭线路上的追及问题。
甲和乙同时同地起跑,方向一致。
因此,当甲第一次追上乙时,比乙多跑了一圈,也就是甲与乙的路程差是400米。
根据“路程差÷速度差=追及时间”即可求出甲追上乙所需的时间:
400÷(290-270)=20分钟。
练习五
1,一条环形跑道长400米,小强每分钟跑300米,小星每分钟跑250米,两人同时同地同向出发,经过多长时间小强第一次追上小星?
2,光明小学有一条长200米的环形跑道,亮亮和晶晶同时从起跑线起跑。
亮亮每秒跑6米,晶晶每秒跑4米,问:
亮亮第一次追上晶晶时两人各跑了多少米?
3,甲、乙两人绕周长1000米的环形广场竞走,已知甲每分钟走125米,乙的速度是甲的2倍。
现在甲在乙后面250米,乙追上甲需要多少分钟?
【答案】
1.400÷(300-250)=8(分钟)
2.亮亮:
200÷(6-4)×6=600(米),晶晶600-200=400(米)
3.(1000-250)÷(125×2-125)=6(分钟)
行程问题
(二)
一、专题简析:
行船问题是指在流水中的一种特殊的行程问题,它也有路程、速度与时间之间的数量关系。
因此,它比一般行程问题多了一个水速。
在静水中行船,单位时间内所行的路程叫船速,逆水的速度叫逆水速度,顺水下行的速度叫顺水速度。
船在水中漂流,不借助其他外力只顺水而行,单位时间内所走的路程叫水流速度,简称水速。
行船问题与一般行程问题相比,除了用速度、时间和路程之间的关系外,还有如下的特殊数量关系:
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
(顺水速度+逆水速度)÷2=船速
(顺水速度-逆水速度)÷2=水速
例1:
货车和客车同时从东西两地相向而行,货车每小时行48千米,客车每小时行42千米,两车在距中点18千米处相遇。
东西两地相距多少千米?
分析与解答:
由条件“货车每小时行48千米,客车每小时行42千米”可知货、客车的速度和是48+42=90千米。
由于货车比客车速度快,当货车过中点18千米时,客车距中点还有18千米,因此货车比客车多行18×2=36千米。
因为货车每小时比客车多行48-42=6千米,这样货车多行36千米需要36÷6=6小时,即两车相遇的时间。
所以,两地相距90×6=540千米。
二、精练
练习一
1,甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行,甲每小时行20千米,乙每小时行18千米。
两人相遇时距全程中点3千米,求全程长多少千米。
2,甲、乙两辆汽车同时从东西两城相向开出,甲车每小时行60千米,乙车每小时行56千米,两车在距中点16千米处相遇。
东西两城相距多少千米?
3,快车和慢车同时从南北两地相对开出,已知快车每小时行40千米,经过3小时后,快车已驶过中点25千米,这时慢车还相距7千米。
慢车每小时行多少千米?
【答案】
1.(20+18)×[(3×2)÷(20-18)]=114(千米)
2.(60+56)×[(16×2)÷(60-56)]=928(千米)
3.[40×3-(25×2+7)]÷3=21(千米/时)
例2:
甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟30米、40米、50米,甲、乙在A地,而丙在B地同时出发相向而行,丙遇乙后10分钟和甲相遇。
A、B两地间的路长多少米?
分析与解答:
从图中可以看出,丙和乙相遇后又经过10分钟和甲相遇,10分钟内甲丙两人共行(30+50)×10=800米。
这800米就是乙、丙相遇比甲多行的路程。
乙每分钟比甲多行40-30=10米,现在乙比甲多行800米,也就是行了80÷10=80分钟。
因此,AB两地间的路程为(50+40)×80=7200米。
练习二
1,甲每分钟走75米,乙每分钟走80米,丙每分钟走100米,甲、乙从东镇,丙人西镇,同时相向出发,丙遇到乙后3分钟再遇到甲。
求两镇之间相距多少米?
