上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题及答案解析高级中学.docx

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上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题及答案解析高级中学

2016年上半年中小学教师资格考试

数学学科知识与教学能力试题（高级中学）

（满分:

100分考试时间:

120分钟）

题号

一

二

三

四

五

六

总分

统分人签字

得分

得分

评卷人

一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。

错选、多选或未选均无分。

）

1.

极限lim（1+12）n2的值是（）。

n→∞1+n

e

A.eB.1C.1

D.0

2.下列级数中,不收敛的是（）。

A.∞（-1）nB.∞1

C.∞1

D.∞1!

3.方程x2-y2+z2=-1所确定的二次曲面是（）。

A.椭球面B.旋转双曲面

C.旋转抛物面D.圆柱面

4.若函数f（x）在[0,1]上黎曼可积,则f（x）在[0,1]上（）。

A.连续B.单调C.可导D.有界

⎛122⎫

5.矩阵ç212÷的特牲值的个数为（）。

ç÷

ç÷

⎝221⎭

A.0B.1C.2D.36.二次型x2-3xy+y2是（）。

A.正定的B.负定的C.不定的D.以上都不是

7.《普通高中数学课程标准（实验）》的课程目标提出培养数学基本能力,对于用几何方法证明“地线与平面平行的性质定理”的学习有助于培养的数学基本能力有（）。

A.推理论证、运算求解、数据处理B.空间想象、推理论证、抽象概括

C.推理论证、数据处理、空间想象D.数据处理、空间想象、抽象概括

8.创新意识的培养是现代数学教育的基本任务,应体现在数学教与学的过程之中,下面的表述中不适合在教学中培养学生创新意识的是（）。

A.发现和提出问题B.寻求解决问题的不同策略

得分

评卷人

C.规范数学书写D.探索结论的新应用

二、简答题（本大题共5小题,每小题7分,共35分。

）

9.

=2-cos,ty

设质点在平面上的运动轨迹为{x=t-sint,t≥0,求质点在时刻t=1的速度的大小。

10.设球面方程（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2=169。

求它在点（4,5,13）处的切平面方程。

11.在体育活动中,甲乙两人掷一枚六面分别标有1,2,3,4,5,6的质地均匀的骰子。

如果结果为奇数,则甲跑一圈:

若结果为1或2,则乙跑一圈,请回答甲跑一圈和乙跑一圈这两个事件是否独立,并说明理由。

12.《普通高中数学课程标准（实验）》描述“知识与技能”领域目标的行为动词有“了解”“理解”“掌握”“运用”,请以“等差数列”概念为例,说明“理解”的基本含义。

13.以“余弦定理”教学为例,简述数学定理数学的主要环节。

得分

评卷人

三、解答题（本大题1小题,10分。

）

⎛110

设ç121

⎝341

⎫

÷,求子空间A（R3）={Aa|aR3}的一组正交基。

⎭

得分

评卷人

四、论述题（本大题1小题,15分。

）

15.“严谨性与量力性相结合”是数学教学的基本原则。

（l）简述“严谨性与量力性相结合”教学原则的内涵（3分）;

（2）实数指数幂在数学上如何引入的?

（6分）（3）在高中“实数指数幂”概念韵教学中,如何体现“严谨性与量力性相结合”的教学原则。

（6分）

得分

评卷人

五、案例分析题（本大题1小题,20分。

）阅读案例,并回答问题。

16.案例:

在等差数列的习题课教学中,教师布置了这样一个问题:

等差数列前10项和为100,前100项和为10,求前110项的和。

两位学生的解法如下:

学生甲:

设等差数例的首项为a1,公差为d,则

S10=10a1+10×9d=100,

S100=100a1+100×99d=10。

解得a1=1099,d=-11。

所以S110=110a1+110×109d=-110。

100502

10000。

A+100B=10

学生乙:

设等差数列{an}前n项和为Sn=An2+Bn,由已知得{100A+10B=100,解得A=-11,B=111。

所以,S10=1102×⎛ç-11÷⎫+110×111=-110

10010⎝100⎭10

针对上述解法,一些学生提出了自己的想法。

学生丙:

怎么刚好有S100+S10=-S110呢?

这是一种巧合吗?

上述所得到的结论中是否隐含着一般性的规律呢?

