中考试题 专题突破十 新定义问题.docx
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中考试题专题突破十新定义问题
专题突破(十) 新定义问题
新定义题型的构造注重学生数学思考的过程及不同认知阶段特征的表现.其内部逻辑构造呈现出比较严谨、整体性强的特点.其问题模型可以表示为阅读材料、研究对象、给出条件、需要完成认识.而规律探究、方法运用、学习策略等则是“条件”隐形存在的“魂”.这种新定义问题虽然在构造方式上“五花八门”,但是经过整理也能发现它们存在着一定的规律.
新定义题型是北京中考最后一题的热点题型.“该类题从题型上看,有展示全貌,留空补缺的;有说明解题理由的;有要求归纳规律再解决问题的;有理解新概念再解决新问题的,等等.这类试题不来源于课本且高于课本,结构独特.
北京第25题分析
北京第29题分析
年份
2014
2015
考点
新定义问题——先学习后判断,函数综合
给出新定义,学习,应用
1.[2015·北京]在平面直角坐标系xOy中,⊙C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于⊙O的反称点的定义如下:
若在射线CP上存在一点P′,满足CP+CP′=2r,则称P′为点P关于⊙C的反称点,如图Z10-1为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图.
(1)当⊙O的半径为1时.
①分别判断点M(2,1),N(,0),T(1,)关于⊙O的反称点是否存在,若存在,求其坐标;
②点P在直线y=-x+2上,若点P关于⊙O的反称点P′存在,且点P′不在x轴上,求点P的横坐标的取值范围.
(2)当⊙C的圆心在x轴上,且半径为1,直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A,B.若线段AB上存在点P,使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部,求圆心C的横坐标的取值范围.
图Z10-1
2.[2014·北京]对某一个函数给出如下定义:
若存在实数M>0,对于任意的函数值y,都满足-M≤y≤M,则称这个函数是有界函数.在所有满足条件的M中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,图Z10-2中的函数是有界函数,其边界值是1.
(1)分别判断函数y=(x>0)和y=x+1(-4 若是有界函数,求其边界值; (2)若函数y=-x+1(a≤x≤b,b>a)的边界值是2,且这个函数的最大值也是2,求b的取值范围; (3)将函数y=x2(-1≤x≤m,m≥0)的图象向下平移m个单位长度,得到的函数的边界值是t,当m在什么范围时,满足≤t≤1? 图Z10-2 3.[2013·北京]对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义: 若⊙C上存在两个点A,B,使得∠APB=60°,则称P为⊙C的关联点. 已知点D(,),E(0,-2),F(2,0). (1)当⊙O的半径为1时, ①在点D,E,F中,⊙O的关联点是________; ②过点F作直线l交y轴正半轴于点G,使∠GFO=30°,若直线l上的点P(m,n)是⊙O的关联点,求m的取值范围; (2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径r的取值范围. 图Z10-3 4.[2012·北京]在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”,给出如下定义: 若|x1-x2|≥|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|; 若|x1-x2|<|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|. 例如: 点P1(1,2),点P2(3,5),因为|1-3|<|2-5|,所以点P1与点P2的“非常距离”为|2-5|=3,也就是图Z10-4(a)中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点). (1)已知点A(-,0),B为y轴上的一个动点. ①若点A与点B的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标; ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值. (2)已知C是直线y=x+3上的一个动点, ①如图(b),点D的坐标是(0,1),求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标. ②如图(c),E是以原点O为圆心,1为半径的圆上的一个动点,求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标. 