高中学业水平考试数学知识点总结.docx
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高中学业水平考试数学知识点总结
高中学业水平考试
数学知识点总结
老师的话:
同学们,学业水平考试快到了!
如何把数学复习好?
老师告诉你:
回到课本中去!
翻开课本,可以重温学习的历程,回忆学习的情节,知识因此被激活,联想由此而产生。
课本是命题的依据,学业水平考试试题难度不大,大多是在课本的基础上组合加工而成的。
因此,离开书本的复习是无源之水,那么如何运用课本呢?
复习不是简单的重复,你们应做到以下6点:
1、在复习每一专题时,必须联系课本中的相应部分。
不仅要弄懂课本提供的知识和方法,还要弄清定理、公式的推导过程和例题的求解过程,揭示例、习题之间的联系及变换
2、在做训练题时,如果遇到障碍,应有查阅课本的习惯,通过课本查明我们在知识和方法上的缺陷,尽可能把问题回归为课本中的例题和习题
3、在复习训练的过程中,我们会积累很多解题经验和方法,其中不少是规律性的东西,要注意从课本中探寻这些经验、方法和规律的依据
4、注意在复习的各个环节,既要以课本为出发点,又要不断丰富课本的内涵,揭示课本内涵与试题之间的联系
5、关于解题的表达方式,应以课本为标准。
很多复习资料中关键步骤的省略、符号的滥用、语言的随意性和图解法的泛化等,都是不可取的,就通过课本来规范
6、注意通过对课本题目改变设问方式、增加或减少变动因素和必要的引申、推广来扩大题目的训练功能。
现行课本一般是常规解答题,应从选择、填空、探索等题型功能上进行思考,并从背景、现实、来源等方面加以解释
必修一
一、集合
1.对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。
中元素各表示什么?
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
3
注意下列性质:
4.你会用补集思想解决问题吗?
(排除法、间接法)
5.一元一次不等式的解法:
已知关于
的不等式
的解集为
,则关于
的不等式
的解集为_______(答:
)
6.一元二次不等式的解集:
解关于
的不等式:
。
(答:
当
时,
;当
时,
或
;当
时,
;当
时,
;当
时,
)
7.对于方程
有实数解的问题。
(1)
对一切
恒成立,则
的取值范围是_______(答:
);
(2)若在
内有两个不等的实根满足等式
,则实数
的范围是_______.(答:
)
二、函数
1.映射:
注意①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。
2.函数
:
A
B是特殊的映射。
若函数
的定义域、值域都是闭区间
,则
=(答:
2)
3.研究函数问题时要树立定义域优先的原则:
(1)函数
的定义域是____(答:
);
(2)设函数
,①若
的定义域是R,求实数
的取值范围;②若
的值域是R,求实数
的取值范围(答:
①
;②
)
(3)复合函数的定义域:
①若函数
的定义域为
,则
的定义域为__________(答:
);②若函数
的定义域为
,则函数
的定义域为________(答:
[1,5]).
4.求函数值域(最值)的方法:
(1)配方法―①当
时,函数
在
时取得最大值,则
的取值范围是___(答:
);
(2)换元法①
的值域为_____(答:
);②
的值域为_____(答:
)(令
,
。
运用换元法时,要特别要注意新元
的范围);
的值域为____(答:
);
的值域为____(答:
);
(3)函数有界性法―求函数
,
,
的值域(答:
、(0,1)、
);
(4)单调性法――求
,
的值域为______(答:
、
);
(5)数形结合法――已知点
在圆
上,求
及
的取值范围(答:
、
);
(6)不等式法―设
成等差数列,
成等比数列,则
的取值范围是____________.(答:
)。
5.分段函数的概念。
(1)设函数
,则使得
的自变量
的取值范围是____(答:
);
(2)已知
,则不等式
的解集是___(答:
)
6.求函数解析式的常用方法:
(1)待定系数法―已知
为二次函数,且
,且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2
求
的解析式。
(答:
)
(2)配凑法―①已知
求
的解析式___(答:
);②若
,则函数
=___(答:
);
(3)方程的思想―已知
,求
的解析式(答:
);
7.函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;
⑵
是奇函数
;
⑶
是偶函数
;
⑷奇函数
在原点有定义,则
;
⑸在关于原点对称的单调区间内:
奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性;
(6)若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性;
8.函数的单调性。
如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)
如何判断复合函数的单调性?