老师:

同学丙所说的规律是否就是:

一般地,在等差数列{an}中,若存在正整数p,q且p≠q,使得SP=q,SQ=p,则Sp+Sq=-

Sp+q。

（*）请同学们进行验证。

问题:

（1）请分析学生甲和学生乙解法各自的特点,并解释学生乙设Sn=An2+Bn的理由。

（12分）

（2）请验证（*）中结论是否成立。

（8分）

得分

评卷人

六、教学设计题（本大题1小题,30分）。

17.《普通高中数学课程标准（实验）》关于“古典概型”的教学要求是:

“古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征:

实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性,让学生初步学会把一些实际问题化为古典概型,教学中不要把重点放在‘如何计算’上”。

请完成下列任务:

（1）结合上述教学要求,请设计高中“古典概型”起始课的教学目标;（6分）

（2）请设计两个符合古典概型的正例,以及两个不符合古典概型的反例,以便理解古典概型的特征;（12分）

（3）抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别有1、2、3、4、5、6个点）,请用两种不同解法求出现偶数点的概率,并说明采用两种解法对帮助学生理解古典概型的作用。

（12分）

2015年下半年中小学教师资格考试

数学学科知识与教学能力试题（高级中学）

（满分:

100分考试时间:

120分钟）

题号

一

二

三

四

五

六

总分

统分人签字

得分

得分

评卷人

一、单项选择题（本大题共8小题,每题5分,共40分）在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。

错选、多选或未选均无分。

）

1.若多项式f（x）=x4+x3-3x2-4x-1和g（x）=x3+x2-x-1,则.f（x）和g（x）的公因式为（）。

A.x+lB.x+3C.x-1D.x-2

ç÷

⎛100⎫

2.已知变换矩阵A=020,则A将空间曲面（x-1）2+（y-2）2+（z-1）2=1变

ç÷

ç÷

成（）。

⎝000⎭

A.球面B.椭球面C.抛物面D.双曲面

3.为研究7至10岁少年儿童的身高情况,甲、乙两名研究人员分别随机抽取了某城市的

100名和1000名两组调查样本,若甲、乙抽取的两组样本平均身高分别记为α、β（单位:

cm）,则

α、β的大小关系为（）。

A.α>βB.α<β

C.α=βD.不能确定

4.已知数列{an}与数列{bn},n=1,2,3…,则下列结论不正确的是（）。

A.若对任意的正整数n,有an≤bn,lniman=a,lnimbn=b,且b<0,则a<0

→∞→∞

B.若liman=a,limbn=b,且a

n→∞n→∞

C.若liman=a,limbn=b,且存在正整数N,使得当n>N时,an≥b。

则a≥b

n→∞n→∞

D.若对任意的整数n,有an≥bn,lniman=a,lnimbn=b,且b>0,则a>0

→∞→∞

5.下列关系式不正确的是（）。

A.（a+c）·b=b·a+b·cB.（a+c）×b=b×a+b×c

C.（a·b）2+（a×b）2=a2b2D.（a×b）×c=（a·c）b-（b·c）a

6.函数∞3n

n级数的收敛区间为（）。

n=1n

A.（-3,3）B.（-1,1]C.[-1,1）D.[-3,3]

3333

7.20世纪初对国际数学教育产生重要影响的是（）。

A.贝利一克莱茵运动B.大众教学

C.新数学运动D.PISA项目

8.《普通高中数学课程标准（实验）》提出了五种基本能力,其中不包括（）。

A.抽象概括B.推理论证

得分

评卷人

C.观察操作D.数据处理

二、简答题（本大题共5小题,每题7分,共35分）

9.