图Z10-4 1.[2015·平谷一模]b是任意两个不等实数,我们规定: 满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足: 当m≤x≤n时,有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”.如函数y=-x+4,当x=1时,y=3;当x=3时,y=1,即当1≤x≤3时,有1≤y≤3,所以说函数y=-x+4是闭区间[1,3]上的“闭函数”. (1)反比例函数y=是闭区间[1,2015]上的“闭函数”吗? 请判断并说明理由; (2)若二次函数y=x2-2x-k是闭区间[1,2]上的“闭函数”,求k的值; (3)若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”,求此函数的解析式(用含m,n的代数式表示). 2.[2015·东城一模]定义符号min的含义为: 当a≥b时,min=b;当a<b时,min=a.如: min=-2,min=-1. (1)求min; (2)已知min{x2-2x+k,-3}=-3,求实数k的取值范围; (3)已知当-2≤x≤3时,min{x2-2x-15,m(x+1)}=x2-2x-15.直接写出实数m的取值范围. 3.[2015·海淀二模]如图Z10-5(a),在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0),B(-1,1),C(1,0),D(1,1),记线段AB为T1,线段CD为T2,点P是坐标系内一点.给出如下定义: 若存在过点P的直线l与T1,T2都有公共点,则称点P是T1-T2联络点.例如,点P(0,)是T1-T2联络点. (1)以下各点中,________是T1-T2联络点(填出所有正确的序号); ①(0,2);②(-4,2);③(3,2). (2)直接在图(a)中画出所有T1-T2联络点所组成的区域,用阴影部分表示. (3)已知点M在y轴上,以M为圆心,r为半径画圆,⊙M上只有一个点为T1-T2联络点, ①若r=1,求点M的纵坐标; ②求r的取值范围. 图Z10-5 4.[2015·门头沟一模]如图Z10-6,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为M,直线y=m与x轴平行,且与抛物线交于点A和点B,如果△AMB为等腰直角三角形,我们把抛物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线的准蝶形,顶点M称为碟顶,线段AB的长称为碟宽. 图Z10-6 (1)抛物线y=x2的碟宽为________,抛物线y=ax2(a>0)的碟宽为________. (2)如果抛物线y=a(x-1)2-6a(a>0)的碟宽为6,那么a=________. (3)将抛物线yn=anx2+bnx+cn(an>0)的准蝶形记为Fn(n=1,2,3,…),我们定义F1,F2,…,Fn为相似准蝶形,相应的碟宽之比即为相似比.如果Fn与Fn-1的相似比为,且Fn的碟顶是Fn-1的碟宽的中点,现在将 (2)中求得的抛物线记为y1,其对应的准蝶形记为F1. ①求抛物线y2的函数解析式. ②请判断F1,F2,…,Fn的碟宽的右端点是否在一条直线上? 如果是,直接写出该直线的函数解析式;如果不是,说明理由. 图Z10-7 5.[2015·朝阳一模]定义: 对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M,在△MPQ中,当PQ边上的高为2时,称M为PQ的“等高点”,称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”. (1)若P(1,2),Q(4,2). ①在点A(1,0),B(,4),C(0,3)中,PQ的“等高点”是________; ②若M(t,0)为PQ的“等高点”,求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值. (2)若P(0,0),PQ=2,当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时,直接写出点Q的坐标. 