初一数学压轴题.docx

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初一数学压轴题

一．解答题（共19小题）

1．（2013?

扬州）若是10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：

10b=n与

b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．

（1）依照劳格数的定义，填空：

d（10）=，d（10﹣2）=；

（2）劳格数有以下运算性质：

若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）

﹣d（n）．

依照运算性质，填空：

=（a为正数），若（d2）=，则（d4）=，

d（5）=，d（）=；

（3）如表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明原由并改正．

x

3

5

6

8

9

12

27

d（x）3a﹣b+c2a﹣ba+c1+a﹣b﹣c3﹣3a﹣3c4a﹣2b3﹣b﹣2c6a﹣3b

2．（2012?

安庆一模）先阅读以下资料，再解答后边的问题．

一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为loga（b即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．

（1）计算以下各对数的值：

log24=

，log216=

，

log264=

．

（2）察

（1）中三数4、16、64之足怎的关系式，log24、log216、log264之又足怎的关系式；

（3）猜想一般性的：

logaM+logaN=（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根

据的运算法：

am?

an=am+n以及数的含明你的猜想．

3．（2012?

沈阳模）真资料，尔后回答：

我初中学了多式的运算法，相的，我能够算出多式的张开式，如：

（a+b）

1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，⋯

下面我依次（a+b）n张开式的各系数一步研究，当n取正整数能够独列成表中的形式：

上面的多式张开系数表称“三角形”；仔察“三角形”，用你的律回答以下：

（1）多式（a+b）n的张开式是一个几次几式？

并第三的系数；

（2）你一下多式（a+b）n张开式的各系数之和．

（3）合上述资料，推断出多式（a+b）n（n取正整数）的张开式的各系数之和S，（果用含字母n的代数式表示）．

4．（2009?

佛山）资料：

把形如ax2+bx+c的二次三式（或其一部分）配成完好平方

式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完好平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）

2．

比方：

（x1）2+3、（x2）2+2x、（x2）2+x2是x22x+4的三种不相同形式的配方（即“余

”分是常数、一次、二次横上的部分）．

依照资料解决以下：

（1）对照上面的例子，写出x24x+2三种不相同形式的配方；

（2）将a2+ab+b2配方（最少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2ab3b2c+4=0，求a+b+c的

．

5．（2007?

）依照以下10个乘，回答：

11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．

（1）将以上各乘分写成一个“□2?

2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思虑程；

（2）将以上10个乘依照从小到大的序排列起来；

（3）若用a1b1，a2b2，⋯，anbn表示n个乘，其中a1，a2，a3，⋯，an，b1，b2，b3，⋯，

bn正数．由

（1）、

（2）猜一个一般性的．（不要求明）

6．（2006?

浙江）若是一个正整数能表示两个偶数的平方差，那么称个正整数“神

秘数”．如：

4=2202，12=4222，20=6242，因此4，12，20都是“奇特数”

（1）28和2012两个数是“奇特数”？

什么？

（2）两个偶数2k+2和2k（其中k取非整数），由两个偶数构造的奇特数是4的倍数？

什么？

（3）两个奇数的平方差（k取正数）是奇特数？

什么？

8．（2015?

于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

（1）若是AB=AC，∠BAC=90°，

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的地址关系

为，线段CF、BD的数量关系为；

②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论可否依旧成立，并说明原由；

（2）若是AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明原由．

9．（2015?

菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．

（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；

（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD订交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？

若是，央求出它的度数；若不是，请说明原由．

10．（2015?

铁岭一模）已知：

△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：

AF⊥AQ．

11．（2013?

庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图

1）．△ABD不动，

（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：

MB=MC．

（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图

3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．

（3）在

（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则

（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？

说明原由．

12．（2012?

昌平区模拟）

（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别

是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．

求证：

EF=BE+FD；

（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，

（1）中的结论可否依旧成立？

（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，

（1）中的结论可否依旧成立？

若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

13．（2011?

泰安）已知：

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB

边上一点．

（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：

AE=CG；

（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与

BE相等的线段，并证明．

14．（2005?

扬州）（此题有

3小题，第（

1）小题为必答题，满分

5分；第（

2）、（3）小题

为选答题，其中，第（

2）小题满分

3分，第（3）小题满分

6分，请从中任选

1小题作答，

2

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直MN点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直MN点C旋到1的地址，求：

①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

（2）当直MN点C旋到2的地址，求：

DE=ADBE；

（3）当直MN点C旋到3的地址，DE、AD、BE拥有怎的等量关系？

写出个等量关系，并加以明．

注意：

第

（2）、（3）小你答的是第2小．

15．（2012?

