算法设计与分析报告报告材料实验二.docx
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算法设计与分析报告报告材料实验二
实验二:
分治法实验
一、实验目的
(1)掌握设计有效算法的分治策略。
(2)通过快速排序学习分治策略设计技巧
二、实验要求
(1)熟练掌握分治法的基本思想及其应用实现。
(2)理解所给出的算法,并对其加以改进。
三、分治法的介绍
任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。
问题的规模越小,越容易直接求解,解题所需的计算时间也越少。
而当n较大时,问题就不那么容易处理了。
要想直接解决一个规模较大的问题,有时是相当困难的。
分治法的设计思想是,将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同问题,以便各个击破,分而治之。
如果原问题可分割成k个子问题,1 由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。 在这种情况下,反复应用分治手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。 这自然导致递归过程的产生。 分治与递归像一对孪生兄弟,经常同时应用在算法设计之中,并由此产生许多高效算法。 分治法的适用条件: (1)该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决; (2)该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质。 (3)利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解; (4)该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子问题。 上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的,因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加;第二条特征是应用分治法的前提,它也是大多数问题可以满足的,此特征反映了递归思想的应用;第三条特征是关键,能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征,如果具备了第一条和第二条特征,而不具备第三条特征,则可以考虑贪心法或动态规划法。 第四条特征涉及到分治法的效率,如果各子问题是不独立的,则分治法要做许多不必要的工作,重复地解公共的子问题,此时虽然可用分治法,但一般用动态规划法较好。 分治法的基本步骤: 分治法在每一层递归上都有三个步骤: 分解: 将原问题分解为若干个规模较小,相互独立,与原问题形式相同的子问题; 解决: 若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则递归地解各个子问题; 合并: 将各个子问题的解合并为原问题的解。 它的一般的算法设计模式如下: Divide-and-Conquer(P) 1. if|P|≤n0 2. thenreturn(ADHOC(P)) 3. 将P分解为较小的子问题P1,P2,...,Pk 4. fori←1tok 5. doyi←Divide-and-Conquer(Pi) △递归解决Pi 6. T←MERGE(y1,y2,...,yk) △合并子问题 7. return(T) 其中|P|表示问题P的规模;n0为一阈值,表示当问题P的规模不超过n0时,问题已容易直接解出,不必再继续分解。 ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法,用于直接解小规模的问题P。 因此,当P的规模不超过n0时,直接用算法ADHOC(P)求解。 算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法,用于将P的子问题P1,P2,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解。 根据分治法的分割原则,原问题应该分为多少个子问题才较适宜? 各个子问题的规模应该怎样才为适当? 这些问题很难予以肯定的回答。 但人们从大量实践中发现,在用分治法设计算法时,最好使子问题的规模大致相同。 换句话说,将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。 许多问题可以取k=2。 这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡(balancing)子问题的思想,它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。 分治法的合并步骤是算法的关键所在。 有些问题的合并方法比较明显,有些问题合并方法比较复杂,或者是有多种合并方案;或者是合并方案不明显。 究竟应该怎样合并,没有统一的模式,需要具体问题具体分析。 四、实验内容 1、编程实现归并排序算法和快速排序算法,程序中加入比较次数的计数功能,输出排序结果和比较次数。 输入10组相同的数据,验证排序结果和完成排序的比较次数。 用表格列出比较结果。 给出文字分析。 2、汉诺塔(hanoi)问题。 3、棋盘覆盖问题。 4、循环赛日程安排问题。 