2

一条光线斜射在一水平放置的平面镜上,人射角为α（0<α<π）,请建立空间直角坐标

系,并求出反射光线的方程。

若将反射光线绕平面镜的法线旋转一周,求所得的旋转曲面的方程。

⎧⎪a1x+by+c1z=d1

⎛a1⎫

10.求证:

非齐次线性方程组⎪+by+cz=d有唯一解当且仅当向量v=

÷,v=

⎪ç÷

⎛b1⎫⎛c1⎫

⎩a3x+b3y+c3z=d3

⎝a3⎭

ç÷,v=ç

÷线性无关。

ç÷ç÷

⎝b3⎭⎝c3⎭

11.某飞行表演大队由甲、乙两队组成。

甲队中恰好有喷红色与绿色喷雾的飞机各3架。

乙队中仅有3架喷红色烟雾的飞机。

在一次飞行表演中,需要从甲队中任意选出3架飞机与乙队飞机混合编队进行表演,并任意确定一架飞机作为领飞飞机,求领飞飞机是喷绿色烟雾的概率。

12.阐述确定数学课程内容的依据13.举例说明向量内容的学习对高中生理解数学运算的作用。

得分

评卷人

三、解答题（本大题1小题,10分）

14.叙述并证明拉格朗日微分中值定理,并简述拉格朗日微分中值定理与中学数学内容的联系。

得分

评卷人

四、论述题（本大题1小题,15分）

15.

叙述“严谨性与量力性相结合”数学教学原则的内涵,并以“是无理数”的教学过程为例说明在教学中如何体现该教学原则。

得分

评卷人

五、案例分析题（本大题1小题,20分）阅读案例,并回答问题。

16.案例:

在“三角函数求值”的教学中,教师给出了如下的问题。

已知α、β为锐角,sinα=25,sin（α+β）=3,求cosβ的值。

55

教师发现两位学生板演,他（他）们的板演过程如下:

生1:

因为sinα=25,α是锐角,所以cosα=5,

55

又因为sin（α+β）=3,0<α<β<π,所以cos（α+β）=±4,

55

5

当cos（α+β）=4时,cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα

=4×5+3×25=105=25,

5555255

5

当cos（α+β）=-4时,cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα。

=4×5+3×25=25,

555525

生2:

因为sinα=25,α是锐角,所以cosα=5,

55

由cosβ=x,因为β位锐角,所以sinβ=1-x2,

则25x+5

1-x2=3,去分母,25x+5·1-x2=3,

555

移项,5·1-x2=3-25x,两边平方,5-5x2=9-125x+20x2,

合并同类项,25x2-125x+4=0,解方程得,x1=25,x2=25。

·9·255

教师发现两位学生板演的内容与自己预设的内容不一致。

问题:

（1）你如何评价这两位学生的解题过程。

（10分）

（2）假如你是该教师,针对学生板演的情况,如何组织进一步的教学,完成该题的教学任务。

（10分）

得分

评卷人

六、教学设计题（本大题1小题,30分）

17.“基本不等式”是高中数学教学中的重要内容,请完成下列任务:

（1）在“基本不等式”起始课的“教学重点”设计中,有两种方案:

①强调基本不等式在求数值中的应用,将基本不等式的应用作为重点。

②强调基本不等式的背景,过程与意义,将学生感受和体验“基本不等式”中“基本”的意义作为教学重点。

你赞同哪种方案?

简述理由。

（10分）（2,给出的几何解释。

（10分）

（3）为了让高中生充分认识“基本不等式”中“基本”的意义,作为教师应该对此有多个维度的理解,请至少从两个维度谈谈你对“基本”意义的认识。

（10分）

参考答案及解析

教师资格考试数学学科知识与教学能力（高级中学）标准预测试卷

（一）

一、单项选择题

1n2

11+n2-1

（1+11+n2）n2+1e

1.A【解析】方法一:

lni→m∞（1+1+n2）

=lni→m∞（1+1+n2）

=lni→m∞

1

1+n

=1=e。

n2

12

12

1ln（1+12）

方法二:

lim（1+12

=limeln（1+1+n2）n

=el→im∞ln（1+1+n2）n

=elimn2ln（1+1+n2）=el→im∞

1+n=

n→∞

1+n）

n→∞n

n→∞

nn2

1

lim1+n

lim2。

en→∞12=en→∞1+n=e

2.C【解析】假设调和级数∞1收敛,记其和为Sn,即S=∞1。

考虑该级数的部分和Sn=1+1+…+

n=1n

n=1n2

n1=S2n=1+1+…+n1+n1+n1

+…+n1n,则

2+1

S2n-Sn=n1

+2

+n1

+

+…+n1n>n1n+n1n+…+n1n=1,

+1+2++++2

根据数列极限的保号性,有lni→m∞（S-S）≥1

（1）

2nn2

lni→m∞（S

-S）=lni→m∞S

-lni→m∞S=0,这与

（1）矛盾,说明假设错误,因此调和级数∞1

但是由假设可得

发散。

2n”

