自动机理论语言和计算导论课后习题答案.docx
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自动机理论语言和计算导论课后习题答案
SolutionsforSection
Exercise2.2.1(a)
Statescorrespondtotheeightcombinationsofswitchpositions,andalsomustindicatewhetherthepreviousrollcameoutatD,.,whetherthepreviousinputwasaccepted.Let0representapositiontotheleft(asinthediagram)and1apositiontotheright.Eachstatecanberepresentedbyasequenceofthree0'sor1's,representingthedirectionsofthethreeswitches,inorderfromlefttoright.Wefollowthesethreebitsbyeitheraindicatingitisanacceptingstateorr,indicatingrejection.Ofthe16possiblestates,itturnsoutthatonly13areaccessiblefromtheinitialstate,000r.Hereisthetransitiontable:
杠杆可能出现8种情况,影响着最终状态。
并且也要说明,前面一个大理石球是否从D滚出,也就是说,前一个输入是否被接受。
令0代表向左方的状态(如图表),1代表向右方。
这三个杠杆的每一个状态都可以用三个数(0或1)组成的序列表示。
这个序列后面跟着字母a或者r。
a代表接受状态,r代表拒绝状态。
16种可能的状态中,只有13种是从初始状态000r可达的。
下面它的有穷自动机的转移表。
A
B
->000r
100r
011r
*000a
100r
011r
*001a
101r
000a
010r
110r
001a
*010a
110r
001a
011r
111r
010a
100r
010r
111r
*100a
010r
111r
101r
011r
100a
*101a
011r
100a
110r
000a
101a
*110a
000a
101a
111r
001a
110a
Exercise2.2.2
Thestatementtobeprovedisδ-hat(q,xy)=δ-hat(δ-hat(q,x),y),andweproceedbyinductiononthelengthofy.
证明:
通过对|y|进行归纳,来证明
(q,xy)=
(
(q,x),y),具体过程如下:
Basis:
Ify=ε,thenthestatementisδ-hat(q,x)=δ-hat(δ-hat(q,x),ε).Thisstatementfollowsfromthebasisinthedefinitionofδ-hat.Notethatinapplyingthisdefinition,wemusttreatδ-hat(q,x)asifitwerejustastate,sayp.Then,thestatementtobeprovedisp=δ-hat(p,ε),whichiseasytorecognizeasthebasisinthedefinitionofδ-hat.
基础:
=0,则y=ε。
那么需证
(q,x)=
(
(q,x),ε),记p=
(q,x),命题变为p=
(p,ε),由
的定义知这显然成立。
Induction:
Assumethestatementforstringsshorterthany,andbreaky=za,whereaisthelastsymbolofy.Thestepsconvertingδ-hat(δ-hat(q,x),y)toδ-hat(q,xy)aresummarizedinthefollowingtable:
归纳:
假设命题对于比y 短的串成立,且y=za,其中a是y的结尾符号。
(
(q,x),y)到
(q,xy)的变换总结在下表中:
Expression表达式
Reason原因
(
(q,x),y)
Start开始
(
(q,x),za)
y=zabyassumption由假设y=za
δ(
(
(q,x),z),a)
Definitionofδ-hat,treatingδ-hat(q,x)asastate
的定义,把
(q,x)看作是一个状态
δ(
(q,xz),a)
Inductivehypothesis归纳假设
(q,xza)
Definitionofδ-hat
的定义
(q,xy)
y=za
Exercise2.2.4(a)
TheintuitivemeaningsofstatesA,B,andCarethatthestringseensofarendsin0,1,oratleast2zeros.
状态A,B,C分别表示以1,0和00结尾的串的状态。
0
1
->A
B
A
B
C
A
*C
C
A
Exercise2.2.6(a)
Thetrickistorealizethatreadinganotherbiteithermultipliesthenumberseensofarby2(ifitisa0),ormultipliesby2andthenadds1(ifitisa1).Wedon'tneedtoremembertheentirenumberseen---justitsremainderwhendividedby5.Thatis,ifwehaveanynumberoftheform5a+b,wherebistheremainder,between0and4,then2(5a+b)=10a+2b.Since10aissurelydivisibleby5,theremainderof10a+2bisthesameastheremainderof2bwhendividedby5.Sinceb,is0,1,2,3,or4,wecantabulatetheanswerseasily.Thesameideaholdsifwewanttoconsiderwhathappensto5a+bifwemultiplyby2andadd1.
对于一个二进制整数,如果读入一个比特0,其值等于原数乘以2;否则等于原数乘以2再加以1。
而任意一个数均可写成形如5a+b,其中a任意,0<=b<=4,那么输入0,原数变为2(5a+b)=10a+2b,由于10a是5的倍数,,因此10a+2b除以5的余数与2b相同。
输入1,则得2(5a+b)+1类似。
因此对于所有的数只要记住它被5除的余数就可以。
由于b是0,1,2,3或者4,我们可以容易得到该DPA的转移表,具体如下:
Thetablebelowshowsthisautomaton.Stateqimeansthattheinputseensofarhasremainderiwhendividedby5.
