画法几何及工程制图2.docx

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画法几何及工程制图2

§3.2点的二面投影（two-planeprojectionofpoint）

一、二面投影体系的建立及点的二面投影

点是形体最基本的元素。

在几何学中无大小、薄厚、宽窄，只占有位置。

空间点用大写字母表示，投影点用小写字母表示。

图2

设立一个投影面P，则A1、A2、A3点在投影面P上的正投影是唯一的。

但反过来，若知道了点的一个投影，却不能确定点的空间位置（缺少一个坐标）。

因此要确定一个点的空间位置，只有一个投影是不够的。

现设立两个互相垂直的投影面正立投影面V（也称正面或V面）、水平投影面H（也称水平面或H面），从而构成二投影面体系。

V面和H面的交线OX称为投影轴。

A点的在V面上的投影称为A点的正面投影或A点的正投影、A点的V投影，用a’表示。

A点的在H面上的投影称为A点的水平投影或A点的H投影，用a表示。

图3

我们需要把这种空间关系在一种图纸上（一个平面上）表达出来。

保持V面不动，H面绕OX轴向下旋转90º直至与V面重合，从而得到点的二面投影图。

为简便起见，投影图中投影面的边框不必画出。

在点的二面投影体系中，X、Y、Z三个坐标均能体现，故点的二面投影就唯一确立了点在空间的相对位置（相对二面投影体系）。

图4

容易得出点在二面投影体系中的投影规律：

⒈点的两投影的连线⊥投影轴。

证明。

⒉投影点到投影轴的距离，反映该空间点到另一投影面的距离。

二、点在四个象角中的投影

平面本身是可以无限延长的，因此就有上V面、下V面、前H面和后H面，它们把空间分为四个部分──四个象限或象角。

分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ标记。

画投影图时仍然保持V面不动，前H面向下旋转与下V重合，后H面向上旋转与上V重合，只画OX轴，不必注投影面标记，也不用画边框。

⒈在四个象角内的点。

（1）A点在Ⅰ象角内。

其正面投影a’在OX轴上方，水平投影a在OX轴下方。

（2）B点在Ⅱ象角内。

H面之上，V面之后。

正投影b’在OX轴上方，水平投影b也在OX轴上方。

（3）C点在第Ⅲ象角内。

其正投影c’在OX下方，水平投影c在OX上方。

（4）D点在Ⅳ象角内。

其二投影d、d’都在OX轴上方。

⒉在投影面上、投影轴上的点。

3.综上所述，从投影图中点的投影与OX轴的相对位置，可判断空间点在投影面体系中所处位置，反之亦然。

（1）在投影图中，点的水平投影位于OX轴下方，则该点必位于V面之前；反之则在V面之后。

（2）点的正面投影位于OX轴上方，则该点必位于H面之上；反之则在H面之下。

（3）若点有一个投影位于OX轴上，则该点必在投影面上。

§3.3三投影面体系及点的三投影

由两投影面体系，能否唯一确定形体的形状和大小呢？

不一定！

举例如下：

如图，根据这一V-H两面投影可同时做出立方体、三棱柱和四分之一圆柱等。

因此需设立三投影面体系。

一、三投影面体系：

设立一个同时垂直于H面和V面的第三投影面W面──侧立投影面（也称侧面或W面）。

H面与W面交于OY轴。

V与W交于OZ投影轴。

三投影轴交点为原点，以O标记。

与两投影面体系一样，在三投影面体系中，投影面展开时，保持V面不动，假想将OY轴剪开，H面绕OX轴向下旋转与V面重合，W面绕OZ轴向右旋转与V面重合。

而OY轴展开后分为两条，在H面上的标为OYH，在W面上的标为OYW。

二、点的三投影：

将A点向W面投影，其投影称为A点的侧面投影或侧投影、W投影，用a”标记。

点在三面投影体系中，投影规律不变。

（1）点的投影连线⊥投影轴。

（2）投影点到投影轴之距=空间点到另一个投影面之距。

注：

“长对正，高平齐，宽相等。

”

三、由点的两个投影作第三个投影

已知点A的两投影a、a’，作出其第三投影a”