五、算法设计 1、归并排序算法 procedureMERGESORT(low,high) //A(low;high)是一个全程数组,它含 有high-low+1≥0个待排序的元素// integerlow,high; iflow thenmid←,//求这个集合的分割点// callMERGESORT(low,mid)//将一个子集合排序// callMERGESORT(mid+1,high)//将另一个子集合排序 callMERGE(low,mid,high)//归并两个已排序的子集合// endif endMERGESORT 归并两个已排序的集合 procedureMERGE(low,mid,high) //A(low: high)是一个全程数组// //辅助数组B(low;high)// integerh,i,j,k; h←low;i←low;j←mid+1; whileh≤midandj≤highdo//当两个集合都没取尽时// ifA(h)≤A(j)thenB(i)←A(h);h←h+1 elseB(i)←A(j);j←j+1 endif i←i+1 repeat ifh>midthen fork←jtohighdo//处理剩余的元素// B(i)←A(k);i←i+1 repeat elsefork←htomiddo B(i)←A(k);i←i+1 repeat endif 将已归并的集合复制到A endMERGE 2、快速排序算法 我们已经知道,在决策树计算模型下,任何一个基于比较来确定两个元素相对位置的排序算法需要Ω(nlogn)计算时间。 如果我们能设计一个需要O(n1ogn)时间的排序算法,则在渐近的意义上,这个排序算法就是最优的。 许多排序算法都是追求这个目标。 下面介绍快速排序算法,它在平均情况下需要O(nlogn)时间。 这个算法是由C.A.R.Hoare发明的。 算法的基本思想: 快速排序的基本思想是基于分治策略的。 对于输入的子序列L[p..r],如果规模足够小则直接进行排序,否则分三步处理: 分解(Divide): 将输入的序列L[p..r]划分成两个非空子序列L[p..q]和L[q+1..r],使L[p..q]中任一元素的值不大于L[q+1..r]中任一元素的值。 递归求解(Conquer): 通过递归调用快速排序算法分别对L[p..q]和L[q+1..r]进行排序。 合并(Merge): 由于对分解出的两个子序列的排序是就地进行的,所以在L[p..q]和L[q+1..r]都排好序后不需要执行任何计算L[p..r]就已排好序。 这个解决流程是符合分治法的基本步骤的。 因此,快速排序法是分治法的经典应用实例之一。 QuickSort(p,q) //将数组A[1: n]中的元素 A[p],A[p+1],,A[q]按不降次序排列, 并假定A[n+1]是一个确定的、且大于 A[1: n]中所有的数。 // intp,q;globaln,A[1: n]; ifp j=Partition(p,q+1);//划分后j成为划分元素的位置 QuickSort(p,j-1); QuickSort(j+1,q); endif endQuickSort procedurePARTITION(m,p) //退出过程时,p带着划分元素所在的下标位置。 // integerm,p,i;globalA(m: p-1) v←A(m);i←m//A(m)是划分元素// loop loopi←i+1untilA(i)≥vrepeat//i由左向右移// loopp←p-1untilA(p)≤vrepeat//p由右向左移// ifi thencallINTERCHANGE(A(i),A(p))//A(i)和A(p)换位// elseexit endif repeat A(m)←A(p);A(p)←v//划分元素在位置p// EndPARTITION 3、汉诺塔(hanoi)问题。 设有A、B、C共3根塔座,在塔座A上堆叠n个金盘,每个盘大小不同,只允许小盘在大盘之上,最底层的盘最大,如下图所示。 现在要求将A上的盘全都移到C上,在移的过程中要遵循以下原则: 每次只能移动一个盘;圆盘可以插在A、B和C任一个塔座上;在任何时刻,大盘不能放在小盘的上面。 hanoi问题递归求解思想: 我们把一个规模为n的hanoi问题: 1到n号盘按照移动规则从A上借助B移到C上表示为H(A,B,C,n);原问题划分成如下三个子问题: (1)将1到n-1号盘按照移动规则从A上借助C移到B上H(A,C,B,n-1); (2)将n号盘从A上直接移到C上; (3)将1到n-1号盘按照移动规则从B上借助A移到C上H(B,A,C,n-1); 经过三个子问题求解,原问题的也即求解完成。 4、盘覆盖问题。 在一个2k×2k个方格组成的棋盘中,恰有一个方格与其它方格不同,称该方格为一特殊方格,且称该棋盘为一特殊棋盘。 在棋盘覆盖问题中,要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格,且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。 六、参考程序代码 1、归并排序 #include #include #include #include #defineM11 typedefintKeyType; typedefintElemType; structrec{ KeyTypekey; ElemTypedata; }; typedefrecsqlist[M]; classguibing{ public: guibing(sqlistb) { for(inti=0;i r[i]=b[i]; } voidoutput(sqlistr,intn) { for(inti=0;i cout< cout< } voidxuanze(sqlistb,intm,intn) { inti,j,k; for(i=m;i { k=i; for(j=i;j if(b[k].key>b[j].key)k=j; if(k! =i) { rectemp=b[k]; b[k]=b[i]; b[i]=temp; } } } voidmerge(intl,intm,inth,sqlistr2) { xuanze(r,l,m); xuanze(r,m,h); output(r,M); inti,j,k; k=i=l; for(j=m;i { if(r[i].key<=r[j].key) { r2[k]=r[i]; i++; } else { r2[k]=r[j]; j++; } output(r2,M); } while(j { r2[k]=r[j]; j++; k++; } while(i<=m) { r2[k]=r[i]; i++; k++; } output(r2,M); } private: sqlistr; }; voidmain() { cout<<"guibingfa1运行结果: \n"; sqlista,b; inti,j=0,k=M/2,n=M; srand(time(0)); for(i=0;i { a[i].key=rand()%80;b[i].key=0; } guibinggx(a); cout<<"排序前数组: \n"; gx.output(a,M); cout<<"数组排序过程演示: \n"; gx.merge(j,k,n,b); cout<<"排序后数组: \n"; gx.output(b,M); cin.get(); } 2、快速排序 #include #include #include #include #defineMAXI10 typedefintKeyType; typedefintElemType; structrec{ KeyTypekey; ElemTypedata; }; typedefrecsqlist[MAXI]; classkuaisu { public: kuaisu(sqlista,intm): n(m) { for(inti=0;i } voidquicksort(ints,intt) { inti; if(s i=part(s,t); quicksort(s,i-1); quicksort(i+1,t); } elsereturn; } intpart(ints,intt) { inti,j; recp; i=s;j=t;p=b[s]; while(i { while(i b[i]=b[j]; while(i b[j]=b[i]; } b[i]=p; output(); returni; } voidoutput() { for(inti=0;i cout< cout< } private: sqlistb; intn; }; voidmain() { cout<<"kuaisu1.cpp运行结果: \n"; sqlista1; inti,n=MAXI,low=0,high=9; srand(time(0)); for(i=0;i a1[i].key=rand()%80; kuaisupx(a1,n); cout<<"数组排序过程演示: \n"; px.quicksort(low,high); cout<<"排序后数组: \n"; px.output(); cin.get(); } 3、hanoi问题递归求解代码: voidH(charA,charB,charC,intn) { if(n>0) { H(A,C,B,n-1); printf(“%dfrom%cto%c”,n,A,C); H(B,A,C,n-1); } } 4、棋盘覆盖问题。 voidchessBoard(inttr,inttc,intdr,intdc,intsize) { if(size==1)return; intt=tile++, //L型骨牌号 s=size/2; //分割棋盘 //覆盖左上角子棋盘 if(dr //特殊方格在此棋盘中 chessBoard(tr,tc,dr,dc,s); else{//此棋盘中无特殊方格 //用t号L型骨牌覆盖右下角 board[tr+s-1][tc+s-1]=t; //覆盖其余方格 chessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);} //覆盖右上角子棋盘 if(dr //特殊方格在此棋盘中 chessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s); else{//此棋盘中无特殊方格 //用t号L型骨牌覆盖左下角 board[tr+s-1][tc+s]=t; //覆盖其余方格 chessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);} //覆盖左下角子棋盘 if(dr>=tr+s&&dc //特殊方格在此棋盘中 chessBoard(tr+s,tc,dr,dc,s); else{//用t号L型骨牌覆盖右上角 board[tr+s][tc+s-1]=t; //覆盖其余方格 chessBoard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);} //覆盖右下角子棋盘 if(dr>=tr+s&&dc>=tc+s) //特殊方格在此棋盘中 chessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s); else{//用t号L型骨牌覆盖左上角 board[tr+s][tc+s]=t; //覆盖其余方格 chessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);} } 5、循环赛日程安排问题 #include"stdio.h" voidTable(intk,inta[][9]) { intn=1; for(inti=1;i<=k;i++)n*=2; for(i=1;i<=n;i++)a[1][i]=i; intm=1; for(ints=1;s<=k;s++) { n/=2; for(intt=1;t<=n;t++) for(i=m+1;i<=2*m;i++) for(intj=m+1;j<=2*m;j++) { a[i][j+(t-1)*m*2]=a[i-m][j+(t-1)*m*2-m]; a[i][j+(t-1)*m*2-m]=a[i-m][j+(t-1)*m*2];} m*=2; } } main() { intk=3; inta[9][9]={0}; Table(k,a); for(inti=1;i<=8;i++) {for(intj=1;j<=8;j++) printf("%3d",a[i][j]); printf("\n"); } } 思考问题: 1、递归的关键问题在哪里? 2、递归与非递归之间程序的转换? 如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
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