矩阵的初等变换及其应用.docx

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矩阵的初等变换及其应用

线性代数

第一次讨论课

1;要求

2;正文

3;个人总结

丁俊成00101209

第一部分：

要求

线性代数课程的主要任务是夯实工程问题的数学基础，培养学生的逻辑思维、定量分析、数学建模、科学计算的数学能力，提高数学素养。

讨论课是以学生为主导，其内容包括理论内容的专题讨论、探究性应用案例的数学模型的建立。

通过对理论内容的深入探讨，加深学生对知识的深刻理解与掌握，培养学生自主学习能力、逻辑思维能力、对知识的归纳梳理与综合能力，提高学生分析问题与数学建模的能力。

第一次讨论课内容

矩阵初等变换及其应用

请卓越班的同学们按照下面的提纲（内容包括概念、求解方法、举例、应用案例等）准备。

要求做成word或PPT文档。

同学们自荐或推荐上讲台讲课。

希望同学们踊跃参与。

第一次讨论课的时间初步定在5月中旬。

1.两个矩阵的等价

2.两个矩阵的乘积

3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型

4.求矩阵的秩

5.求可逆矩阵的逆矩阵

6.求线性方程组的解

7.判断向量组的线性相关性

8.求向量组的秩与极大无关组

9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）

第二部分：

正文

矩阵的初等变换及其应用

矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一，几乎线性代数所有的概念或者其使用里面都可以见到矩阵的身影，作为矩阵核心，矩阵的初等变换及其应用是及其重要的，本文将对矩阵初等变换及其应用做简单讨论。

一．两个矩阵的等价

矩阵等价的定义为：

若矩阵A经过一系列初等行变换化为矩阵B，则称A与B行等价。

若矩阵A经过一系列初等列变换化为矩阵B，则称A与B列等价。

若矩阵A经过一系列初等变换化为矩阵B，则称A与B等价（相抵）。

根据性质，矩阵的等价变换形式主要有如下几种：

1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；

2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；

3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去；

即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。

矩阵等价具有下列性质

（1）反身性任一矩阵A与自身等价；

（2）对称性若A与B等价，则B与A等价；

（3）传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价；

矩阵等价的实现方式在于矩阵的等价转换，即行变换和列变换及其组合，在后面的运用中相当广泛，主要方面就是求矩阵的逆矩阵，将矩阵化为行阶梯型列阶梯型标准型及求矩阵的秩。

上述几个问题后文会专门提到，这里需要强调的是他们的最基本原理就是矩阵的等价，等价转换。

下面举一个例子来说明矩阵的等价和等价转换：

1

显然，根据矩阵等价的定义，以上变换过程中的每一个矩阵均为等价的，每个步骤都是等价转换。

矩阵大部分应用中都要用到矩阵的等价，后文大部分例子中都会用到矩阵等价的知识和相关性质，所以不多举例。

二．两个矩阵的乘积

在研究向量的线性变换时，为了方便，引进了矩阵的乘法的运算，其定义如下：

设A=（）是一个m*s的矩阵，B=（）是一个s*n的矩阵，规定矩阵A与矩阵B的乘积是m*n矩阵C=（），记为C=AB，其中

（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）

有矩阵乘积的定义可见，不是任何两个矩阵都可以相乘。

位于左边矩阵的列数与位于右边矩阵的行数相等的两个矩阵才能相乘；其乘积是一个与左边矩阵有相同行数，与右边矩阵有相同列数的矩阵；乘积矩阵的第i行第j列的元等于左边矩阵第i行的各元与右边矩阵第j列的对应元乘积之和。

所谓对应元，即第i行的列号与第j列的行号相同的元。

矩阵乘法满足如下运算规律：

（1）（AB）C=A（BC）;

（2）A（B+C）=AB+AC;

