完整高等数学练习题附答案.docx
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完整高等数学练习题附答案
高等数学》
专业年级学号姓名
一、判断题.将√或×填入相应的括号内.(每题2分,共20分)
()1.收敛的数列必有界.
()2.无穷大量与有界量之积是无穷大量.
()3.闭区间上的间断函数必无界.
()4.单调函数的导函数也是单调函数.
()5.若f(x)在x0点可导,则f(x)也在x0点可导.
()6.若连续函数yf(x)在x0点不可导,则曲线yf(x)在(x0,f(x0))点没有切线.
()7.若f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上连续.
()8.若zf(x,y)在(x0,y0)处的两个一阶偏导数存在,则函数zf(x,y)在
(x0,y0)处可微.
()9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.
()10.设偶函数f(x)在区间(1,1)内具有二阶导数,且f(0)f(0)1,则
f(0)为f(x)的一个极小值.
二、填空题.(每题2分,共20分)
2
1.设f(x1)x,则f(x1).
5.曲线x26yy3在(2,2)点切线的斜率为
6.设f(x)为可导函数,f
(1)1,F(x)f
(1)f(x2),则F
(1)
x
f(x)22
7.若t2dtx2(1x),则f
(2).
0
8.f(x)x2x在[0,4]上的最大值为.
9.广义积分0e2xdx
2
10.设D为圆形区域x2
y21,y1x5dxdy
D
三、计算题(每题5分,共40分)
4.计算定积分sin3xsin5xdx.
0
5.求函数f(x,y)x34x22xyy2的极值.
6.
设平面区域
D是由y
x,y
siny
x围成,计算dxdy.
1,xy
2,y
Dy
7.
计算由曲线
xy
x,y3x围成的平面图形在第一象限的面积
8.
求微分方程
y
2x
y的通解
y
四、证明题(每题10分,共20分)
1.证明:
arctanx
x
(
).
2.设f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(x)0,
证明:
方程F(x)
x
F(x)0f(t)dt
0在区间(a,b)内有且仅有
x
dtbf(t)个实根
高等数学》参考答案
、判断题.
1.√;2.×
将√或×填入相应的括号内(每题
;3.×;4.×
;5.×;6.×;
7.×;
2分,共20分)
8.×;9.√;
10.√.
填空题.
每题2分,
共20分)
1.x24x
4;
2.1;
3.1/2;
4.(y
1/y)dx
(x
x/y2)dy;
5.2/3;
6.1
;7.
336;8.
9.
1/2
10.0.
三、计算题(每题
1.解:
因为
5分,共40分)
1
2
n
n1
2(2n)2
1
(n
1)2
1
2
(2n)2
由迫敛性定理知:
ln
2.解:
先求对数
1
y
y
y(x
1(2n)21n2
limn
n
lim(
n
1)
0,
lim
n
1
2=0
n
ln(x
1
1
(x
1
(n1)2
1)2ln(x
2
2
10)(
x1
3.解:
原式=21xdx
=2dx
1(x)2
12)=0
(2n)2
2)10ln(x
10
10
2
x2
10)
10)
x10)
4.解:
5.解:
=2arcsinxc
原式=0sin3xcos2xdx
3
2cosxsin2xdx
0
3
2sin2xdsinx
0
2
=[sin
5
5
2x]02
=4/5
0,
3x2
3cosxsin2xdx
2
3
sin2xdsinx
2
25[sin
8x
2y
00时fxx(0,0)
(8)
(2)
0)为极大值点
22时fxx(2,2)
4
(2)
6.解:
D=(x,y)
0y
1,y
sinydxdy
1
dy
0
y
2
x
sin
y
2y
D
22
x]
2
y2x
x2
或y2
8,fyy(0,0)
2y
2,
fxy(0,0)2
22
4,
0且A=8
f(0,0)0
fyy(2,2)
无法判断
2,
fxy(2,2)2
ydx=y
01sinyy[x]yy2
0y
dy
=[
7.解:
令uxy,
2
8.解:
令y2
由微分公式知:
1
0(siny
cosy]10
=1
=1
cos1
sin1
xu
yu
四.证明题(每题10分,
1.解:
设
f(x)
f(x)
则1
知(u)
f(0)
ysiny)dy
1
0ydcosy
[ycosy]10
2x
e2x(
1
0cosydy
1
u
2uv
2vv
1
v
u
2v
2u
v
31
dv
ln3
12v
2u4x
dx
2dx
1
yv
2
du
1
(
dx
c)
4xe
u2
xv
v3
4xe2xdxc)
2x2x
e(2xee
共20分)
f(x)
x2
arctanx
2x
2xc)
arcsin
1x
1x2
2
x
1x2
1x2
2
x
1x2
1x=0
即:
原式成立。
2.解:
F(x)在[a,b]上连续
a1b
F(a)bf1(t)dt<0,F(b)af(t)dt>0
故方程F(x)0在(a,b)上至少有一个实根
F(x)2
F(x)在区间[a,b]上单调递增
F(x)在区间(a,b)上有且仅有一个实根
《高等数学》
专业学号姓名
、判断题(对的打√,错的打×;每题2分,共10分)
1.f(x)在点x0处有定义是f(x)在点x0处连续的必要条件.
