高考数学一轮复习第5章数列54数列求和学案文.docx
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高考数学一轮复习第5章数列54数列求和学案文
2019-2020年高考数学一轮复习第5章数列5.4数列求和学案文
[知识梳理]
1.基本数列求和公式法
(1)等差数列求和公式:
Sn=
=na1+
d.
(2)等比数列求和公式:
Sn=
2.非基本数列求和常用方法
(1)倒序相加法;
(2)分组求和法;(3)并项求和法;(4)错位相减法;(5)裂项相消法.
常见的裂项公式:
①
=
;
②
=
;
③
=
;
④
=
(
-
).
3.常用求和公式
(1)1+2+3+4+…+n=
;
(2)1+3+5+7+…+(2n-1)=n2;
(3)12+22+32+…+n2=
;
(4)13+23+33+…+n3=
2.
[诊断自测]
1.概念辨析
(1)已知等差数列{an}的公差为d,则有
=
.( )
(2)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法,利用此法可求得sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=44.5.( )
(3)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.( )
(4)若数列a1,a2-a1,…,an-an-1是(n>1,n∈N*)首项为1,公比为3的等比数列,则数列{an}的通项公式是an=
.( )
答案
(1)×
(2)√ (3)× (4)√
2.教材衍化
(1)(必修A5P47T4)数列{an}中,an=
,若{an}的前n项和为
,则项数n为( )
A.xxB.2015C.xxD.xx
答案 D
解析 an=
-
,Sn=1-
=
,又前n项和为
,所以n=xx.故选D.
(2)(必修A5P61T4)已知数列:
1
,2
,3
,…,
,…,则其前n项和关于n的表达式为________.
答案
+1-
解析 将通项式分组转化为等差与等比两数列分别求和,即Sn=(1+2+3+…+n)+
=
+1-
.
3.小题热身
(1)数列{an}的通项公式为an=ncos
,其前n项和为Sn,则Sxx等于( )
A.-1010B.2018C.505D.1010
答案 A
解析 易知a1=cos
=0,a2=2cosπ=-2,a3=0,a4=4,….
所以数列{an}的所有奇数项为0,前xx项中所有偶数项(共1008项)依次为-2,4,-6,8,…,-xx,xx.故Sxx=0+(-2+4)+(-6+8)+…+(-xx+xx)=1008.axx=0,axx=xx×cos
=-xx,∴Sxx=Sxx+axx=1008-xx=-1010.故选A.
(2)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=________.
答案 -
解析 ∵an+1=Sn+1-Sn,∴Sn+1-Sn=Sn+1Sn,又由a1=-1,知Sn≠0,∴
-
=1,∴
是等差数列,且公差为-1,而
=
=-1,∴
=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴Sn=-
.
题型1 错位相减法求和
已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)令cn=
,求数列{cn}的前n项和Tn.
利用an=Sn-Sn-1(n≥2)、方程思想、错位相减法.
解
(1)由题意知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5.
当n=1时,a1=S1=11,所以an=6n+5.
设数列{bn}的公差为d.
由
即
可解得b1=4,d=3,所以bn=3n+1.
(2)由
(1)知cn=
=3(n+1)·2n+1.
又Tn=c1+c2+…+cn,
得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],
2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],
两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]=3×
=-3n·2n+2,所以Tn=3n·2n+2.
方法技巧
利用错位相减法的一般类型及思路
1.适用的数列类型:
{anbn},其中数列{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q≠1的等比数列.
2.思路:
设Sn=a1b1+a2b2+…+anbn,(*)
则qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1,(**)
(*)-(**)得:
(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1,就转化为根据公式可求的和.
提醒:
用错位相减法求和时容易出现以下两点错误:
(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号.
(2)对相减后的和式的结构认识模糊,错把中间的n-1项和当作n项和.
冲关针对训练
已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.
(1)令cn=
,求数列{cn}的通项公式;
(2)若bn=3n-1,求数列{an}的前n项和Sn.
解
(1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0(bn≠0,n∈N*),
所以
-
=2,即cn+1-cn=2.
所以数列{cn}是以1为首项,2为公差的等差数列,
故cn=2n-1.
(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,
于是数列{an}的前n项和
Sn=1×30+3×31+5×32+…+(2n-1)×3n-1,
3Sn=1×31+3×32+…+(2n-3)×3n-1+(2n-1)×3n,
相减得-2Sn=1+2×(31+32+…+3n-1)-(2n-1)×3n=-2-(2n-2)3n,
所以Sn=(n-1)3n+1.
