最值问题解题思路奥数.docx
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最值问题解题思路奥数
马到成功奥数专题:
离散最值
引言:
在国内外数学竞赛中,常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题,我们称之为离散最值问题。
解决这类非常规问题,尚无统一的方法,对不同的题目要用不同的策略和方法,就具体的题目而言,大致可从以下几个方面着手:
1.着眼于极端情形;
2.分析推理——确定最值;
3.枚举比较——确定最值;
4.估计并构造。
离散最值问题渗透到小升初的各个奥数专题中,学好它可为解决数论,计数,应用问题等打下扎实的基础。
一、 从极端情形入手
从极端情形入手,着眼于极端情形,是求解最值问题的有效手段。
题目1. 一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个,这些小球的大小均相同,红色小球上标有数字“4”,黄色小球上标有数字“5”,绿色小球上标有数字“6”。
小明从袋中摸出8个球,它们的数字和是39,其中最多可能有多少个球是红色的?
解:
假设摸出的8个球全是红球,则数字之和为(4×8=)32,与实际的和39相差7,这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。
用一个绿球换一个红球,数字和可增加(6-4=)2,用一个黄球换一个红球,数字和可增加(5-4=)1。
为了使红球尽可能地多,应该多用绿球换红球,现在7÷2=3……1,因此可用3个绿球换红球,再用一个黄球换红球,这样8个球的数字之和正好等于39。
所以要使8个球的数字之和为39,其中最多可能有(8-3-1=)4个是红球。
题目2. 有13个不同正整数,它们的和是100。
问其中偶数最多有多少个?
最少有多少个?
解:
①2+4+6+8+10+12+14+16=72 还要有5个奇数,但和是奇数,100是偶数,所以只能少一个偶数,2+4+6+8+10+12+14=56 100-56=42 42=1+3+5+7+9+17,最多有7个偶数。
②1+3+5+7+9+11+13+15=64 还要5个偶数,100-64=36 36=2+4+6+8+16最少有5个偶数。
题目3. 一种小型天平称备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码。
为了能称出1克到91克的任意一种整数克重量,如果只允许在天平的一端放砝码,那么最少需要准备砝码多少个。
解:
要能称出1克到91克的任意一种整数克重量,要有9个9克、1个5克、1个3克、2个1克,它们的和是91,这样即可。
需要9+1+1+2=13个。
题目4. 一台计算器大部分按键失灵,只有数字“7”和“0”以及加法键尚能使用,因此可以输入77,707这样只含数字7和0的数,并且进行加法运算。
为了显示出222222,最少要按“7”键多少次?
222222-70000*3=12222 按下了3个7 12222-7000*1=5222 按下了1个7
5222-700*7=322 按下了7个7 322-70*4=42 按下了4个7 42-7*6=0 按下了6个7。
3+1+7+4+6=21次
二、枚举法与逐步调整
当我们在有限数中求最大(或最小)值时,枚举法是常用基本方法之一。
这种方法的大意是:
将问题所涉及的对象一一列出,逐一比较从中找出最值;或者将与问题相关的各种情况逐一考察,最后归纳出需要的结论。
题目5. 将6,7,8,9,10按任意次序写在一个圆周上,每相邻两数相乘,并将所得得5个乘积相加,那么所得和数的最小值是多少?
解:
要使乘积最小,就要每个数尽可能小。
对于10,旁边添6和7,这样积小一些。
于是有两种添法:
----------------------------------------------
题目6. 某公共汽车从起点开往终点站,中途共有13个停车站。
如果这辆公共汽车从起点站开出,除终点站外,每一站上车的乘客中,正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站,那么为了使每位乘客都有座位,这辆公共汽车至少应有多少个座位?
解法1:
只需求车上最多有多少人。
依题意列表如下:
由上表可见,车上最多有56人,这就是说至少应有56个座位。
说明:
本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的,座位最少有多少,取决于什么时候车上人数最多,要保证乘客中每人都有座位,应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。
所以,我们不能只看表面现象,误认为有了“至少”就是求最小数,而应该把题意分析清楚后再作判断。
解法2:
因为车从某一站开出时,以前各站都有同样多的人数到以后各站(每站1人),这一人数也和本站上车的人数一样多,因此
车开出时人数=(以前的站数+1)×以后站数
=站号×(15-站号)。
因此只要比较下列数的大小:
1×14,2×13,3×12,4×11,5×10,
6×9,7×8,8×7,9×6,10×5,
11×4,12×3,13×2,14×1。
由这些数,得知7×8和8×7是最大值,也就是车上乘客最多时的人数是56人,所以它应有56个座位。
说明:
此题的两种解法都是采用的枚举法,枚举法是求解离散最值问题的基本方法。
这种方法的大意是:
将问题所涉及的对象一一列出,逐一比较从中找出最值;或者将与问题相关的各种情况逐一考察,最后归纳出需要的结论。
题目7.