(外层),
(内层),则
当内、外层函数单调性相同时,
为增函数,否则
为减函数
如:
求
的单调区间。
设
,由
,则
且
,
,如图
当
时,
,又
,∴
当
时,
,又
,∴
∴……)
9.函数图象⑴图象作法:
①描点法(注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法
⑵图象变换:
1平移变换:
ⅰ
,
———左“+”右“-”;
ⅱ
———上“+”下“-”;
2伸缩变换:
ⅰ
,(
———纵坐标不变,横坐标伸长为原来的
倍;
ⅱ
,(
———横坐标不变,纵坐标伸长为原来的
倍;
3对称变换:
ⅰ
;ⅱ
;
ⅲ
;ⅳ
;
4翻转变换:
ⅰ
———右不动,右向左翻(
在
左侧图象去掉);
ⅱ
———上不动,下向上翻(|
|在
下面无图象);
10.常用函数的图象和性质
(1)
(2)反比例函数:
推广为
是中心
的双曲线。
(3)二次函数
的图像为抛物线
顶点坐标为
,对称轴
开口方向:
,向上,函数
,向下,
应用:
①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程
,
时,两根
为二次函数
的图像与
轴的两个交点,也是二次不等式
解集的端点值。
②求闭区间[m,n]上的最值。
③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
如:
二次方程
的两根都大于
,一根大于
,一根小于
(4)指数函数:
(5)对数函数:
由图象记性质!
(注意底数的限定!
)
(6)“对勾函数”
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?
必修二一、立体几何
1.平行、垂直关系证明的思路
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:
线面平行的判定:
线面平行的性质:
三垂线定理(及逆定理):
,
为
在
内射影,
,则
线面垂直:
面面垂直:
,
2.三类角的定义及求法
(1)异面直线所成的角θ,0°<θ≤90°
(2)直线与平面所成的角θ,0°≤θ≤90°
(3)二面角:
二面角
的平面角
三垂线定理法:
A∈α作或证AB⊥β于B,作BO⊥棱于O,连AO,则AO⊥棱l,∴∠AOB为所求。
三类角的求法:
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义,并指出所求作的角。
③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。
[练习]
(1)如图,OA为α的斜线OB为其在α内射影,OC为α内过O点任一直线。
证明:
为线面成角,
(2)如图,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1=8,BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。
①求BD1和底面ABCD所成的角;
②求异面直线BD1和AD所成的角;
③求二面角C1—BD1—B1的大小。
(3)如图ABCD为菱形,∠DAB=60°,PD⊥面ABCD,且PD=AD,求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。
∵AB∥DC,P为面PAB与面PCD的公共点,作PF∥AB,则PF为面PCD与面PAB的交线……
3.空间距离
点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离,构造三角形,解三角形求线段的长(如:
三垂线定理法,或者用等积转化法)。
如:
正方形ABCD—A1B1C1D1中,棱长为a,则:
(1)点C到面AB1C1的距离为___________;
(2)点B到面ACB1的距离为____________;
(3)直线A1D1到面AB1C1的距离为____________;
(4)面AB1C与面A1DC1的距离为____________;
(5)点B到直线A1C1的距离为_____________。
4.正棱柱、正棱锥的定义性质
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中:
和
它们各包含哪些元素?
(
—底面周长,
为斜高),
5.球的性质
(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面
(2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。
为此,要找球心角!
(3)如图,θ为纬度角,它是线面成角;α为经度角,它是面面成角。
(4)
(5)球内接长方体的对角线是球的直径。
正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R:
r=3:
1。
如:
一正四面体的棱长均为
,四个顶点都在同一球面上,则此球的表面积为
A.
B.
C.
D.
答案:
A
二解析几何
1.熟记下列公式
(1)
直线的倾斜角
,
,
是
上两点,直线
的方向向量
(2)直线方程:
点斜式:
(
存在)
斜截式:
截距式:
一般式:
(
不同时为零)
(3)点
到直线
:
的距离
(4)
到
的到角公式:
;
与
的夹角公式:
2.如何判断两直线平行、垂直?
,
(反之不一定成立)
,
3.怎样判断直线l与圆C的位置关系?
圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理”。
必修三一、算法初步
1.构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
功能
起止框
表示一个算法的起始和结束,是任何流程图不可少的。
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息,可用在算法中任何需要输入、输出的位置。
处理框
赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。
判断框
判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明“是”或“Y”;不成立时标明“否”或“N”。
2、算法的三种基本逻辑结构:
顺序结构、条件结构、循环结构。
①顺序结构:
②条件结构:
③循环结构:
r=0?
否求n除以i的余数
输入n是
n不是质素n是质数i=i+1
i=2
i
n或r=0?
否
是
注:
循环结构分为:
Ⅰ.当型(while型)——先判断条件,再执行循环体;
Ⅱ.直到型(until型)——先执行一次循环体,再判断条件。
3.基本算法语句:
⑴输入语句:
INPUT“提示内容”;变量;输出语句:
PRINT“提示内容”;表达式
赋值语句:
变量=表达式
⑵条件语句:
①②
IF条件THENIF条件THEN
语句体语句体1
ENDIFELSE
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