哈尔滨市中考数学试题含答案.docx
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哈尔滨市中考数学试题含答案
哈尔滨市2017年中考数学试题及答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.﹣7的倒数是( )
A.7B.﹣7C.
D.﹣
2.下列运算正确的是( )
A.a6÷a3=a2B.2a3+3a3=5a6C.(﹣a3)2=a6D.(a+b)2=a2+b2
3.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
4.抛物线y=﹣
(x+
)2﹣3的顶点坐标是( )
A.(
,﹣3)B.(﹣
,﹣3)C.(
,3)D.(﹣
,3)
5.五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,其左视图是( )
6.方程
=
的解为( )
A.x=3B.x=4C.x=5D.x=﹣5
7.如图,⊙O中,弦AB,CD相交于点P,∠A=42°,∠APD=77°,则∠B的大小是( )
A.43°B.35°C.34°D.44°
8.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则cosB的值为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE∥BC,点F为BC边上一点,连接AF交DE于点G,则下列结论中一定正确的是( )
A.
=
B.
=
C.
=
D.
=
10.周日,小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报,看了一段时间后,他按原路返回家中,小涛离家的距离y(单位:
m)与他所用的时间t(单位:
min)之间的函数关系如图所示,下列说法中正确的是( )
A.小涛家离报亭的距离是900m
B.小涛从家去报亭的平均速度是60m/min
C.小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/min
D.小涛在报亭看报用了15min
二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
11.将57600000用科学记数法表示为 .
12.函数y=
中,自变量x的取值范围是 .
13.把多项式4ax2﹣9ay2分解因式的结果是 .
14.计算
﹣6
的结果是 .
15.已知反比例函数y=
的图象经过点(1,2),则k的值为 .
16.不等式组
的解集是 .
17.一个不透明的袋子中装有17个小球,其中6个红球、11个绿球,这些小球除颜色外无其它差别.从袋子中随机摸出一个小球,则摸出的小球是红球的概率为 .
18.已知扇形的弧长为4π,半径为8,则此扇形的圆心角为 .
19.四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=6,对角线AC与BD相交于点O,点E在AC上,若OE=
,则CE的长为 .
20.如图,在矩形ABCD中,M为BC边上一点,连接AM,过点D作DE⊥AM,垂足为E.若DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为 .
三、解答题(本大题共60分)
21.先化简,再求代数式
÷
﹣
的值,其中x=4sin60°﹣2.
22.如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上.
(1)在图中画出以AB为底、面积为12的等腰△ABC,且点C在小正方形的顶点上;
(2)在图中画出平行四边形ABDE,且点D和点E均在小正方形的顶点上,tan∠EAB=
,连接CD,请直接写出线段CD的长.
23.随着社会经济的发展和城市周边交通状况的改善,旅游已成为人们的一种生活时尚,洪祥中学开展以“我最喜欢的风景区”为主题的调查活动,围绕“在松峰山、太阳岛、二龙山和凤凰山四个风景区中,你最喜欢哪一个?
(必选且只选一个)”的问题,在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图,请你根据图中提供的信息回答下列问题:
(1)本次调查共抽取了多少名学生?
(2)通过计算补全条形统计图;
(3)若洪祥中学共有1350名学生,请你估计最喜欢太阳岛风景区的学生有多少名.
24.已知:
△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,连接AE,BD交于点O,AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.
(1)如图1,求证:
AE=BD;
(2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.
25.威丽商场销售A,B两种商品,售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元,售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元.
(1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元;
(2)由于需求量大,A、B两种商品很快售完,威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共34件.如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元,那么威丽商场至少需购进多少件A种商品?
26.已知:
AB是⊙O的弦,点C是
的中点,连接OB、OC,OC交AB于点D.
(1)如图1,求证:
AD=BD;
(2)如图2,过点B作⊙O的切线交OC的延长线于点M,点P是
上一点,连接AP、BP,求证:
∠APB﹣∠OMB=90°;
(3)如图3,在
(2)的条件下,连接DP、MP,延长MP交⊙O于点Q,若MQ=6DP,sin∠ABO=
,求
的值.
27.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,直线y=x﹣3经过B、C两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D,点P是直线CD下方抛物线上的一个动点,且在抛物线对称轴的右侧,过点P作PE⊥x轴于点E,PE交CD于点F,交BC于点M,连接AC,过点M作MN⊥AC于点N,设点P的横坐标为t,线段MN的长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);
(3)在
(2)的条件下,连接PC,过点B作BQ⊥PC于点Q(点Q在线段PC上),BQ交CD于点T,连接OQ交CD于点S,当ST=TD时,求线段MN的长.
22.解:
(1)△ABC如图所示;
(2)平行四边形ABDE如图所示,CD=
=
.
23.解:
(1)10÷20%=50(名),
答:
本次调查共抽取了50名学生;
(2)50﹣10﹣20﹣12=8(名),
补全条形统计图如图所示,
(3)1350×
=540(名),
答:
估计最喜欢太阳岛风景区的学生有540名.