2.若yf(x)在点x0不可导,则曲线yf(x)在(x0,f(x0))处一定没有切线.
3.若f(x)在[a,b]上可积,g(x)在[a,b]上不可积,则f(x)g(x)在[a,b]上必不可积.
4.方程xyz0和x2y2z20在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.
5.设y*是一阶线性非齐次微分方程的一个特解,y是其所对应的齐次方程的通解,则
yyy*为一阶线性微分方程的通解.
二、填空题(每题2分,共20分)
1.设f(3x)2x1,f(a)5,则a.
ln(12x)
2.设f(x),当f(0)时,f(x)在点x0连续.
arcsin3x
12xt
3.设f(x)limx
(1)2xt,则f(x)
tt
知已
导
处
m
li
d2
5.若2f(x)cosx[f(x)]2,并且f(0)
dx
6.若f(x),g(x)在点b左连续,且f(b)
则f(x)与g(x)大小比较为f(x)g(x).
2dydy
ysinx2,则2;
d(x2)dx
1,则f(x)
g(b),f(x)g(x)
(axb),
7.若
8.设
x
f(x)2lntdt,则
f(12)
9.设ze
xy,则dz(1,1)
10.累次积分
R
dx
0
R2x2
0
f(x2y2)dy化为极坐标下的累次积分为
、计算题(前
1.
sinx
(1
0
lim
x0xt
dt
0sint
6题每题5分,后两题每题6分,共42分)1
t)tdt
2.设y
lne2ex1
,求y;
3.
sinxcosxdx;
1sin2x
4.
2
x24x2dx;
0
5.设z
x
求
22
x2y2
6.
求由方程2yx(x
y)ln(x
y)所确定的函数
7.
设平面区域D是由y
x围成,计算
8.
求方程ylnydx(x
四、(7分)
已知f(x)x3ax2
大值与极小值
xy
yy(x)的微分dy.siny
dxdy.
y
lny)dy0在初始条件yx1e下的特解.
bx在x1处有极值2,试确定系数a、b,并求出所有的极
五、应用题(每题7分,共14分)
1.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为10(km/h)时,燃料费为每小时6元,而其它与速度无关的费用为每小时96元.问轮船的速度为多少时,每航
行1km所消耗的费用最小?
2.过点(1,0)向曲线yx2作切线,求:
(1)切线与曲线所围成图形的面积;
(2)图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.
六、证明题(7分)
设函数f(x)在0xa上的二阶导数存在,且f(0)0,f(x)0.证明f(x)
g(x)在0xa上单调增加.
x
高等数学参考答案
、判断题
1.√;
2.×;
3.√;
4.×;
5.√.
、填空题
1.36;2.
2;3.
3
4(1x)e2x
;
4.
5A;
5.1
sinx;
6
7.cosx2,
2xcosx2
;8.
ln
2
;
9.
2dx
dy
R
10.2df(rcos2)rdr.