（3）c（AB）=（cA）B=A（cB）.其中c是数；

（4）

矩阵乘法需要注意的是：

（1）矩阵乘法一般不满足交换律；特殊的，若AB=BA，则称AB乘法可交换；

（2）两个非零矩阵乘积可能是零矩阵；

（3）由AB=AC，不能得出B=C；

根据定义，矩阵乘积的求解方法十分明显了，需要注意的是分块矩阵也可以进行矩阵的乘法，可以进行矩阵乘法的条件是分块矩阵整块的行列数满足左边列数和右边行数相等，并且对应相乘的小块也满足矩阵可以相乘的条件，可以相乘的矩阵进行释放分块都都是可以进行分块相乘的，分块矩阵相乘可以大大地简化计算。

下面是一个矩阵乘法的实际例子，其中包括了矩阵乘法的实际意义及计算方法：

一件产品一年上下四个季度的人工人成本和材料成本如下表：

一季度

二季度

三季度

四季度

每件人工成本

120

100

150

90

每件材料成本

200

240

180

220

这个产品两年四个季度产量分别为：

第一年

第二年

一季度

1000

1500

二季度

1200

1600

三季度

900

800

四季度

1500

1600

求每年分别两种成本。

解：

设

这个矩阵的四个元素即为所求答案。

注：

这样计算起来似乎没有多大实际意义，但是，运用到实际中时，这种问题若化为矩阵，即可利用计算机进行快速运算，其优势就显得十分明显了。

三．将矩阵化为行阶梯形、行最简形及标准形

将矩阵化为行阶梯形，行最简形及标准形用到的方法就是矩阵的初等变换，矩阵的初等变换三种方式上文都有提到，下面是三种形式的定义：

1，满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵（简称阶梯形）。

（1）若有零行（元全为0的行），则零行位于非零行（元不全为0的行）的下方；

（2）每个首非零元（非零行从左边数起第一个不为零的元）前面零的个数逐行增加。

2，首非零元为1，且首非零元所在的列其他元都为0的行阶梯形称为行最简矩阵，简称最简形。

3，对任何m*n矩阵A，必可经有限次初等变换化为如下形式的矩阵

我们称N为矩阵A的等价标准形。

此标准形是有m，n，r完全确定的，其中r就是行阶梯矩阵中非零行的个数。

求解方法就是进行矩阵的行变换或者列变换，满足最终的条件就是最终结果了。

具体例子就是第一个问题的转换过程，第一个问题最终的结果就是B为阶梯形，C为最简形。

矩阵这些特殊形式的应用主要就是求矩阵的秩，最简形非零行的个数就是矩阵的秩，求矩阵的秩又有各个方面的应用。

四．求矩阵的秩

矩阵秩的定义：

如果矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，而所有的r+1阶子式（如果存在的话）全为0，那么D称为矩阵A的一个最高阶非零子式。

数r称为矩阵A的秩，记作R（A）或r（A），并规定零矩阵的秩为0.

求矩阵秩的方法主要是将矩阵进行初等转换，根据定理初等变换不改变矩阵的秩，可以将矩阵进行初等变换到阶梯形，通过行阶梯形很容易看出矩阵的秩，其秩就是元矩阵的秩。

矩阵的秩主要应用在于判断方程是否有解及根据方程是否有解判断的一些结论。

关于矩阵秩的例子，还是就第一个说，原矩阵不容易看出矩阵的秩来，经过初等变换后，很容易看出阶梯形矩阵的秩为3，因此有的原矩阵的秩为3.通过矩阵秩判断方程解的问题，后面有关于判断线性方程组的解的专门讨论。

五．求可逆矩阵的逆矩阵

逆矩阵是矩阵中单独的一个分支，但是其求解等各种方法与矩阵基本方法规律相同。

下面是矩阵的逆矩阵的定义：

设A为n方阵，若存在你阶方阵B，使

AB=BA=E

则称A为可逆矩阵或A是可逆的，并且称B为A的逆矩阵。

可逆矩阵具有唯一性，即A若可逆，其可逆矩阵是唯一的。

关于可逆矩阵的求法，大致三种方法：

（1）特殊的矩阵。

1）矩阵为对角阵或者分块都为对角阵，可用特殊的方法求解。

若矩阵为对角阵，逆矩阵就是每一个元素分别求倒数放到原来位置。

若矩阵分块都为对角阵，可将每个小块分别求逆矩阵，然后将逆矩阵放到原来的位置即可。

2）矩阵为两阶的矩阵，可运用公式求解（公式根据逆矩阵的定义推出）

若ad-bc≠0，则矩阵可逆，且逆矩阵为

（2）运用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵。

其原理如下：

若A为n阶可逆矩阵，其逆也是n阶可逆矩阵，故A可表示为初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵，使得。