2nn

n=1n

3.B【解析】旋转双曲面的一般公式为x2+y2-z2=1（单叶双曲面）,x2+y2-z2=-1（双叶双曲面）。

4.D【解析】根据黎曼可积定义,即黎曼可积必有界。

5.D【解析】由矩阵A的特征多项式

λ-1-2-2

|λE-A|=

-2λ-1-2=（λ-1）3-8-8-4（λ-1）-4（λ-1）-4（λ-1）

-2-2λ-1

=（λ-1）3-12（λ-1）-16=（λ+1）2（λ-5）,

可得其特征值为-1,-1,5共三个。

6.C【解析】由已知得其二次型矩阵一阶顺序主子式为|1|>0,2阶顺序主子式为|A|=

1-3

3

4

5,故选C。

-21

7.B【解析】“直线与平面平行的性质定理”的学习过程中对数据处理的能力提升没有很明显的作用,因此选择B。

8.C【解析】创新意识是现代数学教育的基本任务,应体现在数学与学的过程之中。

学生自己发现和提出问题是创新的基础;独立思考、学会思考是创新的核心;归纳概括得到猜想和规律,并加以验证,是创新的重要方法。

二、简答题

9.【参考答案】

x=t-sint,

x=1-cost,

因为{

cost,所以

t

速度大小v=（1-cost）2+sin2t,所以t=1时速度大小v1=

y=1-

y=sint,

（1-cos1）2+sin2=2-2cos1。

10.【参考答案】

因为球面方程为（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2=169,故可设F（x,y,z）=（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2=169,有Fx（x,y,z）=2（x-1）,Fy（x,y,z）=2（y-1）,Fz（x,y,z）=2（z-1）,所以Fx（4,5,13）=2×（4-1）=6,

Fy（4,5,13）=2×（5-1）=8,Fz（4,5,13）=2×（13-1）=24,所以在点（4,5,13）处,n=（6,8,24）是法线的一个

方向向量。

由此可得球面在点（4,5,13）处的切平面方程为6（x-4）+8（y-5）+24（z-13）=0,化简得:

3（x-4）+4（y-5）+12（z-13）=0。

11.【参考答案】

令甲跑一圈为事件A,乙跑一圈为事件B,因为P（A）=3=1,P（B）=2=1,而事件A,B同时发生只

6263

有一种情况,即出现点数为1的情况,P（AB）=1,所以P（AB）=P（A）P（B）,所以事件A和事件B为独立

事件。

6

12.【参考答案】

行为动词中的“理解”就是把握内在逻辑关系,对知识作出解释、扩展、提供证据、判断等。

以“等差数列的概念”为例,教学目标中理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题;体会等差数列与一次函数的关系。

这些都属于“理解”的目标层次。

学生在学习过程中,能够把握等差数列的概念,通过内在逻辑联系以此为前提进行推导,探索并总结等差数列的通项公式,同时能够对日常所见的等差数列问题作出解释、解决相应的问题,并能够拓展到等差数列与一次函数之间的关系。

13.【参考答案】

教学过程:

（1）创设情境,提出问题

问题:

以千岛湖求两岛间的距离引入,已知两岛间的距离及夹角如何求另两岛间的距离。

老师活动:

以上问题能否用正弦定理来解决,请同学们深度一下,如果解决不了,思考它是已知三角形两边及夹角,求第三边的问题。

能否也象正弦定理那样,寻找它们之间的某种定量关系?

（2）求异探新,证明定理

问题1:

这是一个已知三角形两边a和b及两边的夹角C,求出第三边c的问题。

我们知道已知三角形两边分别为a和b,这两边的夹角为C,角C满足什么条件时较易求出第三边c?