00
三、计算题
1.原式
(1sinx)sinxcosxlimx0
sinx
2.y
2x2x2x2x
2e(e1)e2e
1
2
e2x
2x
e
(e2x1)2
e2x12e2x
2e2x(e2x1)2
1
2x
1e
sinxcosx
3.原式=2dx
(sinxcosx)2
(sinx
2d(sinxcosx)2
cosx)
1
sinxcosx
4.设x2sint则dx2costdt
原式=
024sin2t2cost2costdt
16
02sin2tcos2tdt
22
sin22tdt202(1
cos4t)dt
2(t
41sin4t)02
z
y
x22y
2x2
x2
2
y
2
y2
(x2
xy
3
y2)2
6.
xy
331
2223222
y(x2y2)2xy(x2y2)22x
2
223
(x2y2)3
2
y
223
(xy)
232(2xyy)x
两边同时微分得:
2dy
dx
(dxdy)ln(xy)(x
2dydxln(xy)dxln(xy)dx
3ln(xy)
本题求出导数后,用
1
y)(dxdy)xy
ln(xy)dy(dxdy)
dy
7.sinydxdy
Dy
dy2
0y2
dxy
1
0(siny
ysiny)dy
cosy0
ycosy0
cos1
cos1sin
y
1
1
0
1
cosydy
dyydx解出结果也可)
1
1sin1
8.原方程可化为
dx
dy
x
ylny
通解为
xe
1
yl1nydy[
1
dy
ylny
e
1dyC]y
lnlny
[e
lnlny1dyy
C]
ln1y[
lny
1
lny
2
1
lnydyC]y
C
lny
112ln1y[12(lny)2C]
x1
e代入通解得C1
四、
解:
f(x)3x2axb
因为f(x)在x1处有极值2,所以x
1必为驻点
故
f
(1)32ab0
又
f
(1)1ab2
解得:
a0,b3
于是
f(x)x3xf(x)
2
3(x21)
f(x)6x
由f
(x)
0得x1,从而
f
(1)
60,在x1处有极小值f
(1)
2
f(
1)
60,在x1处有极大值f(
1)2
五、
1.解
:
设船速为x(km/h),依题意每航行
1km的耗费为
13y(kx396)
x
又x
10
时,k1036故得k0.006,
所以有
13
y(0.006x396),x(0,
x
)
令
y
0.012
2(x38000)0,得驻点x
20
故所求特解为:
(lny)22xlny10
x
由极值第一充分条件检验得
x20是极小值点.由于在(0,只有唯一的极值点,当它为极小值点时必为最小值点,所以求得船速为
)上该函数处处可导,且
20(km/h)时,每航
7.2(元)
又因为y2
x2上的切线斜率满足2yy1,在(x0,y0)上即有2y0y1
所以2y001,即2y0x01
x01
则所围成图形的面积为:
1
0[2
y2(2y
1)]dy
2)图形绕
x轴旋转所得旋转体的体积为:
01(x
04
23
1)2dx2(x
2)dx
六、证:
xf(x)f(x)
xf(x)[f(x)f(0)]
在[0,x]上,
[f(xx)]
x
f(x)应用拉格朗日中值定理,则存在一点f(x)f(0)xf()
(0,x),使得
代入上式得[f(x)]xf(x)2f()
xx2
由假设f(x)0知f(x)为增函数,又x,则f(x)f(),于是f(x)f()0,从而[f(x)]0,故f(x)在(0,a)内单调增加xx
《高等数学》试卷
专业学号姓名
、填空题(每小题1分,共10分)
1.函数yarcsin1x21的定义域为。
1x2
2.函数yxex上点(0,1)处的切线方程是。
3.设f(x)在x0可导且f(x0)A,则limf(x02h)f(x03h)=。
0h0h
4.设曲线过(0,1),且其上任意点(x,y)的切线斜率为2x,则该曲线的方程是
5.1xx4dx=1x
6.limxsin1=xx
.设f(x,y)sinxy,则fx(x,y)=
RdxRxf(x2y2)dy化为极坐标下的累次积分为
单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写
在题干的(
)内,
1~10每小题1分,11~17每小题2分,共24分)
1.设函数
f(x)
1
g(x)1x,
x
则f(g(x))=
①1
③11x
④x
2.x0时,
xsin11是x
1无穷大量
2无穷小量
3有界变量
4无界变量
①若f(x)在x
x0连续,则
f(x)在xx0可导
②若
f(x)在x
x0不可导,则
f(x)在x
x0不连续
③若
f(x)在x
x0不可微,则
f(x)在x
x0极限不存在
④若
f(x)在x
x0不连续,则
f(x)在x
x0不可导
5.设F(x)
G(x),则
()
①F(x)
G(x)为常数
②F(x)
G(x)为常数
③F(x)
G(x)0
④d
F(x)dxdG(x)dxx
dx
dx
1
6.