由逆矩阵定义，有

即

即有

若摆放方式不同也可以将A，E竖放在经过初等列变换可得逆矩阵与单位矩阵。

与第一个问题相关的是，变换前后两个矩阵等价。

（1）根据公式，可知A的逆矩阵为.

这个公式在使用时十分复杂，但是若用于理论及电脑计算就有较大优势。

关于实际应用，下面举一个密码方面的例子：

将26个英文字母按顺序逐一与数字对应后，“sendmoney”编码为19,5,14,13,15,14,5,25，如果直接发出编码，很容易被人破译，显然这是不可取的，如何进行加密呢，可将式子表示为一个三阶方阵，乘以一个三阶方阵后密码的破译难度就大多了，问题是如何解密呢？

根据式子AB=C，知B=A（-1）C.可知破译方式，即将得到的信息乘以逆矩阵就可以了。

明文SENDMONEY对应的9个数值按3列被排成以下矩阵:

矩阵乘积：

对应密文编码为：

81,77,93,62,73,79,38,32,44。

合法用户用密钥乘上述矩阵即可解密得到明文

最后得到的序列对应写出明文即可。

这是实际问题的简化模型，只是阐述了其原理，具体实际上运用需要用到的工具和理论远多于这个。

六．求线性方程组的解

线性方程组可分为齐次线性方程组和非齐次线性方程组，齐次线性方程组为非齐次线性方程组的一般性情况。

判断线性方程组的解可用的工具目前有矩阵和行列式，下面分别阐述：

一）利用行列式求线性方程组的解

用行列式求解属于十分方便的方法，缺点是计算量大。

是用的方法是克拉默法则：

如果线性方程组的系数行列式D=|A|≠0，则线性方程组有唯一解且

，j=1,2,3,…,n;

其中替换系数矩阵D中的第j列所称的行列式。

显然，判断一个方程组是否有解即使要看系数行列式是否为0,。

对于齐次线性方程组，显然有一组全为零的解，判断齐次线性方程组是否有非零解方法为如下定理：

齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式|A|=0.

这种方法是十分容易理解的，用于计算机计算也十分方便，但是不看出判断线性方程组的解的根本性质，因此要用到矩阵等方法进一步讨论。

二）利用矩阵判断线性方程组的解

利用矩阵判断线性方程组的解必须要用到矩阵的秩的概念，上面专门讨论过，就开始讨论如何使用秩的求解。

判断线性方程组的解有如下定理：

n元线性方程组Ax=b，

（1）有解的充要条件是R（A）=R（B）；

（2）有唯一解的充要条件是R（A）=R（B）=n；

（3）有无穷多解的充要条件是R（A）=R（B）

（其中B为A的增广矩阵）

注意：

（1）的你否命题为：

线性方程组Ax=b误解的充要条件是R（A）

关于齐次线性方程组，判断其解有定理：

n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是|A|=0.

这个定理有如下推论，对判断解十分有用：

n个方程的n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是|A|=0.

通过以上讨论，线性方程组的判断已经很容易了，下一步就是要使用向量这个工具讨论线性方程组通解性质。

下面就是求线性方程组通解的方法：

关于基础解系的定义:

齐次线性方程组Ax=0的解空间V的基称为该方程组的基础解系。

基础解系的特解线性无关，且方程组任一解都基础解系解的线性组合。

首先讨论线性方程组通解的性质：

性质1：

:

性质2：

性质3：

性质4：

有了以上性质加上有关定理就可以很简单的求出通解了，关于齐次非其次线性方程组通解的定理分别如下：

定理1：

定理2：

根据以上性质及定理，加上前部分讨论的判断线性方程组是否有解的方法，现在已经可以很简单地判断并解出一个线性方程组的通解。

下面举一个简单的