（由勾股定理导入）

问题2:

自学提纲

学生活动:

小组合作探究,完成填空。

老师引导:

要证c2=a2+b2,即证A→B=（）2+（）2

证明过程:

又因为A→B=（向量的什么法则）

所以A→B2=（A→C+C→B）2=A→C2+2+C→B2

=A→C2+2|A→C|+|C→B|cos+C→B2

=a2-+b2

所以c2++a2+b2-,当C=90°时,上式变为。

类似地可以证明b2=,a2=。

老师活动:

引导学生从特殊入手,用已有的初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题,从而寻找出这些量之间存在的某种定量关系。

得出结论,上式就是余弦定理。

师生强调:

得出了余弦定理,还应引导学生联想、类比、转化,思考是否还有其他方法证明余弦定理。

问题3:

让学生观察以下各式的结构有什么特征?

能用语言描述吗?

a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=b2+a2-2bacosC

师生共同总结:

余弦定理的内容是三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

（3）

巩固新知,运用练习,。

。

。

小组先发现这两个生活实际问题的解决能否用今天学的余弦定理?

如何解决?

（4）运用定理,解决问题

让学生观察余弦定理及推论的构成形式定理学习的一般环节:

思考用余弦定理及推论可以解决那些类型的三角形问题。

（1）了解定理的内容,能够解决什么问题（创设情境,提出问题中体现）;

（2）理解定理的含义,认识定理的条件和结论,如在公式推导过程中对条件引起注意,通过对结论从结构,功能,性质,使用步骤等角度分析以加深印象和理解（求异探新,证明定理中体现）;（3）定理的证明或推导过程;学生与老师一起研究证明方法,如不需证明,学生根据老师提供的材料体会定理规定的合理性（求异探新,证明定理中体现）;（4）熟悉定理的使用。

循序渐进地定理的应用,将定理纳入到已有的知识体生系中去（巩固新知,运用练习中体现）;（5）引申和拓展定理的运用（运用定理,解决问题中体现）。

三、解答题

14.【参考答案】

取R3上一组基:

e1=（1,0,0）',e2=（0,1,0）',e3=（0,0,1）'

Ae1=（1,1,3）'=ε1,

Ae2=（1,2,4）'=ε2,

Ae3=（0,1,1）'=ε3,

则A（R3）={Aa|a∈R3}={ε1,ε2,ε3}

⎛110⎫

初等变换

⎛110⎫

（ε1,ε2,ε3）=ç121÷→ç011÷

⎝341⎭

所以r（ε1,ε2,ε3）=2,

⎝000⎭

又因为ε1,ε2线性无关,所以A（R3）=（ε1,ε2）

将ε1,ε3进行Smitch正交化可得β1=ε1=（1,1,3）',

β2=ε2-（ε2,β1）β1=（-4,7,-1）'。

（β1,β1）111111

所以子空间A（R3）={Aa|a∈R3}的一组正交基是β1=（1,1,3）',β2=（-4,7,-1）'。

四、论述题

15.【参考答案】

111211

（1）数学的严谨性,是指数学具有很强的逻辑性和较高的精确性,即逻辑的严格性和结论的确定性。

量力

性是指学生的可接受性。

这一原则,说明教学中的数学知识的逻辑严谨性与学生的可接受性之间相适应的关系。

理论知识的严谨程度要适合学生的一般知识结构与智力发展水平,随着学生知识结构的不断完善,心理发展水平的提高.逐渐增强理论的严谨程度;反过来,又要通过恰当的理论严谨性逐渐促进学生的接受能力。

显然,这一原则是根据数学本身的特点及学生心理发展的特点提出的。

但是,在学习过程中,学生的心理发展是逐步形成的,不同的年龄阶段,其感知、记忆、想象、思维、能力等心理因素都有不同的发展水平。

这种心理发展的渐变性决定了在教学中不可能对数学理论的研究达到完全严密的程度,而应该在不同的教学阶段,依据不同的教学目的和内容而提出不同的严谨性要求。

即数学教学的严谨性是相对的。

（2）对于实数指数幂在教学上,首先可以从初中学习的整数指数幂的概念和运算性质出发,比如回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n次方根的定义,从而把指数推广到分数指数,进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。

（3）在高中“实数指数幂”的概念教学中,对严谨性要求,设法安排学生逐步适应的过程与机会,逐步提高其严谨程度,做到立论有据。

比如学生初学分数指数幂很不适应,教师可以引导学生研究已学过整数指数幂的概念属性,理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质,并学习分数指数幂和根式之间的互化,渗透“转化”的数学思想,最后达到知识点之间的密切联系,达到概念的产生有根有据。

五、