图Z10-8 6.[2015·通州一模]如图Z10-9,在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),B(6,3),连接AB.若对于平面内一点P,线段AB上都存在点Q,使得PQ≤1,则称点P是线段AB的“邻近点”. (1)判断点D(,)是否是线段AB的“邻近点”.________(填“是”或“否”); (2)若点H(m,n)在一次函数y=x-1的图象上,且是线段AB的“邻近点”,求m的取值范围; (3)若一次函数y=x+b的图象上至少存在一个邻近点,直接写出b的取值范围. 图Z10-9 7.[2015·海淀一模]在平面直角坐标系xOy中,对于点P(a,b)和点Q(a,b′),给出如下定义: 若b′=则称点Q为点P的限变点.例如: 点的限变点的坐标是,点的限变点的坐标是. (1)①点的限变点的坐标是________; ②在点A,B中有一个点是函数y=的图象上某一个点的限变点,这个点是________. (2)若点P在函数y=-x+3(-2≤x≤k,k>-2)的图象上,其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是-5≤b′≤2,求k的取值范围. (3)若点P在关于x的二次函数y=x2-2tx+t2+t的图象上,其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′<n,其中m>n.令s=m-n,求s关于t的函数解析式及s的取值范围. 图Z10-10 8.[2015·西城一模]给出如下规定: 两个图形G1和G2,点P为G1上任一点,点Q为G2上任一点,如果线段PQ的长度存在最小值,就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离. 在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点. (1)点A的坐标为A(1,0),则点B(2,3)和射线OA之间的距离为________,点C(-2,3)和射线OA之间的距离为________. (2)如果直线y=x和双曲线y=之间的距离为,那么k=________.(可在图Z10-11(a)中进行研究) (3)点E的坐标为(1,),将射线OE绕原点O逆时针旋转60°,得到射线OF,在坐标平面内所有和射线OE,OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M. ①请在图(b)中画出图形M,并描述图形M的组成部分;(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示) ②将射线OE,OF组成的图形记为图形W,抛物线y=x2-2与图形M的公共部分记为图形N,请直接写出图形W和图形N之间的距离. 图Z10-11 参考答案 北京真题体验 1.解: (1)①点M(2,1)关于⊙O的反称点不存在. 点N(,0)关于⊙O的反称点存在,反称点N′(,0). 点T(1,)关于⊙O的反称点存在,反称点T′(0,0). ②如图①,直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点E(2,0),点F(0,2). 设点P的横坐标为x. (i)当点P在线段EF上,即0≤x≤2时,0<OP≤2, ∴在射线OP上一定存在一点P′,使得OP+OP′=2, ∴点P关于⊙O的反称点存在,其中点P与点E或点F重合时,OP=2,点P关于⊙O的反称点为O,不符合题意,∴0<x<2. (ii)当点P不在线段EF上,即x<0或x>2时,OP>2, ∴对于射线OP上任意一点P′,总有OP+OP′>2, ∴点P关于⊙O的反称点不存在. 综上所述,点P的横坐标x的取值范围是0<x<2. (2)若线段AB上存在点P,使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部,则1<CP≤2. 依题意可知点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,2),∠BAO=30°. 