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一元二次方程培优经典题
一元二次方程培优经典题
知识框架:
第二课一元二次方程的解法
定义:
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程。
一般表达式:
方程的解:
使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。
直接开平方法:
对于,等形式均适用直接开方法
因式分解法:
※方程特点:
左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”,
※方程形式:
如,,
例1.当k时,关于x的方程是一元二次方程。
例2.已知的值为2,则的值为
例3.已知关于x的一元二次方程的系数满足,则此方程必有一根为
例4.解方程:
=0;
例5.已知,且,则的值为
课堂同步:
1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是()
A.B.C.D.
2.的根为()
A.B.C.D.
3.把方程(x-)(x+)+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是()
A.5x2-4x-4=0B.x2-5=0C.5x2-2x+1=0D.5x2-4x+6=0
4.方程化为形式后,a、b、c的值为()
A.1,–2,–15B.1,–2,–15C.1,2,–15D.–1,2,–15
5.当代数式x2+3x+5的值为7时,代数式3x2+9x-2的值是().
A.4B.0C.-2D.-4
6.关于的一元二次方程的两根中只有一个等于0,则下列条件正确的是()
A.B.C.D.
7.下列说法中:
①方程的二根为,,则
②.③
④
⑤方程可变形为
正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.以与为根的一元二次方程是()
A.B.C.D.
9.方程的一次项系数是,常数项是
10.关于的一元二次方程的一般形式是;
二次项系数是,一次项系数是,常数项是.
11.方程是关于x的一元二次方程,则m的值为
12.已知方程的一根是2,则k为,另一根是。
13.关于x的一元二次方程的一个根为0,则a的值为
14.若,则4x+y的值为
15.用直接开方法解方程:
1⑵⑶⑷
16.用因式分解法解方程:
1⑵⑶⑷
(5)(6)(7)
17.已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。
(1)求k的值;
(2)方程的另一个解。
课后练习:
1.若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程,则下列不可能的是()
A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1
2.方程的一个根为()
A.B.1C.D.
3.若实数x、y满足,则x+y的值为()
A.-1或-2B.-1或2C.1或-2D.1或2
4.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1,则a+b+c=;若有一个根为-1,则b与a、c之间的关系为;若有一个根为零,则c=.
5.已知m是方程的一个根,则代数式
6.已知是的根,则
7.若方程是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是
8.若
9.若,则x的值为。
10.
11.已知,则的值为
12.方程的解是
13.已知,且,,求的值。
能力提高:
1.已知是方程的两个根,是方程的两个根,则m的值为
2.若,则x+y的值为
3.若,,则x+y的值为
4.方程的较大根为r,方程的较小根为s,则s-r的值为
5.方程的解为()
A.B.C.D.
6.解方程:
第三课配方法、公式法
配方法:
公式法:
⑴条件:
⑵公式:
例1.试用配方法说明的值恒大于0。
例2.已知x、y为实数,求代数式的最小值。
例3.已知,x,y为实数,求的值。
例4.在实数范围内分解因式:
例5.在实数范围内分解因式:
(1);
(2).⑶
例6.如果,那么代数式的值。
课堂同步:
1.等腰三角形的两边的长是方程的两个根,则此三角形的周长为()
A.27B.33C.27和33D.以上都不对
2.小明用配方法解下列方程时,只有一个配方有错误,请你确定小明错的是()
A.化成B.化成
C.化成D.化成
3.一元二次方程的解是;用配方法解方程2x²+4x+1=0,配方后得到的方程是;用配方法解方程,则方程可变形为.
4.菱形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长是方程的一个根,则菱形ABCD的面积
为
5.在实数范围内定义运算“”,其法则为:
,则方程(43)的解是
6.已知,则
7.用配方法解方程:
1⑵⑶
⑷(5)(x-2)(x-5)=-2(6)
(7)
8.用公式法解方程:
(1)⑵⑶
⑷⑸⑹
9.试用配方法说明的值恒小于0。
10.选择适当方法解下列方程:
⑴⑵⑶
⑷⑸(6)
11.已知,求代数式的值。
课后练习:
1.三角形两边的长分别是8和6,第三边的长是一元二次方程的一个实数根,则该三角形的面积是()
A.24B.24或C.48D.
2.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程的根,则该三角形的周长为()
A.14B.12C.12或14D.以上都不对
3.关于x的一元二次方程2x2-3x-a2+1=0的一个根为2,则a的值是()
A.1B.C.-D.±
4.若关于x的一元二次方程的常数项为0,则m的值等于()
A.1B.2C.1或2D.0
5.当x=______时,代数式3x2-6x的值等于12.