已知点的正面投影和其侧面投影，求其水平投影

已知点的水平投影和侧面投影，求作正面投影

四、点的三面投影与直角坐标的关系

XA=aay＝a＇az＝axO＝Aa＇＇，是空间点A到W面的距离。

YA=aax＝a＇＇az＝ayO=Aa＇，是空间点A到V面的距离。

ZA=a＇ax＝a＇＇ay＝azO=Aa，是空间点A到H面的距离。

例3已知空间点D的坐标（20，15，10）,试作其投影图。

五、特殊位置点的投影

举例一一讲解。

§3.4两点的相对位置

一、一般情况

空间两个点具有前后、左右、上下位置关系。

二、特殊情况

重影点：

当空间两点的连线⊥某个投影面时，它们在该面上的投影重合。

由于重影，有可见与不可见问题，不可见用（）将投影括起来。

注意:

重影点是相对于投影面而言的

例1：

已知点A的两投影ɑ和ɑ′，以及点B在点A的右方10mm、上方8mm、前方6mm，试确定点B的投影。

例2：

已知A、B、C、D的投影图，判断其相对位置

§3.5投影变换（projectiontransformation）概述及点的投影变换

一、概述

投影变换就是通过改变空间几何元素对投影面的相对位置，从而简化求解问题的一种方法。

1、投影变换的方法

（1）旋转法——投影体系不动而转动空间几何要素。

（2）换面法——保持空间几何要素位置不动,设立新的投影面代替旧的投影面,使新投影面处于有利于解题的位置,求出新投影的方法。

本课程仅介绍换面法。

2、建立新投影面的原则

①新设立投影面必须⊥保留投影面，以组成新的正投影面体系，利用正投影规律作图。

②新投影面对几何元素必须处于有利于图解的位置。

如平行或垂直等。

3、投影面的展开

二、点的换面

在V1/H中，A（a1＇,a）符合点的投影规律，所以将V1展开与H面共面，a1＇a⊥O1X1

且a1＇→O1X1=A→H=a＇→OX=ZA即

〈1〉新投影和保留投影的连线垂直于新轴；

〈2〉新投影到新轴的距离等于被代替的旧投影到旧轴的距离。

举例讲解点的一次、二次、三次换面。

第四章直线的投影

主要内容

一般位置线、特殊位置线的投影、两直线的相对位置

直角三角形法、换面法

学时分配

4学时

重点与难点

重点：

直角三角形法、换面法、

难点：

垂直问题

教学方式

教学手段

多媒体教学与普通教学相结合。

学生容易出现的问题

直线对投影面的倾角的真正含义；

把长度的投影规律应用在角度的投影上

作业及思考题

P155～P158所有习题

其它说明

§4.1直线的投影（projectionofline）

直线的投影一般情况下仍为直线。

两点决定一条直线，确定了直线上两点的投影也就确定了直线的投影。

即直线上两点的同面投影的连线就是直线的投影。

§4.2一般位置线

一、投影特性

一般位置线——与三个投影面既不垂直也不平行的直线。

不具有积聚性和度量性，而且各个投影与投影轴的夹角不能反映直线对投影面的倾角α、β、γ。

对于一般位置线，我们主要解决其实长和倾角。

所采用的方法有两种：

直角三角形法、换面法。

二、直角三角形法

直角三角形中四个要素：

知二求二

例1、已知ab、a＇，且α=30°,求a＇b＇。

例2、已知E（e,e＇）,求作直线EF实长为30mm且F点在Z轴上

例3、已知AB两点，在H面上求作一点C，使得αAC=30°，αBC=45°。

§4.3特殊位置线

一、投影面平行线（parellelline）

水平线（horizontalline）

α=0，β=实长投影与OX轴的夹角、γ=实长投影与OYH的夹角。

正平线（frontalline）

α=实长投影与OX轴的夹角，β=0、γ=实长投影与OZ的夹角。

侧平线（profileline）

α=实长投影与OYW轴的夹角，β=实长投影与OZ的夹角、γ=0。

二、投影面垂直线（perpendicularline）

正垂线（horizontal-profileline）

α=0º，β=90º，γ=0º。

铅垂线（verticalline）

α=90º，β=0º，γ=0º。

侧垂线（frontalhorizontalline）

α=0º，β=0º，γ=90º。

§4.4直线上的点

一、直线上的点（从属性、定比性）

求做直线上的点：

点在直线上，点的投影在直线的同名投影上。

判断：

对于一般位置线，点的投影在直线的同名投影上，则点在直线上。

对于特殊位置线，视给定的投影，还需应用定比性。

如：

给出正面与水平投影的侧平线、给出正面、侧面投影的水平线、给出水平、侧面投影的正平线等。

定比分点：

做法。

例1、已知侧平线AB的两投影和直线上S点的正面投影s＇，求其水平投影s.