设圆心C的坐标为(x,0). ①当x<6时,过点C作CH⊥AB于点H,如图②, ∴0<CH≤CP≤2,∴0<CA≤4, ∴0<6-x≤4,∴2≤x<6, 并且,当2≤x<6时,CB>2,CH≤2, ∴在线段AB上一定存在点P,使得CP=2, ∴此时点P关于⊙C的反称点为C,且点C在⊙C的内部,∴2≤x<6. ②当x≥6时,如图③. ∴0≤CA≤CP≤2, ∴0≤x-6≤2,∴6≤x≤8. 并且,当6≤x≤8时,CB>2,CA≤2, ∴在线段AB上一定存在一点P,使得CP=2, ∴此时点P关于⊙C的反称点为C,且点C在⊙C的内部,∴6≤x≤8. 综上所述,圆心C的横坐标x的取值范围是2≤x≤8. 2.解: (1)y=(x>0)不是有界函数. y=x+1(-4<x≤2)是有界函数,边界值为3. (2)对于y=-x+1,y随x的增大而减小, 当x=a时,y=-a+1=2,a=-1, 当x=b时,y=-b+1. ∴-1<b≤3. (3)由题意,函数平移后的表达式为 y=x2-m(-1≤x≤m,m≥0). 当x=-1时,y=1-m;当x=0时,y=-m; 当x=m时,y=m2-m. 根据二次函数的对称性, 当0≤m≤1时,1-m≥m2-m. 当m>1时,1-m<m2-m. ①当0≤m≤时,1-m≥m. 由题意,边界值t=1-m. 当≤t≤1时,0≤m≤, ∴0≤m≤. ②当<m≤1时,1-m<m. 由题意,边界值t=m. 当≤t≤1时,≤m≤1, ∴≤m≤1. ③当m>1时,由题意,边界值t≥m, ∴不存在满足≤t≤1的m值. 综上所述,当0≤m≤或≤m≤1时,满足≤t≤1. 3.解: (1)①如图(a)所示,过点E作⊙O的切线,设切点为R. ∵⊙O的半径为1,∴RO=1. ∵EO=2, ∴∠OER=30°, 根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点,使得组成的角等于30°, ∴E点是⊙O的关联点. ∵D(,),E(0,-2),F(2,0), ∴OF>EO,DO<EO, ∴D点一定是⊙O的关联点,而在⊙O上不可能找到两点与点F的连线的夹角等于60°, 故在点D,E,F中,⊙O的关联点是D,E. ②由题意可知,若P刚好是⊙C的关联点, 则点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°, 由图(b)可知∠APB=60°,则∠CPB=30°. 连接BC,则PC==2BC=2r, ∴若点P为⊙C的关联点,则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r. 由上述证明可知,考虑临界点位置的P点,则点P到原点的距离OP=2×1=2, 如图(c),过点O作l轴的垂线OH,垂足为H,∵∠GFO=30°, ∴∠OGF=60°,OG=2, 可得点P1与点G重合. 过点P2作P2M⊥x轴于点M, 可得∠P2OM=30°, ∴OM=OP2cos30°=, 从而若点P为⊙O的关联点,则P点必在线段P1P2上, ∴0≤m≤. (2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,欲使这个圆的半径最小,则这个圆的圆心应是线段EF的中点. 考虑临界情况,如图(d), 即恰好点E,F为⊙K的关联点时,则KF=2KN=EF=2, 此时,r=1, 故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,则这个圆的半径r的取值范围为r≥1. 4.解: (1)①点B的坐标是(0,2)或(0,-2). ②点A与点B的“非常距离”的最小值为. (2)①∵C是直线y=x+3上的一个动点, ∴设点C的坐标为(x0,x0+3), ∴-x0=x0+2, 此时,x0=-, ∴点C与点D的“非常距离”的最小值为, 此时C(-,). ②E(-,). --x0=x0+3-, 解得x0=-, 则点C的坐标为(-,), 点C与点E的“非常距离”的最小值为1. 北京专题训练 1.解: (1)反比例函数y=是闭区间[1,2015]上的“闭函数”.理由如下: 反比例函数y=在第一象限,y随x的增大而减小, 当x=1时,y=2015; 当x=2015时,y=1, 即图象过点(1,2015)和(2015,1), ∴当1≤x≤2015时,有1≤y≤2015,符合闭函数的定义, ∴反比例函数y=是闭区间[1,2015]上的“闭函数”. (2)由于二次函数y=x2-2x-k的图象开口向上,对称轴为直线x=1, ∴二次函数y=x2-2x-k在闭区间[1,2]内,y随x的增大而增大. 当x=1时,y=1,∴k=-2. 当x=2时,y=2,∴k=-2. 