在如图18-2所示得2*8方格表中,第一行得8个方格内依次写着1、2、3、4、5、6、7、8。
如果再把1、2、3、4、5、6、7、8按适当得顺序分别填入第二行的8个方格内,使得每列两数的8个差数两两不同,那么第二行所显示的八位数最大可能值是多少?
解:
这8个差分别是0,1,2,3,4,5,6,7,和为28,分成两组,每组14。
8和7必然填在1,2两个方格内。
前两列的差是7和5,第3个如果填6,那么7+5+3超过14,所以只能填5,此时3个差为7、5、2,和为14,第4个格子只能填4,填6就会有重复。
数字6只能填在第7格,再凑一凑即可得出87541362。
三、从简单情形入手
解决复杂问题可以从简单问题入手,经过分析得出规律,也就找到了解决复杂问题的方法。
题目8. 从1234567891011…99100中划去100个数字,其他数字顺序不变,求剩下数中的最大数和与最大数位数相同的最小数。
分析与解 将此题简化为从12345678910中划去9个数字.利用枚举法不难得出剩下的两位数最大数为91,最小数为10,也就是在求最大数时,高位上的数字尽可能取大数字;求最小数时,高位上尽可能取小数字。
本题中从12345678910中划去10个数字剩下9;从111213…484950中划去76个数字剩下4个9;再从51525354555657585960中划去14个数字剩下尽可能大的数是785960,从而得到所求的最大数9999978596061…99100。
求最小值时,从12345678910中划去9个数字剩下10,从11121314…484950中划去76个数字剩下4个0,再从51525354555657585960中划去15个数字剩下尽可能小的数12340,从而得到所求最小数100000123406162…99100。
题目9. 将1,2,3,…,49,50任意分成10组,每组5个数。
在每一组中,数值居中的那个数称为“中位数”。
求这10个中位数之和的最大值与最小值。
解:
{1,2,3,49,50}{4,5,6,47,48}……{28,29,30,31,32}
3+6+……+30=165(最小值)
{1,2,48,49,50}{3,4,45,46,47}……{19,20,21,22,23}
48+45+……+21=345(最大值)
四、和一定问题
1+9=10→1×9=9
2+8=10→2×8=16
3+7=10→3×7=21
4+6=10→4×6=24
5+5=10→5×5=25
例如,和为10的两个自然数,它们的积的最大值是什么?
我们知道和为10的自然数共有5对,每对自然数乘积后又得到5个不同的数,如下表:
由此我们得到,当这两个自然数都取5时积有最大值25。
成立。
也就是和一定时差最小乘积越大。
题目10.
有3条线段a,b,c,线段a长2.12米,线段b场2.71米,线段c长3.53米。
如图18-1,以它们作为上底、下底和高,可以作出3个相同的梯形。
问第几号梯形的面积最大?
解:
由于梯形体积=(上底+下底)*高/2 在和一定的情况下,要使乘积最大,让两个数越接近。
可见a+b与c十分接近,所以③的面积最大。
题目11. 如果将进货单价为40元的商品按50元售出,那么每个的利润是10元,但只能卖出500个。
当这种商品每个涨价1元时,其销售量就减少10个。
为了赚得最多的利润,售价应定为多少?
解:
设每个商品售价为(50+x)元,则销量为(500-10X)个。
总共可以获利
(50+x-40)×(500-10x)
=10×(10+X)×(50-X)(元)。
因(10+x)+(50-x)=60为一定值,故当10+X=50-X即X=20时,它们的积最大。
此时,每个的销售价为50+20=70(元)
题目12. 用3,4,5,6,7,8六个数字排成三个两位数相乘,要求它们的乘积最大。
应该怎样排列?