例2、已知直线AB的水平投影ab和A点的正面投影a＇，且AB=20mm，试求直线AB的正面投影a＇b＇；在直线AB上取一点C，使AC=15mm，求C点的两投影。

§4.5两直线的相对位置

平行（parallel）、相交（intersection）、交叉（skew）

1.两直线平行

求做：

两直线平行，其同名投影均平行

判断：

对一般位置线，两直线同名投影都平行，则两直线平行。

特殊位置线还需应用定比法或作第三投影。

应用：

（1）过直线外一点求作直线平行于已知直线

（2）根据两直线投影判断它们在空间是否平行？

例4、给定两条侧平线的正面投影和水平投影，判断之

2.两直线相交

两直线相交，其同名投影必相交，且投影的交点正是空间同一点的投影（即符合点的投影规律）。

判断时，若其中一条线为特殊位置线，视情况还需应用定比法或作第三投影。

例5如图，AB为一般位置直线、CD为侧平线，试判别这两条直线是否相交？

3．两直线交叉

重影点的确定与判别。

4.相交、交叉的特殊情况——垂直

直角定理：

二直线垂直相交（或交叉），其中有一条直线为投影面平行线，则二直线在所平行的投影面上的投影仍垂直。

直角定理逆定理：

二直线之一为某投影面平行线，且二直线在该投影面上的投影垂直，则空间两直线垂直。

下列直线互相垂直：

下列直线互相不垂直：

例6已知矩形ABCD的边AB为水平线，试完成图中矩形的两面投影。

例7求作交叉二直线（其中之一为垂直线）的公垂线。

例8完成等腰直角三角形ABC的两面投影（直角边BC在水平线MN上）。

§4.6直线的换面（详细讲解直线的一次、二次、三次换面。

）

1．把一般位置直线变换为投影面的平行线

可以求出直线的实长和倾角。

求直线的实长和倾角β

求直线的实长和а角

2．把投影面平行线变换为投影面垂直线

主要解决于直线有关的度量问题（两直线间的距离）和定位问题（求线面交点）。

图6—10将正平线变为投影面垂直线

3．直线的二次换面

把一般位置直线变换成投影面的垂直线，只经过一次换面是不能实现的，因为垂直于一般位置直线的平面是一般位置平面，它与原来的两个投影面均不垂直，不能构成正投影体系，所以必须经过两次换面。

第一次，将一般位置直线变换为新投影体系中的投影面平行线；第二次，将投影面平行线变换成另一投影体系中的投影面垂直线。

图

§4.7直线的迹点

直线与投影面的交点称为直线的迹点。

M____水平迹点

N——正面迹点

S——侧面迹点

特性：

1，迹点是直线上的点，迹点的投影必在直线的同面投影上。

2，迹点是投影面上的点，故迹点的一个投影必在投影轴上。

因此：

直线的投影和投影轴的交点就是直线相应迹点的一个投影，另一投影可根据直线上的点的投影规律作出。

第五章平面的投影

主要内容

平面的投影、平面上的点和线

最大斜度线、平面的换面

学时分配

4学时

重点与难点

重点：

最大斜度线、换面法、

难点：

最大斜度线

教学方式

教学手段

多媒体教学与普通教学相结合。

学生容易出现的问题

不能正确理解最大斜度线的真正含义；

作业及思考题

P159～P162所有习题

其它说明

§5.1平面的表示

1．用平面的几何元素的投影表示

1、三点A、B、C——a、b、c,　a＇、b＇、c＇,a＇＇、b＇＇、c＇＇

2、一点一直线——AB、C

3、相交二直线——AB、AC

4、平行二直线——AB与CD

5、平面图形ABC

2．用迹线（trace）来表示平面

（1）迹线的概念

空间平面与投影面的交线，称为平面的迹线。

水平迹线——PH（horizontaltrace）

正面迹线——PV（frontaltrace）

侧面迹线——PW（profiletrace）

（2）迹线的投影特点和画法

迹线是投影面内的直线。

画法：

只画出与迹线本身重合的那个投影，并加以标记，其余两投影在相应的投影轴上，不画出并省略标记。

§5.2平面对投影面的相对位置及投影特征

一、一般位置面

与三投影面均倾斜α、β、γ，α----坡度，三面投影具有类似性。

二、投影面垂直面

垂直于某一个投影面，分铅垂面（verticalplane）、正垂面（horizontal-profileplane）、侧垂面（frontalhorizontalplane），反映α、β、γ。

积聚投影可用迹线PH或PH表示。

三、投影面平行面（parallelplaneofprojectionplane）

平行于某一个投影面（必然垂直于另外两个投影面），分水平面（horizontalplane）、正平面（frontalplane）、侧平面（profileplane）。

§5.3平面上的点和线

一、平面上的点和线

点在面上，点在面内的线上。

反之亦然。

直线在平面上，直线过面内二已知点或过面内一点且平行于面内一直线。

反之亦然。

例１　△ABC,E∈AB,F∈AC,则EF∈平面ABC?