2,有三辆客车,甲、乙两车从东站,丙车从西站同时相向而行,甲车每分钟行1000米,乙车每分钟行800米,丙车每分钟行700米。
丙车遇到甲车后20分钟又遇到乙车。
求东西两站的距离。
3,甲、乙、丙三人,甲每分钟走60米,乙每分钟走67米,丙每分钟走73米。
甲、乙从南镇,丙从北镇同时相向而行,丙遇乙后10分钟遇到甲。
求两镇相距多少千米。
【答案】
1.(75+100)×3÷(80-75)×(80+100)=18900(米)
2.(700+800)×20÷(1000-800)×(1000+700)=255000(米)
3.(60+73)×10÷(67-60)×(67+73)=26600(米)
例3:
甲、乙两港间的水路长286千米,一只船从甲港开往乙港顺水11小时到达;从乙港返回甲港,逆水13小时到达。
求船在静水中的速度(即船速)和水流速度(即水速)。
分析与解答:
要求船速和水速,要先求出顺水速度和逆水速度,而顺水速度可按行程问题的一般数量关系求,即:
路程÷顺水时间=顺水速度,路程÷逆水时间=逆水速度。
因此,顺水速度是286÷11=26千米,逆水速度是286÷13=22千米。
所以,船在静水中每小时行(26+22)÷2=24千米,水流速度是每小时(26-22)÷2=2千米。
练习三
1,A、B两港间的水路长208千米。
一只船从A港开往B港,顺水8小时到达;从B港返回A港,逆水13小时到达。
求船在静水中的速度和水流速度。
2,甲、乙两港间水路长432千米,一只船从上游甲港航行到下游乙港需要18小时,从乙港返回甲港,需要24小时到达。
求船在静水中的速度和水流速度。
3,甲、乙两城相距6000千米,一架飞机从甲城飞往乙城,顺风4小时到达;从乙城返回甲城,逆风5小时到达。
求这架飞机的速度和风速。
【答案】
1.静水速度:
(208÷8+208÷13)÷2=21(千米/时)水流速度21-16=5(千米/时)
2.水流速度:
(432÷18-432÷24)÷2=3(千米/时)静水速度:
432÷18-3=21(千米/时)
3.风速:
(6000÷4-6000÷5)÷2=150(千米/时)飞机速度:
1500-150=1350(千米/时)
例4:
一只轮船从上海港开往武汉港,顺流而下每小时行25千米,返回时逆流而上用了75小时。
已知这段航道的水流是每小时5千米,求上海港与武汉港相距多少千米?
分析与解答:
先根据顺水速度和水速,可求船速为每小时25-5=20千米;再根据船速和水速,可求出逆水速度为每小时行20-5=15千米。
又已知“逆流而上用了75小时”,所以,上海港与武汉港相距15×75=1125千米。
练习四
1,一只轮船从A港开往B港,顺流而下每小时行20千米,返回时逆流而上用了60小时。
已知这段航道的水流是每小时4千米,求A港到B港相距多少千米?
2,一只轮船从甲码头开往乙码头,逆流每小时行15千米,返回时顺流而下用了18小时。
已知这段航道的水流是每小时3千米,求甲、乙两个码头间水路长多少千米?
3,某轮船在相距216千米的两个港口间往返运送货物,已知轮船在静水中每小时行21千米,两个港口间的水流速度是每小时3千米,那么,这只轮船往返一次需要多少时间?
【答案】
1.(20-4×2)×60=840(千米)
2.(15+3×2)×18=378(千米)
3.216÷(21+3)+216÷(21-3)=21(小时)
例5:
A、B两个码头之间的水路长80千米,甲船顺流而下需要4小时,逆流而上需要10小时。
如果乙船顺流而行需要5小时,那么乙船在静水中的速度是多少?
分析与解答:
虽然甲、乙两船的船速不同,但都在同一条水路上行驶,所以水速相同。
根据题意,甲船顺水每小时行80÷4=20千米,逆水每小时行80÷10=8千米,因此,水速为每小时(20-8)÷2=6千米。
又由“乙船顺流而行80千米需要5小时”,可求乙船在顺水中每小时行80÷5=16千米。
所以,乙船在静水中每小时行16-6=10千米。
练习五
1,甲乙两个码头间的水路长288千米,货船顺流而下需要8小时,逆流而上需要16小时。
如果客船顺流而下需要12小时,那么客船在静水中的速度是多少?
2,A、B两个码头间的水路全长80千米,甲船顺流而下需要4小时,逆流而上需要10小时。
如果乙船逆流而上需要20小时,那么乙船在静水中的速度是多少?
3,一条长160千米的水路,甲船顺流而下需要8小时,逆流而上需要20小时。
如果乙船顺流而下要10小时,那么乙船逆流而上需要多少小时?
【答案】
1.水流:
(288÷8-288÷16)÷2=9(千米/小时)
静水速度:
288÷12-9=15(千米/小时)
2.乙船在静水中的速度是10千米/小时
3.水速:
(160÷8-160÷20)÷2=6(千米/小时)
乙船顺流速度:
160÷10=16(千米/小时)
逆流时间160÷(10-6)=40(小时)
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