【分析与解】十位数字分别是8、7、6,8>7>6,个位数字分别是5,4,3,5>4>3,依据“接近原则”,大小搭配可得83×74×65,三个数最接近因而它们的乘积最大。
综上数例,可以归纳出这样的规律:
较大数后配较小的数,较小的数后配较大的数,这样才能使数之间更为接近,从而保证乘积最大。
简单地说就是:
数越接近,乘积越大。
综上数例,可以归纳出这样的规律:
较大数后配较小的数,较小的数后配较大的数,这样才能使数之间更为接近,从而保证乘积最大。
简单地说就是:
数越接近,乘积越大。
五、积一定的问题
两个变化着的量,如果在变化的过程中,它们的乘积始终保持不变,那么它们的差与和之间有什么关系呢?
观察下面的表:
我们不难得出如下的规律:
两个变化着的量,如果在变化的过程中,乘积始终保持不变,那么它们的差越小,和就越小。
若它们能够相等,则当它们相等时,和最小。
题目13. 长方形的面积为144cm2,当它的长和宽分别为多少时,它的周长最短?
解:
设长方形的长和宽分别为xcm和ycm,则有
xy=144。
故当x=y=12时,x+y有最小值,从而长方形周长2(x+y)也有最小值。
题目14. 农场计划挖一个面积为432m2的长方形养鱼池,鱼池周围两侧分别有3m和4m的堤堰如下图所示,要想占地总面积最小,水池的长和宽应为多少?
解:
如图所示,设水池的长和宽分别为xm和ym,则有
xy=432。
占地总面积为S=(x+6)(y+8)cm2。
于是
S=Xy+6y+8X+48=6y+8X+480。
我们知道6y×8X=48×432为一定值,故当6y=8X时,S最小,此时有6y=8X=144,故y=24,x=18。
六、从整体入手
从整体抓住数据的本质特征进行分析,较易突破难点。
题目15. 在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号,组成一个算式。
要求:
(1)算式的结果等于37;
(2)这个算式中的所有减数(前面添了减号的数)的乘积尽可能地大。
那么,这些减数的最大乘积是多少?
题目16. 在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号,组成一个算式。
要求:
(1)算式的结果等于37;
(2)这个算式中的所有减数(前面添了减号的数)的乘积尽可能地大。
那么,这些减数的最大乘积是多少?
解:
把10个数都添上加号,它们的和是55,如果把其中一个数的前面的加号换成减号,使这个数成为减数,那么和数将要减少这个数的2倍。
因为55-37=18,所以我们变成减数的这些数之和是18÷2=9。
对于大于2的数来说,两数之和总是比两数乘积小,为了使这些减数的乘积尽可能大,减数越多越好(不包括1)。
9最多可拆成三数之和2+3+4=9,因此这些减数的最大乘积是2×3×4=24,添上加、减号的算式是
10+9+8+7+6+5-4-3-2+1=37。
七、抓不等关系
题目17. 某校决定出版“作文集”,费用是30册以内为80元,超过30册的每册增加1.20元。
当印刷多少册以上时,每册费用在1.50元以内?
解:
显然印刷的册数应该大于30。
设印刷了(30+x)册,于是总用费为(80+1.2x)元。
故有
80+1.2x≤1.5×(30+x),
答案:
117+30= 147以内。
题目18. 有4袋糖块,其中任意3袋的总和都超过60块。
那么这4袋糖块的总和最少有多少块?
解:
要使其中任意3袋的总和都超过60块,那么至少也是61,先在每袋中放20个糖块,但任意3袋中至少一个21,否则就无法超过60。
要使任意3袋中至少一个21,这4个袋子的糖块分别是20,20,21,21。
和为20+20+21+21=82
八、抓相等关系
题目19. 10位小学生的平均身高是1.5米。
其中有一些低于1.5米的,他们的平均身高是1.2米;另一些高于1.5米的平均身高是1.7米。
那么最多有多少位同学的身高恰好是1.5米?
解:
要最多有多少位同学的身高恰好是1.5米,就要使低于和高于1.5米的人越少,设高于和低于的人分别为a,b。
可得:
1.2a+1.7b=1.5(a+b) 2b=3a 至少是5人 那么最多有10-5=5位同学的身高恰好是1.5米。
----------------------------------------------
题目20. 4个不同的真分数的分子都是1,它们的分母只有2个奇数、2个是偶数,而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等。
这样的奇数和偶数很多,小明希望这样的偶数尽量地小,那么这个和的最小可能值是多少?