即图象过点(1,1)和(2,2), ∴当1≤x≤2时,有1≤y≤2,符合闭函数的定义, ∴k=-2. (3)因为一次函数y=kx+b是闭区间上的“闭函数”, 根据一次函数的图象与性质,有: (Ⅰ)当k>0时,图象过点(m,m)和(n,n), ∴ 解得 ∴y=x. (Ⅱ)当k<0时,图象过点(m,n)和(n,m), ∴ 解得 ∴y=-x+m+n, ∴一次函数的解析式为y=x或y=-x+m+n. 2.解: (1)∵x2≥0, ∴x2-1≥-1. ∴x2-1>-2. ∴min=-2. (2)∵x2-2x+k=+k-1, ∴+k-1≥k-1. ∵min{x2-2x+k,-3}=-3, ∴k-1≥-3. ∴k≥-2. (3)-3≤m≤7. 3.解: (1)②③ (2)所有联络点所组成的区域为图(a)中阴影部分(含边界). (3)①∵点M在y轴上,⊙M上只有一个点为T1-T2联络点,阴影部分关于y轴对称, ∴⊙M与直线AC相切于(0,0)或与直线BD相切于(0,1),如图(b)所示. 又∵⊙M的半径r=1, ∴点M的坐标为(0,-1)或(0,2). 经检验: 此时⊙M与直线AD,BC无交点,⊙M上只有一个点为T1-T2联络点,符合题意. ∴点M的坐标为(0,-1)或(0,2). ∴点M的纵坐标为-1或2. ②阴影部分关于直线y=对称,故不妨设点M位于阴影部分下方. ∵点M在y轴上,⊙M上只有一个点为T1-T2联络点,阴影部分关于y轴对称, ∴⊙M与直线AC相切于O(0,0),且⊙M与直线AD相离. 过点M作ME⊥AD于点E,设AD与BC的交点为F,如图(c). ∴MO=r,ME>r,F(0,). 在Rt△AOF中,∠AOF=90°,AO=1,OF=, ∴AF==,sin∠AFO==. 在Rt△FEM中,∠FEM=90°,FM=FO+OM=r+,sin∠EFM=sin∠AFO=, ∴ME=FM·sin∠EFM=. ∴>r.又∵r>0, ∴0 4.解: (1)4 (2) (3)①∵F1的碟宽∶F2的碟宽=2∶1, ∴∶=. ∵a1=,∴a2=. 又∵由题意得F2的碟顶坐标为(1,1), ∴y2=+1. ②F1,F2,…,Fn的碟宽的右端点在一条直线上; 其解析式为y=-x+5. 5.解: (1)A、B (2)如图,作点P关于x轴的对称点P′,连接P′Q,P′Q与x轴的交点即为“等高点”M,此时“等高距离”最小,最小值为线段P′Q的长. ∵P(1,2),∴P′(1,-2). 设直线P′Q的函数解析式为y=kx+b, 根据题意,有 解得 ∴直线P′Q的函数解析式为y=x-. 当y=0时,解得x=, 即t=. 根据题意,可知PP′=4,PQ=3,PQ⊥PP′, ∴P′Q==5. ∴“等高距离”最小值为5. (3)Q(,)或Q(-,). 6.解: (1)是 (2)∵点H(m,n)是线段AB的“邻近点”,点H(m,n)在直线y=x-1上,∴n=m-1. 直线y=x-1与线段AB交于(4,3). ①当m≥4时,有n=m-1≥3. 又AB∥x轴,∴此时点H(m,n)到线段AB的距离是n-3, ∴0≤n-3≤1,∴4≤m≤5. ②当m≤4时,有n=m-1,∴n≤3. 又AB∥x轴,∴此时点H(m,n)到线段AB的距离是3-n, ∴0≤3-n≤1,∴3≤m≤4, 综上所述,3≤m≤5. (3)如图①,②,-3-≤b≤1+. 7.解: (1)①(,1) ②点B (2)依题意,y=-x+3(x≥-2)的图象上的点P的限变点必在函数y=的图象上. ∴b′≤2,即当x=1时,b′取最大值2. 当b′=-2时,-2=-x+3.∴x=5. 当b′=-5时,-5=x-3或-5=-x+3. ∴x=-2或x=8. ∵-5≤b′≤2, 由图象可知,k的取值范围是5≤k≤8. (3)∵y=x2-2tx+t2+t=(x-t)2+t, ∴顶点坐标为(t,t). 若t>1,b′的取值范围是b′≥m或b′≤n,与题意不符. 若t≥1,当x≥1时,y的最小值为t,即m=t; 当x<1时,y的值小于-[(1-t)2+t],即n=-[(1-t)2+t]. ∴s=m-n=t+(1-t)2+t=t2+1. ∴s关于t的函数解析式为s=t2+1(t≥1). 当t=1时,s取最小值2. ∴s的取值范围是s≥2. 8.解: (1)3 (2)-1 (3)①如图,过点O分别作射线OE,OF的垂线OG,OH,则图形M为: y轴正半轴,∠GOH的边及其内部的所有点(图中的阴影部分). 说明: (图形M也可描述为: y轴正半轴,直线y=x下方与直线y=-x下方重叠的部分(含边界) ②. 初中数学试卷 灿若寒星制作
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