题型2 裂项相消法求和
Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,a
+2an=4Sn+3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=
,求数列{bn}的前n项和.
利用递推公式,an=Sn-Sn-1(n≥2)求通项,裂项相消求和.
解
(1)由a
+2an=4Sn+3,可知a
+2an+1=4Sn+1+3.
可得a
-a
+2(an+1-an)=4an+1,
即2(an+1+an)=a
-a
=(an+1+an)(an+1-an).
由于an>0,所以an+1-an=2.
又由a
+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.
所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.
(2)由an=2n+1可知
bn=
=
=
.
设数列{bn}的前n项和为Tn,则
Tn=b1+b2+…+bn=
=
.
[条件探究] 将典例中的条件变为:
已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.
求解仍为
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=
,求数列{bn}的前n项和.
解
(1)因为S1=a1,S2=2a1+
×2=2a1+2,
S4=4a1+
×2=4a1+12,
由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),
解得a1=1,所以an=2n-1.
(2)由an=2n-1可知
bn=
=
=
.
设数列{bn}的前n项和为Tn,则
Tn=b1+b2+…+bn=
=
.
[结论探究] 条件探究中的条件不变,求解
(2)变为:
令bn=(-1)n-1
,求数列{bn}的前n项和Tn.
解 bn=(-1)n-1
=(-1)n-1
=(-1)n-1
.
当n为偶数时,
Tn=
-
+…+
-
=1-
=
.
当n为奇数时,Tn=
-
+…-
+
=1+
=
.
所以Tn=
.
方法探究
几种常见的裂项相消及解题策略
(1)常见的裂项方法(其中n为正整数)
(2)利用裂项相消法求和时,应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项,再就是将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使前后相等.
冲关针对训练
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-2,且满足Sn=
an+1+n+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=log3(-an+1),设数列
的前n项和为Tn,求证:
Tn<
.
解
(1)∵Sn=
an+1+n+1(n∈N*),
∴当n=1时,-2=
a2+2,解得a2=-8,
当n≥2时,Sn-1=
an+n,
两式相减,并化简,得an+1=3an-2,
即an+1-1=3(an-1),
n=1时,a2-1=3(a1-1)=-9,
所以{an-1}是以-3为首项,3为公比的等比数列,
所以an-1=(-3)·3n-1=-3n.
故an=-3n+1.
(2)证明:
由bn=log3(-an+1)=log33n=n,得
=
=
,
Tn=
=
=
-
<
.
题型3 分组转化法求和
在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),a1a3=4,且a3+1是a2和a4的等差中项,若bn=log2an+1.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)若数列{cn}满足cn=an+1+
,求数列{cn}的前n项和.
分组求和,裂项相消法.
解
(1)设等比数列{an}的公比为q,且q>0,
在等比数列{an}中,由an>0,a1a3=4得,a2=2,①
又a3+1是a2和a4的等差中项,
所以2(a3+1)=a2+a4,②
把①代入②得,2(2q+1)=2+2q2,解得q=2或q=0(舍去),所以an=a2qn-2=2n-1,
则bn=log2an+1=log22n=n.
(2)由
(1)得,cn=an+1+
=2n+
=2n+
,
所以数列{cn}的前n项和Sn=2+22+…+2n+
=
+
=2n+1-2+
.
设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=8,S4=40.数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn-2bn+3=0,n∈N*.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=
求数列{cn}的前n项和Pn.
分组求和,分类讨论法.
解
(1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意,得
解得
∴an=4n.
∵Tn-2bn+3=0,①
∴当n=1时,b1=3,当n≥2时,Tn-1-2bn-1+3=0,②
①-②,得bn=2bn-1(n≥2),
则数列{bn}为等比数列,
∴bn=3·2n-1.
(2)cn=
当n为偶数时,Pn=(a1+a3+…+an-1)+(b2+b4+…+bn)=
+
=2n+1+n2-2.
当n为奇数时,
n=1时,P1=c1=a1=4,
解法一:
n-1为偶数,Pn=Pn-1+cn=2(n-1)+1+(n-1)2-2+4n=2n+n2+2n-1,
解法二:
Pn=(a1+a3+…+an-2+an)+(b2+b4+…+bn-1)=
+
=2n+n2+2n-1.
∴Pn=
方法技巧
分组转化法求和的常见类型
1.若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前n项和.如典例1.
2.通项公式为an=
的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.如典例2.
冲关针对训练
1.数列{(-1)n·n}的前xx项的和Sxx为( )
A.-xxB.-1009C.xxD.1009
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- 高考 数学 一轮 复习 数列 54 求和 学案文