解:
1/奇+1/奇=1/偶+1/偶 偶/奇=(偶+偶)/偶×偶
奇*(偶+偶)=偶*偶*偶。
因为偶*偶*偶是8的倍数所以偶+偶是8的倍数 若是8,只能为2和6则1/2+1/6=1/3+1/3不符合题意,因为奇相等;若是16,有1/6+1/10=1/5+1/15 因此本题答案是16。
九、位值展开式
题目21. 一个两位数被它的各位数字之和去除,问余数最大是多少?
解:
设两位数位ab(a表示十位数字,b表示个位数字)
ab=(10a+b)/(a+b)=(9a)/(a+b)+1
a+b最大是18,此时余数为9]
当a+b=17,若a=9余数为13 若b=9 余数为4
题目22. 当a+b=16,若a=9余数为1 若b=9 余数为15此时余数最大。
由3个非零数字组成的三位数与这3个数字之和的商记为K。
如果K是整数,那么K的最大值是多少?
解:
设这个数为abc(a表示百位数字,b表示十位数字,c表示个位数字)
那么abc/(a+b+c)=K (100a+10b+c)/(a+b+c)=K要使这个算式最大,就要让a尽可能大,b,c尽可能的小。
试一下:
911/(9+1+1)=82……9,811/(8+1+1)=81……1,711/(7+1+1)=79,所以K最大是79。
题目23. 用1,3,5,7,9这5个数组成一个三位数ABC和一个两位数DE,再用0,2,4,6,8这5个数组成一个三位数FGH和一个两位数IJ。
求算式ABC×DE—FGH×IJ的计算结果的最大值。
解:
要使ABC*DE-FGH*IJ这个算式最大就要使ABC*DE最大,FGH*IJ最小。
那么前面最大是751*93。
后面最小是468*20。
那么算式的最小值是751*93-468*20=60483
十、“估计+构造”
“估计+构造”是解离散最值问题的一种常用方法,要求某个离散最值,先估计该量的上界或下界,然后构造出一个实例说明此上界或下界能够达到,这样便求出了这个量的最大值或最小值。
题目24. 把1,2,3,…,12填在左下图的12个圆圈里,然后将任意两个相邻的数相加,得到一些和,要使这些和都不超过整数n,n至少是多少?
为什么?
并请你设计一种填法,满足你的结论。
解:
因为1+2+3+…+12=78,78×2÷12=13,所以n≥13。
又考虑到与12相邻的数最小是1和2,所以n至少是14。
右上图是一种满足要求的填法。
十一、转化与对称思想
转化思想是数学思想之一,把复杂问题转化成简单问题,从而达到解决问题的目的.在平面上有两个点A、B,把A、B用线连结起来有许多种方法,可用线段、弧线、折线等.在这无穷多种连结方法中,线段最短,因而我们也称线段AB的长叫A、B两点间的距离。
我们可以做一个有趣的实验:
在一个长方体的上面N点放上食品,在长方体侧面ABCD上M点放一只蚂蚁(如图3),蚂蚁从侧面经过棱AD到N有无穷多种走法(如图4),我们关心的问题是蚂蚁怎样走路程最短?
在这个立体图形中找出答案是很困难的,直接连结MN则不经过棱AD,与条件不符.为了使问题简化,我们将长方体展成平面图形,连结MN交AD于P.由公理,两点之间线段最短,可知蚂蚁从M点沿直线MP爬到P后,再由P点沿直线PN爬到N时走过的路程最短。
题目25. 如图11某次划船比赛规定从A点出发,先到左岸然后到右岸然后再到B点,时间少者取胜.请你设计一条航线,使船走的路程最短.
由于两点间的距离线段最短,我们想办法把问题转化为求两点距离问题。
如图,找到A点关于左岸的轴对称点,B点关于右岸的轴对称点,连结A′B′,与左岸、右岸分别有交点C、D,沿折线ACDB航行就是最短航线。
十二、学写说理题
题目26. 23个不同的自然数的和是4845。
问:
这23个数的最大公约数可能达到的最大的值是多少?