例2CD∥EF,则CD∈平面ABC？

——一点一方向

例3给定M（m,m＇）,△ABC,判断M∈平面ABC?

例4给定△ABC和k＇，且K∈平面ABC,求k

例5补全平面图形的正面投影。

例6给定△ABC，在其上作一条水平线且距H面20mm。

二、过点、过线作平面

1.过点作面

1）过已知点作一个水平面

2）过已知点作一个正垂面且α=30º

2.过线作面

例7AB是水平线，过AB作水平面P，作铅垂面Q

例8CD是铅垂线,过CD作铅垂面R且γ=45º

三、平面内的投影面平行线

§5.4最大斜度线法求平面的倾角

给定平面内垂直于该平面内投影面平行线的直线称为该平面的最大斜度线。

其中，垂直于水平线的直线称为对

面的最大斜度线，垂直于正平线的直线称为对

面的最大斜度线，垂直于侧平线的直线称为对

面的最大斜度线。

对

面的最大斜度线也称最大坡度线（一小球在平面上的自由滚动路线）。

1、空间分析：

2、作图要点：

1）在平面内作某投影面的平行线

2）过面内任一点在面内作平行线的垂线

3）该垂线即为该投影面的最大斜度线

4）求该最大斜度线对该投影面的倾角=平面的倾角

2、投影图上完成过程

讨论：

1）一条最大斜度线能求出α、β、γ？

2）最大斜度线给定，平面确定否？

例9已知直线EF是某一平面对H面的最大斜度线，求该平面的β

§5.5平面的换面

一、将一般位置平面变换为投影面垂直面

空间分析：

如果将平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面就变换成了新投影面的垂直面。

投影作图：

在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。

例已知一般位置平面ABC的两投影，试求该平面对H面的倾角α。

解欲求一般位置平面△ＡＢＣ对H面的倾角α，应当保留H面，用Ｖ1面替换V面，建立V1/H新投影体系，是平面成为新投影面V1的垂直面。

求平面ABC的α角

二、把投影面垂直面变换为投影面平行面

例试求铅垂面△ＡＢＣ的实形。

求三角形实形

三、平面的三次换面

第六章直线、平面的相对位置关系

主要内容

直线与平面、平面与平面的平行、相交、垂直

点、线、面综合问题

学时分配

4学时

重点与难点

重点：

换面法求解

难点：

综合问题空间分析

教学方式

教学手段

多媒体教学与普通教学相结合。

学生容易出现的问题

垂直问题

作业及思考题

P163、P164、P167、P169

其它说明

§6.1平行关系

1．直线与平面平行

几何条件：

如果平面外的一直线和这个平面上的任一直线平行，则此直线平行于该平面，反之亦然。

●作一直线与平面平行（图6-1）

●判定线面平行（图6-2）

图6-3图6-4

例1过点K作一水平线，使之平行于ΔABC（图6-3）

例2过点K作一铅垂面（用迹线表示），使之平行于直线AB（图6-4）

2．平面与平面平行

几何条件：

如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。

●作两平面平行（图6-6）

●判定两平面平行（图6-7）

图6-5

（图6-6）（图6-7）

§6.2相交关系

●线面相交——求交点，判断可见性（交点是可见与不可见的分界点）

●面面相交——求交线，判断可见性（交线是可见与不可见的分界线）

一、利用积聚性求交点、交线

例1试求直线AB与平面P的交点（图6—8）

图6—8

例2试求直线EF与△ABC的交点（图6—9a、图6—9b）

作图步骤

（1）过k在△abc上作辅助线ad。

（2）作ad的正面投影aˊdˊ。

（3）求交点的正面投影kˊ。

（4）判断可见性。

图6—9a

图6—9b

例3试求平面ABC与平面P的交线（图6—10a、图6—10b、图6—10c）

图5—9c

图5—9b

图5—9a

例4试求平面ABC与平面DEF的交线（图6—11）

（图6—11）

二、利用辅助平面法求交点、交线

当直线、平面均为一般位置时，其交点、交线不能直接求出，须通过辅助平面法求解。

1.用辅助平面法求交点

作图步骤（图6—12）

（1）过已知直线做一辅助平面，如平面P（为便于作图，常用特殊位置平面）；

（2）求出辅助平面与已知平面的辅助交线，如直线CD;