其中状态qi代表输入串被5除的余数i的状态。
0
1
->*q0
q0
q1
q1
q2
q3
q2
q4
q0
q3
q1
q2
q4
q3
q4
Thereisasmallmatter,however,thatthisautomatonacceptsstringswithleading0's.Sincetheproblemcallsforacceptingonlythosestringsthatbeginwith1,weneedanadditionalstates,thestartstate,andanadditional``deadstate''d.If,instates,weseea1first,weactlikeq0;.,wegotostateq1.However,ifthefirstinputis0,weshouldneveraccept,sowegotostated,whichweneverleave.Thecompleteautomatonis:
但是上述自动机仍接受以0开头的字符串。
因为题目要求只接受以1开头的串,可增加一个初始状态s和“死亡状态”d。
在状态初始状态s,若看到1,则转到状态q1;若看到0,则直接转到状态d,识别终止。
所求自动机如下:
0
1
->s
d
q1
*q0
q0
q1
q1
q2
q3
q2
q4
q0
q3
q1
q2
q4
q3
q4
d
d
d
Exercise2.2.9
Part(a)isaneasyinductiononthelengthofw,startingatlength1.
Basis:
|w|=1.Thenδ-hat(q0,w)=δ-hat(qf,w),becausewisasinglesymbol,andδ-hatagreeswithδonsinglesymbols.
Induction:
Letw=za,sotheinductivehypothesisappliestoz.Thenδ-hat(q0,w)=δ-hat(q0,za)=δ(δ-hat(q0,z),a)=δ(δ-hat(qf,z),a)[bytheinductivehypothesis]=δ-hat(qf,za)=δ-hat(qf,w).
证明:
a)通过对w长度的归纳证明。
基础:
若|w|=1,则w是一个符号,此时需证
(q0,w)=
(qf,w),而对于单个符号扩展转移函数
与转移函数δ的作用是一样的,得证。
归纳:
令w=za,假设对于z命题
(q0,z)=
(qf,z)成立。
那么
(q0,w)=
(q0,za)=δ(
(q0,z),a)=δ(
(qf,z),a)[由归纳假设]=
(qf,za)=
(qf,w).
Forpart(b),weknowthatδ-hat(q0,x)=qf.Sincexε,weknowbypart(a)thatδ-hat(qf,x)=qf.Itisthenasimpleinductiononktoshowthatδ-hat(q0,xk)=qf.
Basis:
Fork=1thestatementisgiven.
Induction:
Assumethestatementfork-1;.,δ-hat(q0,xSUP>k-1)=qf.UsingExercise2.2.2,δ-hat(q0,xk)=δ-hat(δ-hat(q0,xk-1),x)=δ-hat(qf,x)[bytheinductivehypothesis]=qf[by(a)].
b)x是属于L(A)的非空串,也即串x被接收,因此
(q0,x)=qf,则由a)知
(qf,x)=
(q0,x)=qf。
现在通过对k的归纳来证明
(q0,xk)=qf。
基础:
k=1时,需证
(q0,x)=qf,由已知可得。
归纳:
假设对于k-1命题成立,也就是说,
(q0,xk-1)=qf。
由练习2.2.2,
(q0,xk)=
(
(q0,xk-1),x)=
(qf,x)[由归纳假设]=qf[由(a)]。
Exercise2.2.10
Theautomatontellswhetherthenumberof1'sseeniseven(stateA)orodd(stateB),acceptinginthelattercase.Itisaneasyinductionon|w|toshowthatdh(A,w)=Aifandonlyifwhasanevennumberof1's.
Basis:
|w|=0.Thenw,theemptystringsurelyhasanevennumberof1's,namelyzero1's,and
(A,w)=A.
Induction:
Assumethestatementforstringsshorterthanw.Thenw=za,whereaiseither0or1.
Case1:
a=0.Ifwhasanevennumberof1's,sodoesz.Bytheinductivehypothesis,
(A,z)=A.ThetransitionsoftheDFAtellus
(A,w)=A.Ifwhasanoddnumberof1's,thensodoesz.Bytheinductivehypothesis,δ-hat(A,z)=B,andthetransitionsoftheDFAtellusδ-hat(A,w)=B.Thus,inthiscase,δ-hat(A,w)=Aifandonlyifwhasanevennumberof1's.
Case2:
a=1.Ifwhasanevennumberof1's,thenzhasanoddnumberof1's.Bytheinductivehypothesis,δ-hat(A,z)=B.ThetransitionsoftheDFAtellusδ-hat(A,w)=A.Ifwhasanoddnumberof1's,thenzhasanevennumberof1's.Bytheinductivehypothesis,δ-hat(A,z)=A,andthetransitionsoftheDFAtellusδ-hat(A,w)=B.Thus,inthiscaseaswell,δ-hat(A,w)=Aifandonlyifwhasanevennumberof1's.