写出你的结论,并说明理由。
.17。
解:
设这23个彼此不同的自然数为
a1,a2,…,a22,a23,
并且它们的最大公约数是d,则
a1=db1,a2=db2,…,a22=db22,a23=db23。
依题意,有
4845=a1+a2+…+a22+a23
=d(b1+b2+…+b22+b23)。
因为b1,b2,…,b22,b23也是彼此不等的自然数,所以
b1+b2+…+b23≥1+2+…+23=276。
因为4845=d(b1+b2+…+b22+b23)≥276×d,所以
又因为4845=19×17×15,因此d的最大值可能是17。
当a1=17,a2=17×2,a3=17×3,…,a21=17×21,a22=17×22,a23=17×32时,得
a1+a2+…+a22+a23
=17×(1+2+…+22)+17×32
=17×253+17×32=17×285=4845。
而(a1,a2,…,a22,a23)=17。
所以d的最大值等于17。
解题在于实践:
题目27. 设a1,a2,a3,a4,a5,a6是1到9中任意6个不同的正整数,并且a1<a2<a3<a4<a5<a6。
试用这6个数分别组成2个三位数,使它们的乘积最大。
分析与解:
由于a1,…,a6具体大小不清楚,因此先取特殊数1,2,3,4,5,6这6个不同的数考虑。
要使2个三位数的乘积最大,必须使这2个数的百位数最大,应分别是6,5;而十位数次大,应分别为4,3,个位数最小,应分别为2,1。
因为当2个数之和一定时,这2个数之差越小,它们的乘积越大,所以这2个数是631和542。
题目28. 8个互不相同的正整数的总和是56,如果去掉最大的数及最小的数,那么剩下的数的总和是44。
问:
剩下的数中,最小的数是多少?
解:
因为最大数与最小数的和是56-44=12,所以最大数不会超过11。
去掉最大和最小数后剩下的6个互不相同的自然数在2~10之间,且总和为44,这6个数只能是4,6,7,8,9,10。
题目29. 采石场采出了200块花岗石料,其中有120块各重7吨,其余的每块各重9吨,每节火车车皮至多载重40吨,为了运出这批石料,至少需要多少节车皮?
解:
每节车皮所装石料不能超出5块,故车皮数不能少于200÷5=40(节),而40节车皮可按如下办法分装石料:
每节装运3块7吨的和两块9吨的石料,故知40节可以满足要求。
题目30. 一个水池,底部安有一个常开的排水管,上部安有若干个同样粗细的进水管,当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管时,需要15小时才能注满水池;现在需要在2小时内将水池注满,那么至少要打开多少个进水管?
分析本题没给出排水管的排水速度,因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系,才能确定至少要打开多少个进水管.
解:
本题是具有实际意义的工程问题,因没给出注水速度和排水速度,故需引入参数.设每个进水管1小时注水量为a,排水管1小时排水量为b,根据水池的容量不变,我们得方程(4a-b)×5=(2a-b)×15,化简,得:
4a-b=6a-3b,即a=b.这就是说,每个进水管1小时的注水量等于排水管1小时的排水量.
再设2小时注满水池需要打开x个进水管,根据水池的容量列方程,得
(xa-a)×2=(2a-a)×15,化简,得2ax-2a=15a,即2xa=17a.(a≠0)所以x=8.5
因此至少要打开9个进水管,才能在2小时内将水池注满.注意:
x=8.5,这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求;开8.5个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行.
题目31. 用1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字各一次,组成一个被减数,减数,差都是三位数的正确的减法算式,那么这个减法算式的差最大是多少?
解:
要想差最大必须考虑被减数取最大,那么先考虑百位为9,同样考虑减数最小,百位为1,再通过试算得出936-152=784,此时差为最大既784。
题目32. 有一个正整数的平方,它的最后三位数字相同但不为零,试求满足上述条件的最小正整数。
1444。
解:
平方数末位只能为0,1,4,5,6,9。
因为111,444,555,666,999均非平方数,而1000,1111也不是平方数,但1444=382,故满足题设条件的最小正整数是1444。
题目33. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中,任取5个数相加的和与其余5个数相加的和相乘,能得到多少个不同的乘积。
13.从整体考虑分两组和不变:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55从极端考虑分成最小和最大的两组为(1+2+3+4+5)+(6+7+8+9+10)=15+40=55最接近的两组为27+28所以共有27-15+1=13个不同的积。
另从15到27的任意一数是可以组合的。
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