高三数学理科二模考试试题及答案.docx
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高三数学理科二模考试试题及答案
2018年高三二模数学(理科)试题
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则()
A.B.
C.D.
2.已知复数满足,为的共轭复数,则()
A.B.C.D.
3.如图,当输出时,输入的可以是()
A.B.C.D.
4.已知为锐角,,则的取值范围为()
A.B.C.D.
5.把一枚质地均匀、半径为的圆形硬币抛掷在一个边长为的正方形托盘上,已知硬币平放在托盘上且没有掉下去,则该硬币完全落在托盘上(即没有任何部分在托盘以外)的概率为()
A.B.C.D.
6.的展开式中,的系数为()
A.B.C.D.
7.已知正项数列满足,设,则数列的前项和为()
A.B.
C.D.
8.如图,网格纸上正方形小格的边长为,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的最长棱的长度为()
A.B.C.D.
9.已知数列的前项和为,且满足,,则()
A.B.C.D.
10.已知函数是定义在上的偶函数,,当时,,若,则的最大值是()
A.B.C.D.
11.已知抛物线的焦点为,过点作互相垂直的两直线,与抛物线分别相交于,以及,,若,则四边形的面积的最小值为()
A.B.C.D.
12.已知,方程与的根分别为,,则的取值范围为()
A.B.
C.D.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知,,,且向量,的夹角是,则.
14.已知实数,满足,则的最大值是.
15.已知双曲线的左、右焦点分别为,,过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于,两点,,分别交轴于,两点,若的周长为,则的最大值为.
16.如图,在三棱锥中,平面,,已知,,则当最大时,三棱锥的表面积为.
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分.
17.已知在中,,,分别为内角,,的对边,且.
(1)求角的大小;
(2)若,,求的面积.
18.如图,在直三棱柱中,,,点为的中点,点为上一动点.
(1)是否存在一点,使得线段平面?
若存在,指出点的位置,若不存在,请说明理由.
(2)若点为的中点且,求二面角的正弦值.
19.某城市为鼓励人们绿色出行,乘坐地铁,地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策,不超过站的地铁票价如下表:
乘坐站数
票价(元)
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁,已知他们乘坐地铁都不超过站.甲、乙乘坐不超过站的概率分别为,;甲、乙乘坐超过站的概率分别为,.
(1)求甲、乙两人付费相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付费用之和为随机变量,求的分布列和数学期望.
20.在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,,分别为椭圆的上顶点和右焦点,的面积为,直线与椭圆交于另一个点,线段的中点为.
(1)求直线的斜率;
(2)设平行于的直线与椭圆交于不同的两点,,且与直线交于点,求证:
存在常数,使得.
21.已知函数,.
(1)求函数的单调区间;
(2)证明:
.
(二)选考题:
共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,已知直线:
(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设点的极坐标为,直线与曲线的交点为,,求的值.
23.[选修4-5:
不等式选讲]
已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若不等式对恒成立,求实数的取值范围.
答案
一、选择题
1-5:
DABCB6-10:
BCDAD11、12:
CA
二、填空题
13.14.15.16.
三、解答题
17.
(1)由及正弦定理得,
,
即,
又,所以,
又,所以.
(2)由
(1)知,又,易求得,
在中,由正弦定理得,所以.
所以的面积为.
18.
(1)存在点,且为的中点.
证明如下:
如图,连接,,点,分别为,的中点,
所以为的一条中位线,,
平面,平面,所以平面.
(2)设,则,,
,
由,得,解得.
由题意以点为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立如图所示的空间直角坐标系,可得,,,,
故,,,,.
设为平面的一个法向量,则
得
令,得平面的一个法向量,
同理可得平面的一个法向量为,
故二面角的余弦值为.
故二面角的正弦值为.
19.
(1)由题意知甲乘坐超过站且不超过站的概率为,
乙乘坐超过站且不超过站的概率为,
设“甲、乙两人付费相同”为事件,
则,
所以甲、乙两人付费相同的概率是.
(2)由题意可知的所有可能取值为:
,,,,.
,
,
,
,
.
因此的分布列如下:
所以的数学期望.
20.
(1)因为椭圆的离心率为,所以,即,,
所以,,所以,所以,所以椭圆的方程为.
直线的方程为,联立消去得,所以或,
所以,从而得线段的中点.
所以直线的斜率为.
(2)由
(1)知,直线的方程为,直线的斜率为,设直线的方程为.
联立得所以点的坐标为.
所以,.
所以.
联立消去得,
由已知得,又,得.
设,,则,,
,.
所以,
,
故.
所以.所以存在常数,使得.
21.
(1)由题易知,
当时,,当时,,
所以的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)的定义域为,要证,即证.
由
(1)可知在上递减,在上递增,所以.
设,,因为,
当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,所以,
而,所以.
22.
(1)把展开得,
两边同乘得①.
将,,代入①即得曲线的直角坐标方程为②.
(2)将代入②式,得,
易知点的直角坐标为.
设这个方程的两个实数根分别为,,则由参数的几何意义即得.
23.
(1)当时,原不等式可化为.
若,则,即,解得;
若,则原不等式等价于,不成立;
若,则,解得.
综上所述,原不等式的解集为:
.
(2)由不等式的性质可知,
所以要使不等式恒成立,则,
所以或,解得,
所以实数的取值范围是.
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