淮安）理解

如1，△ABC中，沿∠BAC的均分AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的均分A1B2折叠，剪掉重复部分；⋯；将余下部分沿∠BnAnC的均分AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．

小显现了确定∠BAC是△ABC的好角的两种状况．状况一：

如2，沿等腰三角形ABC角∠BAC的均分AB1折叠，点B与点C重合；状况二：

如3，沿∠BAC的均分AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的均分A1B2折叠，此点B1与点C重合．

研究

（1）△ABC中，∠B=2∠C，两次折叠，∠

BAC是否是△ABC的好角？

（填

“是”或“不是”）．

（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请研究∠B与∠C（不如设∠B＞∠C）之间的等量关系．依照以上内容猜想：

若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C

（不如设∠B＞∠C）之间的等量关系为．

应用提升

（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．

请你完成，若是一个三角形的最小角是4°，试求出三角形别的两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．

16．（2011?

房山区一模）已知：

等边三角形ABC

（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：

PA+PD+PC＞BD．

17．（2010?

丹东）如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的地址改变时，△DMN也随之整体搬动）．

（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF如同何的数量关系？

点F可否在直线NE上？

都请直接写出结论，不用证明或说明原由；

（2）如图2，当点M在BC上时，其他条件不变，

（1）的结论中EN与MF的数量关系可否依旧成立？

若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明原由；

（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断

（1）的结论中EN与

MF的数量关系可否依旧成立？

若成立，请直接写出结论，不用证明或说明原由．

18．（2006?

西岗区）如图，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，

M是BC的中点，请你研究线段DE与AM之间的关系．

说明：

（1）若是你经历屡次研究，没有找到解决问题的方法，请你把研究过程中的某种思路写出来（要求最少写3步）；

（2）在你经历说明

（1）的过程此后，能够从以下①、②中采用一个补充或更换已知条件，完成你的证明．

①画出将△ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形；

②∠BAC=90°（如图）

附加题：

如图，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其他条件不变，试试究线段DE与AM之间的关系．

19．（2006?

大连）如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM

垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE订交于点F．试判断△DEF的形状，并加以证明．

说明：

（1）若是你经历屡次研究，没有找到解决问题的方法，请你把研究过程中的某种思路写出来（要求最少写3步）；

（2）在你经历说明

（1）的过程此后，能够从以下①、②中采用一个补充也许更换已知条件，完成你的证明．

1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，尔后顺时针旋转90°后图形；

2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图2）．

附加题：

如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF的形状，并说明原由．

参照答案与试题解析

一．解答题（共19小题）

1．（2013?

扬州）若是10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：

10b=n与b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．

（1）依照劳格数的定义，填空：

d（10）=1，d（10﹣2）=﹣2；

（2）劳格数有以下运算性质：

若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）﹣d（n）．依照运算性质，填空：

=3（a为正数），若d

（2）=，则d（4）=，d（5）=，d（）=﹣；

（3）如表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明原由并改正．

x

3

5

6

8

9

12

27

d（x）3a﹣b+c2a﹣ba+c1+a﹣b﹣c3﹣3a﹣3c4a﹣2b3﹣b﹣2c6a﹣3b

【考点】整式的混杂运算；反证法．

【专题】压轴题．

【解析】

（1）依照定义可知，d（10）和d（10﹣2）就是指10的指数，据此即可求解；

（2）依照d（a3）=d（a?

a?

a）=d（a）+d（a）+d（a）即可求得的值；

（3）经过9=32，27=33，能够判断d（3）可否正确，同理以依照5=10÷2，假设d（5）正确，能够求得d

（2）的值，即可经过d（8），d（12）作出判断．

【解答】解：

（1）d（10）=1，d（10﹣2）=﹣2；

故答案为：

1，﹣2；

（2）==3；

因为d

（2）=

故d（4）=d

（2）+d

（2）=，

d（5）=d（10）﹣d

（2）=1﹣=，

d（）=d（8×10﹣2）=3d

（2）+d（10﹣2）=﹣；

（3）若d（3）≠2a﹣b，则d（9）=2d（3）≠4a﹣2b，

d（27）=3d（3）≠6a﹣3b，

进而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾，

∴d（3）=2a﹣b，

若d（5）≠a+c，则d

（2）=1﹣d（5）≠1﹣a﹣c，

∴d（8）=3d

（2）≠3﹣3a﹣3c，

d（6）=d（3）+d

（2）≠1+a﹣b﹣c，

表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．

∴d（5）=a+c．

∴表中只有d（）和d（12）的值是错误的，应纠正为：

d（）=d（3）+d（5）﹣1=3a﹣b+c﹣1，

d（12）=d（3）+2d

（2）=2﹣b﹣2c．

【谈论】此题观察整式的运算，正确理解规定的新的运算法规是重点．

2．（2012?