6.方程的解是
7.下图是一个正方体的展开图,标注了字母A的面是正方体的正面。
如果正方体的左面与右面所标注的代数式相等,那么的值为
8.如果,那么的值为
能力提高:
1.若,则t的最大值为,最小值为
2.已知是一元二次方程的一根,求的值。
课堂小练-04一元二次方程
姓名:
1.下列关于x的方程中,一元二次方程的个数有( )
① ② ③kx2-3x+1=0④x2-x2(x2+1)-3=0
⑤(k+3)x2-3kx+2k-1=0
A.0B.1C.2D.3
2.下列方程一定是一元二次方程的是()
A.B.C.D.
3.若方程(m-1)x2+x=1是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是( )
A.m≠1B.m≥0C.m≥0且m≠1D.m为任意实数
4.方程(x-1)(x+3)=12化为ax2+bx+c=0形式后,a、b、c的值为()
A.1,-2,-15B.1,-2,-15C.1,2,-15D.-1,2,-15
5.是关于的一元二次方程,则的值应为()
A.=2B.C.D.无法确定
6.列各数是方程解的是()
A.6B.2C.4D.0
7.已知m是方程x2-x-1=0的一个根,则代数式m2-m的值等于( )
A.-1B.0C.1D.2
8.若是关于的方程的根,则的值为()
A.1B.2C.-1D.-2
9.方程的二次项系数___________;一次项系数__________;常数项_________.
10.若一元二次方程有一个根为1,则_____;若有一个根是-1,则b与、c之间的关系为;若有一个根为0,则c=_____.
11.方程的解是.方程的解是.
12.若关于的一元二次方程的常数项为0,求的值是多少?
13.化简方程为一元二次方程的一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项。
14.根据下列问题列方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.
某大学为改善校园环境,计划在一块长80m,宽60m的矩形场地的中央建一个矩形网球场,网球场占地面积为3500m2,四周为宽度相等的人行道,求人行道的宽度.
15.已知关于的方程.
(1)为何值时,此方程是一元一次方程?
(2)为何值时,此方程是一元二次方程?
并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。
课堂小练-05一元二次方程解法-配方法
姓名:
1.方程5x(x+3)=3(x+3)解为()
A.x1=,x2=3B.x=C.x1=-,x2=-3D.x1=,x2=-3
2.方程(x-1)2-4(x+2)2=0的根为()
A.x1=1,x2=-5B.x1=-1,x2=-5C.x1=1,x2=5D.x1=-1,x2=5
3.将二次三项式x2-4x+1配方后得()
A.(x-2)2+3B.(x-2)2-3C.(x+2)2+3D.(x+2)2-3
4.若x2+6x+m2是一个完全平方式,则m的值是()
A.3B.-3C.±3D.以上都不对
5.已知x2-8x+15=0,左边化成含有x的完全平方形式,其中正确的是()
A.x2-8x+42=31B.x2-8x+42=1Cx2+8x+42=1Dx2-4x+4=-11
6.配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为()
A.(x-)2=B.(x-)2=0C.(x-)2=D.(x-)2=
7.已知三角形两边长为4和7,第三边的长是方程x2-16x+55=0的一个根,则第三边长是()
A.5B.5或11C.6D.11
8.方程(2x+1)2+3(2x+1)=0的解为_________
9.关于x的方程x2+(m+n)x+mn=0的解为_______
10.方程x(x-)=-x的解为________
11.用适当的数填空:
①x2+6x+ =(x+ )2;②x2-5x+ =(x- )2;
12.已知4x2-ax+1可变为(2x-b)2的形式,则ab=_______.
13.无论x、y取任何实数,多项式的值总是_______数.
14.用因式分解法解下列方程:
(1)y2+7y+6=0;
(2)t(2t-1)=3(2t-1);(3)(2x-1)(x-1)=1.
15.用配方法解下列方程:
(1)x2+6x+5=0;
(2)x2+4x+1=0;(3)x2+12x-15=0
16.已知x2-xy-2y2=0,且x≠0,y≠0,求代数式的值.
17.已知x2+3x+5的值为9,试求3x2+9x-2的值.
18.如果a、b为实数,满足+b2-12b+36=0,求ab的值.
课堂小练-06一元二次方程解法-公式法
姓名:
1.一元二次方程(4x+1)(2x-3)=5x2+1化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)后a,b,c的值为()
A.3,-10,-4B.3,-12,-2C.8,-10,-2D.8,-12,4
2.一元二次方程2x2-(m+1)x+1=x(x-1)化成一般形式后二次项的系数为1,一次项的系数为-1,则m的值为()
A.-1B.1C.-2D.2
3.关于x的方程3x2-2(3m-1)x+2m=15有一个根为-2,则m的值等于()
A.2B.-C.-2D.
4.用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式正确的是()
A.x1,2=B.x1,2=
C.x1,2=D.x1、2=
5.用公式法解方程4y2=12y+3,得到()
A.y=B.y=C.y=D.y=
6.把一元二次方程:
化
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- 一元 二次方程 经典