（3）求出辅助交线与已知直线的交点，如K点，即为所求交点。

 图6-12

例1试求直线AB与平面EFG的交点（图6—13）。

图5—11a图5—11b图5—11c图5—11d

图6—13

例2求出直线AB与平面CDEF（CD//EF）的交点（图6—14）。

图6—14

2．用辅助平面法求交线

例3试求平面ABC与平面DEF的交点（图6—15）。

图5—12

图6—15

例4求出AB与平面CDEF的交点（图6—16）。

图6—16

§6.3垂直关系

一、直线与平面垂直

几何条件：

如果一直线垂直于平面上的两条相交直线，则此直线垂直于该平面。

反之，如果一直线垂直于一平面，则此直线垂直于该平面上的一切直线。

平面上的水平线和正平线为两条相交直线，这样，我们可以利用直角投影原理作一直线垂直于一平面，或判定一直线是否垂直一平面。

过点A作平面与直线AD垂直（ 图6—17）；过点C作平面ABC的垂线CD（ 图6—18）。

图5—13

 图6—17

 图6—18

例1试求点K到△ABC平面的距离（图6—19）

作图步骤作垂线→求交点（垂足）→完成距离投影→求实长

图6—19

例2试过A点作一条直线，使其与直线BC垂直相交（图6—20）

分析：

过A点与直线BC垂直的线有无数条，形成一轨迹（集合），这个轨迹就是过点A与BC垂直的平面。

所求直线必在此平面内，就是该平面与直线BC的交点和点A的连线。

作图步骤:

过A点作直线BC的垂面→求交点（垂足）K→连AK

图6—20

二、平面与平面垂直

几何条件：

如果一直线垂直于一平面，则通过此直线的所有平面都垂直于该平面。

反之，如果两平面互相垂直，则自第一个平面上的任意一点向第二个平面所作的垂线，一定在第一个平面上。

（图6—21）

图5—15图5—16

 图6—21图6—22

例3试过直线EF作一平面垂直于平面ABCD（图6—22）

例4试过直线EF作一平面垂直于平面ABCD（图6—23）

图5—17

图6—23

§6.3点、线、面综合题及其解法

点、线、面综合题是指在解题过程中需要综合运用前面点、线、面，特别是直线、平面相对位置的基本概念和作图方法。

要解决点、线、面综合问题，首先要熟练掌握基本作图方法。

如：

●直角三角形法求实长、倾角；

●直角投影法则；

●平面内定点、定线；

●过直线外（或上）一点作直线的垂面；

●过平面外（或内）一点作平面的垂线；

●过平面外一点作该平面的平行面；

●定比关系应用；

●求交点、交线；

●换面法的基本应用。

其次，要善于挖掘、利用已知的和隐含的条件。

如等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、菱形等隐含的相等、平分、垂直条件。

一、解题的一般步骤

（1）分析题意。

主要分析清楚已知条件和欲求结果，以及其应满足的条件。

（2）确定解题方法和步骤。

这是解题的关键。

（3）投影作图。

二、解题方法

1.综合分析法

此方法就是从已知条件出发，根据作图的要求条件，逐步推理最后得到索要的结果。

整个过程都是“正”、“反”结合。

这是画法几何的基本方法。

例1试过点K作直线KL,使其同时垂直于两交叉直线AB、CD（图6—24）。

图6—24

分析由已知条件可知，所要求的直线KL，应满足三个条件：

KL过点K,KL⊥AB及

KL⊥CD。

因要求KL同时垂直于AB和CD,因此，KL一定垂直于AB和CD共同平行的平面P。

为作图简便起见，可包含直线AB作一平行于CD的平面P。

例2试过A作直线AB，使其对H面的倾角α=30°，对V面的倾角β=45°，且实长=25mm（图6—25）

分析由已知条件可知，所求直线AB应满足四个条件：

AB过点A;α=30°;

β=45°;L=25mm,可根据直角三角形法来求。

作图步骤：

（1）在正投影图以外画出辅助直角三角形，图解求出ab、Δz和aˊbˊ、Δy;

（2）根据直线AB的V投影长aˊbˊ和两点A、B的高标差Δz求得点B的V投影bˊ；

（3）根据bˊ及两点A、B的纵标差Δy（或AB的H投影长ab）求得bˊ；

（4）连接两点A、B,则直线AB即为所求