这个自动机表示,状态A表示偶数个1,状态B表示奇数个1,不管串有偶数个还是奇数个1,都会被接受。
当且仅当串w中有偶数个1时,
(A,w)=A.。
用归纳法证明如下
基础:
|w|=0。
空串当然有偶数个1,即0个1,且
(A,w)=A.
归纳:
假设对于比w短的串命题成立。
令w=za,其中a为0或1。
情形1:
a=0.如果w有偶数个1,则z有偶数个1。
由归纳假设,
(A,z)=A。
由转移表的DFA知
(A,w)=A.如果w有奇数个1,则z有奇数个1.由归纳假设,
(A,z)=B,由转移表的DFA知
(A,w)=B.因此这种情况下
(A,w)=A当且仅当w有偶数个1。
情形2:
a=1.如果w有偶数个1,则z有奇数个1。
由归纳假设,
(A,z)=B.由转移表的DFA知
(A,w)=A.如果w有奇数个1,则z有偶数个1。
由归纳假设,
(A,z)=A,由转移表的DFA知
(A,w)=B.因此这种情况下
(A,w)=A当且仅当w有偶数个1.
综合上述情形,命题得证。
SolutionsforSection
Exercise2.3.1
HerearethesetsofNFAstatesrepresentedbyeachoftheDFAstatesAthroughH:
A={p};B={p,q};C={p,r};D={p,q,r};E={p,q,s};F={p,q,r,s};G={p,r,s};H={p,s}.
下表就是利用子集构造法将NFA转化成的DFA。
其中构造的子集有:
A={p};B={p,q};C={p,r};D={p,q,r};E={p,q,s};F={p,q,r,s};G={p,r,s};H={p,s}.
0
1
->A
B
A
B
D
C
C
E
A
D
F
C
*E
F
G
*F
F
G
*G
E
H
*H
E
H
Exercise2.3.4(a)
Theideaistouseastateqi,fori=0,1,...,9torepresenttheideathatwehaveseenaninputiandguessedthatthisistherepeateddigitattheend.Wealsohavestateqs,theinitialstate,andqf,thefinalstate.Westayinstateqsallthetime;itrepresentsnoguesshavingbeenmade.Thetransitiontable:
记状态qi为已经看到i并猜测i就是结尾将要重复的数字,i=0,1,...,9。
初始状态为qs,终止状态为qf。
我们可以一直停留在状态qs,表示尚未猜测。
转移表如下:
0
1
...
9
->qs
{qs,q0}
{qs,q1}
...
{qs,q9}
q0
{qf}
{q0}
...
{q0}
q1
{q1}
{qf}
...
{q1}
...
...
...
...
...
q9
{q9}
{q9}
...
{qf}
*qf
{}
{}
...
{}
SolutionsforSection
Exercise2.4.1(a)
We'lluseq0asthestartstate.q1,q2,andq3willrecognizeabc;q4,q5,andq6willrecognizeabd,andq7throughq10willrecognizeaacd.Thetransitiontableis:
记q0为初始状态。
q1,q2和q3识别abc;q4,q5和q6识别abd,q7到q10识别aacd.转移表如下:
a
b
c
d
->q0
{q0,q1,q4,q7}
{q0}
{q0}
{q0}
q1
{}
{q2}
{}
{}
q2
{}
{}
{q3}
{}
*q3
{}
{}
{}
{}
q4
{}
{q5}
{}
{}
q5
{}
{}
{}
{q6}
*q6
{}
{}
{}
{}
q7
{q8}
{}
{}
{}
q8
{}
{}
{q9}
{}
q9
{}
{}
{}
{q10}
*q10
{}
{}
{}
{}
Exercise2.4.2(a)
Thesubsetconstructiongivesusthefollowingstates,eachrepresentingthesubsetoftheNFAstatesindicated:
A={q0};B={q0,q1,q4,q7};C={q0,q1,q4,q7,q8};D={q0,q2,q5};E={q0,q9};F={q0,q3};G={q0,q6};H={q0,q10}.NotethatF,GandHcanbecombinedintooneacceptingstate,orwecanusethesethreestatetosignaltherecognitionofabc,abd,andaacd,respectively.
由子集构造法可得以下DFA的状态,其中每一个状态都是NFA状态的子集:
A={q0};B={q0,q1,q4,q7};C={q0,q1,q4,q7,q8};D={q0,q2,q5};E={q0,q9};F={q0,q3};G={q0,q6};H={q0,q10}.注意到F,G和H可以整合到一个接受状态中,或者我们可以用这三个状态来分别标记已识别abc,abd和aacd。
a
b
c
d
->A
B
A
A
A
B
C
D
A
A
C
C
D
E
A
D
B
A
F
G
E
B
A
A
H
*F
B
A
A
A
*G
B
A
A
A
*H
B
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