24.解:
(1)∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,
∠ACB=∠DCE=90°,
∴AC=BC,DC=EC,
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
∴∠BCD=∠ACE,
在△ACE与△BCD中,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD,
(2)∵AC=DC,
∴AC=CD=EC=CB,
△ACB≌△DCE(SAS);
由
(1)可知:
∠AEC=∠BDC,∠EAC=∠DBC
∴∠DOM=90°,
∵∠AEC=∠CAE=∠CBD,
∴△EMC≌△BCN(ASA),
∴CM=CN,
∴DM=AN,
△AON≌△DOM(AAS),
∵DE=AB,AO=DO,
∴△AOB≌△DOE(HL)
25.解:
(1)设A种商品售出后所得利润为x元,B种商品售出后所得利润为y元.由题意,得
,
解得:
(2)设购进A种商品a件,则购进B种商品(34﹣a)件.由题意,得
200a+100(34﹣a)≥4000,
解得:
a≥6
26.
(1)证明:
如图1,连接OA,
∵C是
的中点,
∴
,
∴∠AOC=∠BOC,
∵OA=OB,
∴OD⊥AB,AD=BD;
(2)证明:
如图2,延长BO交⊙O于点T,连接PT
∵BT是⊙O的直径
∴∠BPT=90°,
∴∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°,
∵BM是⊙O的切线,
∴OB⊥BM,
又∠OBA+∠MBA=90°,
∴∠ABO=∠OMB
又∠ABO=∠APT
∴∠APB﹣90°=∠OMB,
∴∠APB﹣∠OMB=90°;
(3)解:
如图3,连接MA,
∵MO垂直平分AB,
∴MA=MB,
∴∠MAB=∠MBA,
作∠PMG=∠AMB,
在射线MG上截取MN=MP,
连接PN,BN,
则∠AMP=∠BMN,
∴△APM≌△BNM,
∴AP=BN,∠MAP=∠MBN,
延长PD至点K,
使DK=DP,
连接AK、BK,
∴四边形APBK是平行四边形;
AP∥BK,
∴∠PAB=∠ABK,∠APB+∠PBK=180°,
由
(2)得∠APB﹣(90°﹣∠MBA)
=90°,
∴∠APB+∠MBA=180°
∴∠PBK=∠MBA,
∴∠MBP=∠ABK=∠PAB,
∴∠MAP=∠PBA=∠MBN,
∴∠NBP=∠KBP,
∵PB=PB,
∴△PBN≌△PBK,
∴PN=PK=2PD,
过点M作MH⊥PN于点H,
∴PN=2PH,
∴PH=DP,∠PMH=∠ABO,
∵sin∠PMH=
,sin∠ABO=
,
∴
,
∴
,设DP=3a,则PM=5a,
∴MQ=6DP=18a,
∴
.
27.解:
(1)∵直线y=x﹣3经过B、C两点,
∴B(3,0),C(0,﹣3),
∵y=x2+bx+c经过B、C两点,
∴
,
解得
,
故抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)如图1,y=x2﹣2x﹣3,
y=0时,x2﹣2x﹣3=0,
解得x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),
∴OA=1,OB=OC=3,
∴∠ABC=45°,AC=
,AB=4,
∵PE⊥x轴,
∴∠EMB=∠EBM=45°,
∵点P的横坐标为1,
∴EM=EB=3﹣t,
连结AM,
∵S△ABC=S△AMC+S△AMB,
∴
AB•OC=
AC•MN+
AB•EM,
∴
×4×3=
×
d+
×4(3﹣t),
∴d=
t;
(3)如图2,
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴对称轴为x=1,
∴由抛物线对称性可得D(2,﹣3),
∴CD=2,
过点B作BK⊥CD交直线CD于点K,
∴四边形OCKB为正方形,
∴∠OBK=90°,CK=OB=BK=3,
∴DK=1,
∵BQ⊥CP,
∴∠CQB=90°,
过点O作OH⊥PC交PC延长线于点H,OR⊥BQ交BQ于点I交BK于点R,
∴∠OHC=∠OIQ=∠OIB=90°,
∴四边形OHQI为矩形,
∵∠OCQ+∠OBQ=180°,
∴∠OBQ=∠OCH,
∴△OBQ≌△OCH,
∴QG=OS,∠GOB=∠SOC,
∴∠SOG=90°,
∴∠ROG=45°,
∵OR=OR,
∴△OSR≌△OGR,
∴SR=GR,
∴SR=CS+BR,
∵∠BOR+∠OBI=90°,∠IBO+∠TBK=90°,
∴∠BOR=∠TBK,
∴tan∠BOR=tan∠TBK,
∴
=
,
∴BR=TK,
∵∠CTQ=∠BTK,
∴∠QCT=∠TBK,
∴tan∠QCT=tan∠TBK,
设ST=TD=m,
∴SK=2m+1,CS=2﹣2m,TK=m+1=BR,SR=3﹣m,RK=2﹣m,
在Rt△SKR中,
∵SK2+RK2=SR2,
∴(2m+1)2+(2﹣m)2=(3﹣m)2,
解得m1=﹣2(舍去),m2=
;
∴ST=TD=
,TK=
,
∴tan∠TBK=
=
÷3=
,
∴tan∠PCD=
,
过点P作PE′⊥x轴于E′交CD于点F′,
∵CF′=OE′=t,∴PF′=
t,∴PE′=
t+3,
∴P(t,﹣
t﹣3),∴﹣
t﹣3=t2﹣2t﹣3,
解
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