1
xdx
=
()
①上升的凸弧②下降的凸弧
③上升的凹弧④下降的凹弧
①0②1③2④3
7.方程2x3y1在空间表示的图形是()
①平行于xOy面的平面②平行于Oz轴的平面
③过Oz轴的平面④直线
11.下列函数中为偶函数的是
()
①yex②yx31
3
③yxcosx
④yln
x
12.设f(x)在(a,b)可导,ax1x2
b,则至少有一点
(a,b)使
()
①f(b)f(a)f()(ba)
②f(b)f(a)f
()(x2x1)
③f(x2)f(x1)f()(ba)
④f(x2)f(x1)
f()(x2x1)
③可分离变量的微分方程
④二阶微分方程
①充分必要的条件
②必要非充分的条件
③必要且充分的条件
④既非必要又非充分的条件
d2
14.设2f(x)cosx[f(x)]2
,则f(0)1,则f(x)
()
13.设f(x)在x
x0的左右导数存在且相等是
f(x)在xx0可导的
)
dx
①cosx②2cosx③1sinx④1sinx
15.过点(1,2)且切线斜率为4x3的曲线方程为y=()
①x②x+c③x+1④4x3
16.设幂级数anxn在x0(x00)收敛,则anxn在xx0()
n0n0
①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与an有关
17.设D
域由
2
yx,yx2所围成,则
sin
x
d
Dx
①
1
1sinx
②
1
ysinx
dx
0
dy;
xx
dy
0
yx
dx;
③
1
xsinx
④
1
xsinx
dx
0
dy;
xx
dy
0
xx
dx.
、计算题(1~3每小题5分,4~9每小题6分,共51分)
求y
1.设y
2
2.求limsin(9x216).
x433x4
3.计算
dx.
x2.
(1e)
4.设x
t1dyt0(cosu)arctanudu,y1t(sinu)arctanudu,求.
dx
5.求过点A(2,1,-1),B(1,1,2)的直线方程
6.设u
ysinz
,求
du
计算
xasin
rsindrd
00
8.求微分方程dy(y1)2dx的通解.
x1
3
9.将f(x)3展成的幂级数.
(1x)(2x)
四、应用和证明题(共15分)
1.(8分)设一质量为m的物体从高空自由落下,空气阻力正比于速度
比例常数为k0)求速度与时间的关系。
2.(7分)借助于函数的单调性证明:
当x>1时,2x3
高等数学参考答案
、填空题(每小题1分,
共10分)
1.(-1,1)2
.2x-y+1=03.5A
2
4.y=x+1
5.1arctanxc
6.17.ycos(xy
)
2
8.2df(r2)rdr
9.三阶10.发散
00
、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的
)内,1~10每小题1分,11~17每小题2分,共24分)
1.③2.③3.④4.④5.②6.②7.②8.⑤9.④10.③
1.解:
lny
x1
x(x3)(x1
2.解:
18xcos(9x216)limx33
16)
=8
442
18(34)cos(9(34)
3
3.解:
原式=(1exex2)dx
(1ex)2
=dx-d(1ex)
xx2
(1ex)(1ex)2
=(1exex)dx1
xx
1e1e
x1
=xln(1ex)1xc
1e
4.解:
因为dx(cost)arctgtdt,dy(sint)arctgtdt
tgt
dy(sint)arctgtdtdx(cost)arctgtdt
x1
5.解:
所求直线的方向数为{1,0,-3}所求直线方程为
6.解:
xysinzdued(x
ysinz)
21ydy
coszdz)
7.解:
原积分=0sin
asin
rdr
1a2sin3d
20
8.解:
两边同除以
(y
1)2
dy
(1y)2
dx
(1x)2
两边积分得
dy
(1y)2
dx
(1x)2
9.解:
分解,得
f(x)=11x
2x
1
1
1
1
x21
x
2
n1xn02
(
n0
n
1)nxnn
1)2n
(
x
1且
x
2
1)
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