安庆一模）先阅读以下资料，再解答后边的问题．

一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为loga（b即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．

（1）计算以下各对数的值：

log24=2，log216=4，log264=6．

（2）观察

（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；

（3）猜想一般性的结论：

logaM+logaN=loga（MN）（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并

依照幂的运算法规：

am?

an=am+n以及对数的含义证明你的猜想．

【考点】同底数的乘法．

【】；新定．

【解析】

（1）依照资料表达，合22=4，24=16，26=64即可得出答案；

（2）依照

（1）的答案可得出log24、log216、log264之足的关系式；

（3）logaM=b1，logaN=b2，ab1=M，ab2=N，分表示出MN及b1+b2的，即可得出猜想．【解答】解：

（1）log24=2，log216=4，log264=6；

（2）log24+log216=log264；

（3）猜想logaM+logaN=loga（MN）．

明：

logaM=b1，logaN=b2，ab1=M，ab2=N，

b1b2b1+b2

故可得MN=a?

a=a，b1+b2=loga（MN），

即logaM+logaN=loga（MN）．

【点】本考了同底数的乘法运算，目出得比新，解思路以资料的形式出，需要同学仔，理解并灵便运用所的信息．

3．（2012?

沈阳模）真资料，尔后回答：

我初中学了多式的运算法，相的，我能够算出多式的张开式，如：

（a+b）

1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，⋯

下面我依次（a+b）n张开式的各系数一步研究，当n取正整数能够独列成表中的形式：

上面的多式张开系数表称“三角形”；仔察“三角形”，用你的律回答以下：

（1）多式（a+b）n的张开式是一个几次几式？

并第三的系数；

（2）你一下多式（a+b）n张开式的各系数之和．

（3）合上述资料，推断出多式（a+b）n（n取正整数）的张开式的各系数之和S，（果用含字母n的代数式表示）．

【考点】完好平方公式．

【】；型；律型．

【解析】

（1）由意可求适合n=1，2，3，4，⋯，多式（a+b）n的张开式是一个几次几式，第三的系数是多少，尔后找律，即可求得答案；

（2）第一求适合n=1，2，3，4⋯，多式（a+b）n张开式的各系数之和，即可求得答案；

（3）合

（2），即可推断出多式（a+b）n（n取正整数）的张开式的各系数之和．

【解答】解：

（1）∵当n=1，多式（a+b）1的张开式是一次二式，此第三的系

数：

0=，

当n=2，多式（a+b）2的张开式是二次三式，此第三的系数：

1=，

当n=3，多式（a+b）3的张开式是三次四式，此第三的系数：

3=

，

当n=4，多式（a+b）4的张开式是四次五式，此第三的系数：

6=

，

⋯

∴多式（a+b）n的张开式是一个n次n+1式，第三的系数：

；

（2）一下多式（a+b）n张开式的各系数之和：

2n；

1

1

（3）∵当n=1，多式（a+b）张开式的各系数之和：

1+1=2=2，

2

张开式的各系数之和：

2

当n=2，多式（a+b）

1+2+1=4=2，

3

张开式的各系数之和：

3

当n=3，多式（a+b）

1+3+3+1=8=2，

4

张开式的各系数之和：

4

当n=4，多式（a+b）

1+4+6+4+1=16=2，

⋯

∴多式（a+b）n张开式的各系数之和：

S=2n．

【点】此属于律性、性目．此度大，由特别到一般的方法的用是解此的关．

4．（2009?

佛山）资料：

把形如ax2+bx+c的二次三式（或其一部分）配成完好平方

式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完好平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）

2．

比方：

（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不相同形式的配方（即“余

项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．

请依照阅读资料解决以下问题：

（1）对照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不相同形式的配方；

（2）将a2+ab+b2配方（最少两种形式）；

（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．【考点】完好平方公式．

【专题】压轴题；阅读型．

【解析】

（1）

（2）此题观察对完好平方公式的灵便应用能力，由题中所给的已知资料可得

2

2

2

的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不相同形式；

x

﹣4x+2和a+ab+b

（3）经过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．

【解答】解：

（1）x2﹣4x+2的三种配方分别为：

x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，

x2﹣4x+2=（x+）2﹣（2+4）x，

x2﹣4x+2